Mathe Klausur

• Sich im Raum orientieren

  • Vorstellungsvermögen, räumliche Beziehungen, zwei- und dreidimensionale Darstellungen zueinander in Beziehung setzen

• Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen (Häuser aus Quadraten, Dreiecken etc. -> benennen, welche Formen gefunden werden können)

  • Eigenschaften, Fachbegriffe, Umweltbezug, Konstruktion von Modellen und Zeichnungen

• Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen

  • Verkleinern/vergrößern, Achsensymmetrie, symmetrische Muster

• Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen

  • Zerlegen und Auslegen, Umfang und Inhalt

1. Geometrische Formen und ihre Konstruktion

   • Grundformen konstruieren oder Objekte aus Grundformen konstruieren

   • z.B. Häuser aus Vierecken, Dreiecken etc. bauen

   • Vielecke

2. Operieren mit Formen

   • Bewegen und Verändern von Formen, insbesondere: Abbilden in der Ebene (verschieben, drehen, spiegeln), Projizieren vom Raum in die Ebene oder Zerlegen, Zusammensetzen, Vergrößern, Verkleinern, Verzerren

   • Einlinge, Zweilinge, Mehrlinge

3. Beziehungen zwischen Formen

   • Symmetrie (Achsen spiegeln etc.)

   • Orientierung im Raum

4. Geometrisieren und arithmetisieren

   • Sachverhalte können in die Sprache der Geometrie übersetzt und geometrisch bearbeitet werden.

   • Geometrische Zusammenhänge können mit Hilfe von Zahlen beschrieben und arithmetisch bearbeitet werden

Symmetrisch ist ein Gebilde dann, wenn man es irgendwie verändern kann und im Ergebnis dasselbe erhält, womit man begonnen hat.

Darunter versteht man eine Unveränderlichkeit eines Objektes gegenüber bestimmten Transformationen, die an ihm vorgenommen werden.

Endlich symmetrische Objekte

• nur drehsymmetrisch (Ball)

  • Sieht nach einer Drehung identisch aus (weniger als 360 Grad)

• nur achsensymmetrisch (Ampel)

• dreh- und achsensymmetrisch (Schneeflocke)

• Legen mit Plättchen

• Falten und schneiden, durchstechen, etc.

• Spiegeln

• Zeichnen auf Gitterpapier

• Klecksbilder ("Faltklatschspiegeltechnik", siehe Foto vorderseite)

• Durchpausen und Wenden

• Herstellen achsensymmetrischer Figuren

  • Regelmäßige Vielecke

  • Klecksbilder

  • Faltschnitte

  • Lochbilder

  • Pausbilder

    • Überprüfen von Figuren auf Achsensymmetrie  mit dem durchlässigen Spiegel, durch Falten, Durchstechen, Pausen, Achsensymmetrische Figuren vollenden, Spiegelbilder erstellen, Figuren ausmalen, mit Plättchen legen, auf Gitterpapier zeichnen

(Opa) Räumliches orientieren: Fähigkeit, sich wirklich oder gedanklich im Raum zu bewegen

(Volker) Räumliches Vorstellen: Fähigkeit, räumliche Objekte oder Beziehungen auch bei deren Abwesenheit reproduzieren zu können, sei es durch Sprache oder durch Handlungen

(denkt) Räumliches Denken: Fähigkeit mit räumlichen Vorstellungsinhalten beweglich umgehen zu können (Papierdeckchen falten/ausschneiden, Würfel drehen)

1. Visuomotorische Koordination: Fähigkeit des Menschen, das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen des Körpers zu koordinieren

   (Labyrinth, Dinge verbinden)

2. Figur-Grund-Diskriminierung: Fähigkeit, aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren (Wimmelbilder, überschneidende Linien)

3. Wahrnehmungskonstanz: Fähigkeit, Objekte wieder zu erkennen und von anderen Objekten zu unterscheiden (z.B. kleine Ausschnitte eines großen Bildes)

4. Wahrnehmung räumlicher Beziehungen: Fähigkeit, Beziehungen zwischen Objekten zu erkennen und zu beschreiben (etwas liegt unter einem Stuhl, steht neben einem Tisch etc.)

5. Wahrnehmung der Raumlage: Fähigkeit, die Raumlage eines Objektes in Beziehung zum Standpunkt der wahrnehmenden Person setzen zu können. (Versetzung in den Stand der Personen: „Umkreise alle linken Füße der Kinder“)

Nicht gut ausgeprägt wenn z.B. Ziffern oder Buchstaben spiegelverkehrt geschrieben werden

Förderung der räumlichen Vorstellungen durch Kopfgeometrie

• Phase 1: Die Aufgabenstellung wird mit Hilfe von Sprache präsentiert ggf. Hilfsmittel: Gestik; Bild; Zeichnung; Modelle

• Phase 2: Mentales Operieren (Lösen im Kopf), Die Aufgabe wird mit Hilfe des räumliches Vorstellens gelöst.

