statistische Schätzverfahren
7.1 Punktschätzung
Punktschätzung
schätzt mit einem konkreten Wert den wahren Parameter der Grundgesamtheit auf Basis einer Stichprobe
Punktschätzung des Erwartungswerts/ Mittelwerts
auf Ebene der Grundgesamtheit, wird der Mittelwert mit dem gr. Buchstaben u langer strich (erwrtungswert) abgekürzt
auf Ebene der Stichprobe Abkürzung x oben Strich
liegt nur eine Stichprobe vor müssen wir den Mittlewert der Grundgesamtheit schätzen
für solchen Schätzwert immer ein Dach über dem gr. u als geschätzer Mittelwert der Grundgesamtheit
Rechnung s 181
Zwei Qualitätskriterien
Schätzer sollte Erwartungstreu sein
wenn der berechnete Parameter der Stichprobe mit dem der Grundgesamtheit übereinstimmt
damit ist gemeint das Mittelwert der Stichprobe auch dem Erwartungswert in der Grundgesamtheit entspricht
Stichprobenmittelwert gilt als erwartungstreuer Schätzer
der Schätzer sollte konsistent sein
er ist konstistent wenn er mit zunehmdendem Stichprobenumfang den wahren Wert der Grundgesamtheit immer besser trifft
Punktschätzung der Varianz und Standardabweichung
Schätzwert für die Streuung in Form der Varianz und Standardabweichung der Grundgesamtheit wird gesucht
auf Ebene der Grundgesamtheit bekommt Varianz bzw Standardabweichung mit omega hoch 2 den gr. Buchstaben
in kontext einer Stichprobe kommen die kürzel s hoch 2 und s für Stichprobenvarianz und Standardabweichung
Schätzwerte der Grundgesamtheit mit Dach über omega hoch 2 und omega
Liegt nur eine Stichprobe vor dann formel im Skript s 182
Nachteil von Punktschätzungen
das man sich auf einen spezielen Wert für Mittelwert, Varianz oder Standardabweichung festlegt
7.2 Intervallschätzung
Statistische Schätzverfahren- Konfidenzintervalle
geben einen Bereich als Schätzer für einen Parameter der Grundgesamtheit an
Intervalle bestehen aus unter und obergrenze
wird auch als Vertrauensintervall bezeichnet
genannte Wahrscheinlichkeit wird auch als Vertrauenswahrscheinlichkeit bzw Konfidenzniveau 1- alpha bezeichnet
Gegenteil der Vertrauenswahrscheinlichkeit wird durch die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha beschrieben
erfasst W. das der Wert nicht im aufgestellten Konfidenzintervall liegt
Aufstellung eines Konfidenzintervalls 3 Punkte
Festlegung der Vertrauenswahrsheinlichkeit
1- alpha
wird bestimmt mit welcher W. der wahre , aber unbekannte Erwartungswert im Intervall liegt
gängigsten Werte 0,9 (90%), 0,95 (95%)
Stichprobe erheben und Mittelwert der Stichprobe berechnen:
Stichprobe wird benötigt, mit der wir ein Konfidenzintervall erstellen
wir nehmen aber nicht das sondern eine gegebene Stichprobe
für diese berechnen wir den Mittelwert
3.
Fläche um den Mittelwert herum markieren:
um berechneten Mittelwert wird Konfidenzintervall aufgestellt
in der Regel Normalverteilung
Skript S 185
Ziel Konfidenzintervalls
es zu berechnen
2 Fälle dabei unterscheiden
entweder ist tatsächlich Info über Grundgesamtheit bekannt. so kennt man Varianz oder Standardabweichung der relevanten Variablen in der Grundgesamtheit
kann aber auch sein das diese nicht bekannt sind
jenachdem ob Streuungsmaße in Grundgesamtheit bekannt sind oder nicht , wird Konfidenzintervall nach bestimmten Muster aufgestellt
Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz omega hoch 2
also Varianz omega hoch 2 bzw. Standardabweichung omega in der Grundgesamtheit sind bekannt
Konfidenzintervall (in welchem Wahrscheinlichkeitsmasse 1 - alpha enthalten ist)
berechnung Skript S. 186
Standardfehler
gibt die Abweichung des geschätzten Mittelwerts vom wahren Wert an
Quotient (omega geteilt durch Wurzel n) wird auch als Standardfehler bezeichnet
Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz omega hoch 2
Aufstellung wenn weder Varianz noch Standardabweichung bekannt sind
zwei Änderungen
wir nutzen t - Verteilung anstelle der z - Verteilung um Quantil zum Aufstellen des Intervalls zu verwenden
da Varianz omega hoch 2 bzw Standardabweichung omega in Grundgesamtheit nicht bekannt sind - müssen wir sie auf Basis der Stichprobe durch s hoch 2 schätzen
Konfidenzintervalle mit bekannter und unbekannter Varianz im Vergleich:
Vergleich beider Konfidenzintervalle
bezüglich Berechung:
Varianz oder St. abweichung in Grundgesamtheit bekannt - Quantnil der Standardnormalverteilung (z) nutzen
Varianz oder St. abweichung in der Grundgesamtheit unbekannt - Quantil der t - Verteilung nutzen und Stichprobenvarianz udn Standardabweichung auf Basis der Stichprobe berechnen
Ergebnisse:
Intervall unbekannter Varianz fällt breiter aus als bei bekannter Varianz
Streuung in Form von s bei unbekannter Varianz oft größer als bei bekannter Varianz
Intervallgrenzen sind bei unbekannter Varianz weiter voneinander entfernt als bei bekannter
Einflussfaktoren auf die Breite des Konfidenzintervalls
auf Breite des Konfidenzintervalls lässt sich im positiven Sinn Einfluss nehmen
wunsch ist möglich schmales Intervall mit hoher Wahrscheinlichkeit
Möglichkeit es zu erreichen:
1 te Möglichkeit:
Erhöhung des Stichprobenumfangs n
je mehr beobachtungen desto präziser kann der Mittelwert berechnet und das Intervall geschätzt werden
Intervall wird schmaler
2te Möglichkeit:
Verringerung der Vertrauenswahrscheinlichkeit 1 - alpha
wenn Vertrauenswürdigkeit sinkt , steigt die Irrtumswahrscheinlichkeit
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