Inferenzstatistik

Wahrscheinlichkeitsverteilung von Stichprobenkennwerten aus zufällig gezogener Stichprobe der Größe n

Standardabweichung von Stichprobenkennwerteverteilung

• Bezieht sich auf Abweichung des Mittelwertes der gesamten Stichprobe im Gegensatz zur Standardabweichung, die sich auf die einzelnen Datenpunkte und deren Abweichung vom Mittelwert bezieht

° Formel: Standardabweichung / Wurzel aus n

Je größer die Stichprobe, desto kleiner der Standrdfehler (genauere Schätzung)

Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte nähert sich mit zunehmender Stichprobengröße der Normalverteilung an, unabhängig davon, wie das Merkmal in der Population verteilt ist

1. Erwartungstreue

2. Konsistenz

3. Effizienz

4. Suffizienz

Erwartungstreue ist gegeben, wenn der Erwartungswert der Stichprobenkennwerteverteilung dem Parameter entspricht

… wenn sich der Stichprobenkennwert mit wahsender Stichprobengröße dem Parameter nähert

… wenn der Stichprobenkennwert den geringsten Standardfehler aller erwartungstreuen Schätzer aufweist

… wenn der Stichprobenkennwert alle in den Daten erhaltenen Informationen hinsichtlich des Parameters berücksichtigt

Annahme, dass in der Population kein Effekt (z.B. Gruppenunterschied) besteht (nach Fisher)

1. Wie wahrscheinlich wäre es, bestimmte Effekte in Stichproben (mit bestimmter Größe) empirisch zu finden?

   (—> Stichprobenkennwerteverteilung )

2. Welche empirisch gefundenen Effekte wären so unwahrscheinlich, dass sie GEGEN die Nullhypothese sprächen?

   (—> Entscheidung anhand eines Signifikanzniveaus)

Wahrscheinlichkeit, ein empirisches Ergebnis (oder ein noch stärker gegen die Nullhypothese sprechendes Ergebnis) unter der Nullhypothese zu finden.

Je kleiner die Wahrscheinlichkeit p, desto eher spricht das Ergebnis gegen die Nullhypothese.

Heißt auch “Überschreitungswahrscheinlichkeit”

1. Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese wahr ist

   —> nicht p-Wert sondern A Priori Wahrscheinlichkeit P (H0)

2. Wahrscheinlichkeit für die Gültigkeit der Nullhypothese, gegeben die Beobachtung eines bestimmten empirischen Ergebnisses

   —> nicht p-Wert, sondern A Posteriori Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit, mit der ein Test ein “signifikantes” Ergebnis zeigt, obwohl in Wirklichkeit die Nullhypothese zutrifft

(Auch “Fehler erster Art”)

• definiert als Flächenanteil unter der H0-Kennwerteverteilung

• A Priori von Forschenden festgelegt

Bereich um einen geschätzten Populationsparameter, für den gelten soll, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-alpha den Stichprobenparameter enthält (überdeckt)

Wird anhand des (geschätzten) Standardfehlers berechnet

• wenn man (unendlich) viele Zufallsstichproben gleicher Größe aus der Population ziehen würde und

• für jede Stichprobe das KI berechnen würde

• in 95% aller KI der unbekannte Populationsparameter zu finden ist

• in 5% der KI hingegen nicht

1. Exakte vs. asymptotische Tests

2. Parametrische vs. nonparametrische (verteilungsfreie) Tests

3. Robuste Verfahren

4. Resampling Verfahren

Exakter Test

• Prüfgröße folgt exakt der zugrundeliegenden Verteilung

Asymptotischer Test

• Prüfgröße folgt der zugrunde gelegten Verteilung asymptotisch, Verteilung nähert sich also mit zunehmender Stichprobengröße an

• Je kleiner die Stichprobe desto größer der zu erwartende Fehler

• Beispiel: t-Test für unabhängige Stichproben

• 2 unabhängige Stichproben

• normalverteilte Variablen in den zugrundeliegenden Populationen

• Varianzen der Variablen innerhalb der beiden Populationen sind gleich (# Homoskedastizität)

• 
  

Parametrische Tests

• setzen Voraus, dass das Merkmal in der Population in spezifischer weise verteilt ist (und die Verteilung anhand entsprechender Parameter beschrieben werden kann)

Non-parametrische Tests

• erfordert nicht, dass eine konkrete Verteilung des Merkmals bekannt ist

• Verfahren, deren Ergebnisse nicht oder nur wenig von Ausreißern beeinflusst werden

• Sinnvoll, wenn Ausreißer nicht eindeutig auf Fehler zurückgeführt oder ausgeschlossen werden können

• Verfahren, die auf dem Median basieren sind robuster als Verfahren, die auf dem Mittelwert basieren!

Achtung! Robustheit eines Verfahrens ist was anderes:

(= das Verfahren reagiert nicht stark auf Verletzungen seiner Annahmen)

• aus vorliegender Stichprobe werden erneut Stichproben gezogen

• Ziel: Verteilung der Prüfgröße oder Stichprobenkennwerde empirisch bestimmen

• erfordert leistungsfähige Computer

• 2 Ansätze: Bootstrapping + Rerandomisierung

Bootstrapping ist ein statistisches Verfahren, bei dem aus einer Stichprobe erneut viele Stichproben gezogen werden, von denen Statistiken, wie beispielsweise Mittelwert oder Standardabweichung, berechnet werden. Dies erlaubt es uns, die Präzision von Schätzungen für Parameter zu bestimmen. Es ist besonders bei kleinen Stichproben nützlich.

Bootstrapping gehört zu einer größeren Klassen von Verfahren, die empirische Verteilungen durch die erneute Stichprobenziehung aus dem ursprünglichen Datensatz aufstellen, die Resampling Methoden. Wichtig ist, das meist mit Zurücklegen gezogen wird, d.h. in einer Stichprobe kann ein Wert mehr als einmal vorkommen, wie in der Abbildung unten.

• hier sit der Verteilungstyp in der Population bekannt, nicht aber die Parameter der Verteilung

• Man erzeugt also eine simulierte Population mit geschätzten Parametern und führt Bootstrapping durch

Hat man z. B. 30 Personen in jeder

Therapiebedingung, erhält man ( nach Gleichung F 7.4 )

schon 118.264.581.564.861.424 mögliche Aufteilungen.

In einem solchen Fall reduziert man den Rechenaufwand,

indem man den p-Wert anhand einer Zufallsstichprobe

aller möglichen Aufteilungen schätzt. Dies

ist ein sog. Monte-Carlo-Schätzer, auf den auch bei

anderen exakten Tests zurückgegriffen wird, wenn die

betrachteten Kombinationsmöglichkeiten zu groß sind.

• Ob der Wert fehlt oder nicht hängt weder von der betrachteten Variablen selbst (Y) noch von anderen erfassten variablen (X) ab.

• Am wenigsten Problematisch, weil komplett unsystematisch

• schon problematischer als MCAR, lässt sicher aber noch angemessen berücksichtigen

• problematisch, mit gängigen Verfahren nicht in den Griff zu bekommen

Ein Fehler, der dadurch zustande kommt, dass man eine Stichprobe zieht, die nicht alle Elemente der Population enthält

Fragestellungen:

• Wie viele Variablen werden betrachtet?

• Werden ungerichtete oder gerichtete Zusammenhänge betrachtet?

• Werden nur manifeste oder auch latente Variablen betrachtet?

• Welches Skalenniveau haben betrachtete Variablen?