• Phase 3: Ergebnisdarstellung, rein verbal, ggf. mit Hilfen: Gestik; Zeichnung; Bauwerk; Handlung

Zählen:

Zahlen sprechen

Ziffern und Stellenwert:

Zahlen schreiben

Zahlen in verschiedenen Zahlaspekten: Zahlen sehen, vorstellen, denken

Zählen:

Zahlen sprechen

—> Er hat einen gewissen Bereich, indem er sicher zählen kann, er hat aber noch keine Systematik im Dezimalsystem (versteht noch nicht, dass nach den 30ern die 40er kommen usw.)

Phasen der Zahlwortentwicklung (Fuson, 1988) SUBNB

• String Level: Phase der noch nicht differenzierten Ganzheitsauffassung der Zahlwortfolge

• Unbreakable chain level: Phase der differenzierten Ganzheitsauffassung der Zahlwortfolge

• Breakable chain level: Phase des Weiterzählen-Könnens

• Numerable chain level: Phase er Auffassung von Zahlwörtern als zählbare Einheiten

• Bidirectional chain level: Phase der Auffassung der Zahlwortfolge als flexible durchlaufbare Reihe

1. Kardinalzahlaspekt

   (Zwei Rotkardinale)

   • z.B. Menge, Anzahl

   • Funktion der Zahlen: Bezeichnung der Mächtigkeit von endlichen Mengen

2. Ordinalzahlaspekt

   Ordnung

   • Zählzahlaspekt und Ordnungszahlaspekt

   • Zählzahlsaspekt: Zahlen zum Zählen, um eine Reihenfolge, einen Punkt in der Reihe zu markieren z.B. Hausnummer, Seitenzahlen, Platzzahlen, Wir sitzen in Reihe 7, Buchseite 25

   • Ordnungszahlaspekt: zur Markierung eines Rangplatzes in einer linear geordneten endlichen Menge (z.B. erster, zweiter… „Der wievielte?“) z.B. „Ich habe den ersten Platz erreicht“, „Die dritte Kreuzung rechts“, „Was ist die zweite Sorte von links?“

3. Maßzahlaspek

   Maßband

   • Bezeichnung von Größen mit Bezug auf eine Einheitsgröße (Meter, Euro, Sekunden)

   • z.B. Zeitspannen, Längen „wie lange, wie groß, wie schwer?

   •  „Mein Ranzen ist 10 Tonnen schwer“, „Ich wohne nur 50 Meter von der Schule entfernt“, „Ich bin 10cm größer als du“

4. Operatoraspekt

   Mit den Händen zählen

   • Wie oft?

   • Bezeichnung von Vielfachen 

   • z.B. einmal, zweimal…, „Ich habe diese Woche einmal meine Hausaufgaben vergessen“, „Der Bus kam heute zweimal zu spät“

5. Rechenzahlaspekt

   Taschenrechner

   • Algebraischer und algorithmischer Aspekt

   • zum Rechnen; Zahlen können innermathematisch verknüpft werden

   • algebraischer Effekt: Verknüpfung bei Addition und Multiplikation; Rechnen nach Gesetzen, allgemeine Gesetzgültigkeiten

     • (3x5 = 5x3), „Es ist egal ob ich 3 Dinge für 4 Euro kaufe oder 4 Dinge für 3 Euro.“  

   • Algorithmischer Aspekt: Zahlen als Stellenwertsysteme; Zahlen benutzt um schneller rechnen zu können (schriftliche Rechenverfahren)     

     • „Ich kaufe einen Ball für 2 Euro und Schokolade für 1 Euro, zusammen sind das 3 Euro.“

6. Codierungszahlaspekt

   Etwas zeigen

   • Unterscheidung von Objekten; lassen sich nicht sinnvoll der Größe nach ordnen oder gar verrechnen

   • Telefonnummern, Autokennzeichen, Fragebogenauswertungen, Matrikelnummer, „Das Autokennzeichen lautet…“, „Meine Telefonnummer ist…“

Algorithmischer Rechenzahlaspekt:

• Der algorithmische Rechenaspekt bezieht sich auf die Anwendung von festgelegten Schritten oder Verfahren, um mathematische Probleme zu lösen. Es betont die Abfolge von Handlungen, die systematisch befolgt werden, um zu einer Lösung zu gelangen.

• Beispiel: Die schriftliche Addition von Zahlen ist ein Beispiel für den algorithmischen Rechenaspekt. In diesem Fall folgen Sie einem klaren Schritt-für-Schritt-Verfahren, um die Summe zu erhalten.

Algebraischer Aspekt:

• Mit den Zahlen wird eine Gesetzmäßigkeit ausgedrückt, z.B.: 3+4=4+3 (Kommutativgesetz).

• Beispiel: Das Kommutativgesetz für die Addition besagt, dass die Reihenfolge der Operanden das Ergebnis nicht beeinflusst. Formal ausgedrückt: Für alle Zahlen a und b gilt a+b = b+a

1. Kardinalzahl (Menge, Anzahl)

   30 Studierende in einer Übungsgruppe

   12 Übungsblätter

   3 Aufgaben

2. Ordinalzahl (Ordnung)

   Ordnungszahl: 1. Aufgabe, 2. Übungsblatt, 3. Übungsgruppe

   Zählzahl: Hausnummer 4 (wenn es auch 1, 2 und 3 gibt)

   Platz 7

3. Maßzahl

   6 m, 3 h, 5 l

4. Operator (Wie oft?)

   7 mal in der Woche Aufstehen

   5 mal in der Woche

   12 mal ein Übungsblatt abgeben

5. Rechenzahl

   algebraisich: Kommutativgesetz

   algorithmisch: Schriftliche Addition

6. Codierung

   PLZ

   Matrikelnummer

   Telefonnummer

Typen von Arbeitsmitteln:

Unstrukturierte Materialien   

• Materialien, mit denen sich Zahlen als eine entsprechende Anzahl an einzelnen Objekten darstellen lassen, z.B. Kastanien, Knöpfe…

Strukturierte Materialien

• Materialien, mit denen sich Zahlen als Ganzheiten (aus zusammengesetzten Einzelelementen) darstellen lassen, z.B. Stäbe entsprechender Länge

Mischformen

• Materialien, die eine klare 5er- und 10er-Gliederung aufweisen, deren Elemente jedoch auch einzeln genutzt werden können, z.B. die eigenen Finger

• + und - Rechnen

• + = Addition

• - = Subtraktion

• Operationen als Verknüpfungen

  • Addition als Vereinigung disjunkter (getrennter) endlicher Mengen

    (z.B. Uwe hat 9 Brötchen gekauft und Sabine 6. Wie viele Brötchen Sabine weniger gekauft?)

  • Subtraktion als Restmengenbildung endlicher Mengen mit Teilmengenbeziehung

    (z.B. lade ich 15 Kinder ein, es kommen nur 12, somit gibt es zwei Teilmengen, einmal die Kinder, die gekommen sind und einmal die, die eingeladen waren)

  • Addition als mehrfache Nachfolgerbildung

    Der Nachfolger einer Zahl ist einfach die nächstgrößere Zahl in der Reihe der natürlichen Zahlen.

  • Subtraktion als mehrfache Vorgängerbildung

    Der Vorgänger einer Zahl ist die nächstkleinere Zahl in der Reihe der natürlichen Zahlen.

Situation mit Teilmengenbeziehung

• Zwei Mengen sind gegeben, die dritte gesucht.

• In jedem Fall sind zwei disjunkte Mengen Teilmengen der dritten.

• Emma lädt 10 Kinder zu ihrem Geburtstag ein, zwei sind krank und eins kommt zu spätWie viele Kinder sind da?

Situationen mit disjunkten Mengen ohne Teilmengenbeziehung

• Zwei disjunkte Mengen werden zwar miteinander in Beziehung gesetzt, aber nicht vereinigt. Meist dient die eine Menge als Referenzmenge für die andere, egal ob verglichen oder ausgeglichen wird

Situation mit Teilmengenbeziehung

• Zwei Mengen sind gegeben, die dritte gesucht.

• In jedem Fall sind zwei disjunkte Mengen Teilmengen der dritten.

• Emma lädt 10 Kinder zu ihrem Geburtstag ein, zwei sind krank und eins kommt zu spätWie viele Kinder sind da?

Situationen mit disjunkten Mengen ohne Teilmengenbeziehung

• Zwei disjunkte Mengen werden zwar miteinander in Beziehung gesetzt, aber nicht vereinigt. Meist dient die eine Menge als Referenzmenge für die andere, egal ob verglichen oder ausgeglichen wird

Dynamisch:

Statisch:

Dynamische Situationen

• Manche Beziehungen enthalten dynamische Beziehungen zwischen den Mengen bzw. den Objekten: hinzukommen, wegfliegen, aufessen, gewinnen…

• Es geschieht eine Handlung/Aktion

Statische Situationen

• Andere Situationen sind dagegen statisch: Zwei Mengen sind gegeben, deren Summe bzw. Differenz zu bilden ist, ohne dass die Mengen explizit verändert werden: es liegen …, davon sind…

• Es verändert sich nichts

1)     54 Schüler:innen spielen auf dem Schulhof. Beim Klingeln rennen 28 direkt zurück in die Schule. Wie viele Schüler:innen spielen nach dem Klingeln noch auf dem Schulhof?

Dynamisch, Teilmengen, Richtung abfallend

2)     Kathi hat 54 Briefmarken. Alex hat 28. Wie viele Briefmarken hat Kathi mehr als Alex?

Statisch, Disjunkt, Richtung ansteigend