Grundfragen der Mathematikdidaktik

• Kunst und Wissenschaft des Lehrens und Lernens.

• zentrale Disziplin der Pädagogik

• neben der fachlichen Ausbildung zur Qualifizierung in der wissenschaftlichen Lehrerbildung

Wolfgang Klafki:

„Wissenschaft vom Lehren und Lernen in allen Formen und

auf allen Stufen. In diesem Sinne umfaßt der Begriff sowohl

systematisches als auch gelegentliches Lehren und Lernen,

bewusstes Lernen und unbewusstes Lernen, das 'Was', also den Inhalt des Lehrens und Lernens ebenso wie das 'Wie', dieVerfahrensweisen und Methoden, Organisationsformen und Hilfsmittel.“

->

Materiale Bildungsziele - konkrete stoffliche Inhalte (durch den Lehrplan vorgegeben)

Formale Bildungsziele - Entwicklung von Kindern fördern (Fertigkeiten und Fähigkeiten entwickeln)

Abbildung aus Sachunterricht (nur zur Veranschaulichung)

Die Wissenschaft vom Lernen und Lehren von Mathematik / Theorie und Praxis des Lehrens und Lernens von Mathematik

deskriptiv/empirisch/analytisch = Erfassung was ist lernförderlich, was nicht, was funktioniert schon, was nicht? / IST-Zustand

normativ oder präskriptiv (bestimmte Normen festlegend) = ZIEL-Zustand

konstruktiv = Wenn etwas zwischen dem IST- und ZIEL-Zustand steht (DISKREPANZ) / versucht die Diskrepanz aufzuheben durch zB KC

integrativ = LÖSUNGSVORSCHLAG

-> (verschiedene Dimensionen der Mathematikdidaktik)

Mathematikdidaktik (Forschungspraxis) und Unterrichtswirklichkeit (Unterrichtspraxis) stehen in permanenter Interaktion (konstruktive und analytische Dimension der MD):

• interagiert mit der Schule und der gesamten Gesellschaft

• Spannung zwischen der Fachwissenschaft und der Schulpraxis darf nicht als eine lineare, hierarchische Verbindungskette interpretiert werden.

• Forderung -> Schule soll Allgemeinbildung vermitteln

• Reformvorstellungen für preußisches Schulwesen

• “Mathematische "Strenge” = positiver Einfluss auf moralische Entwicklung

  -> strenges Vorgehen -> Notwendigkeit

• Zentral: Verständnis von Zusammenhängen

ABER Unterrichten “reiner” (theoretischer) Mathematik / Anwendungen eher zweitrangig

• Formale Zielsetzungen: Vermittlung mathematischer Schlussweisen, Methoden

-> siehe Theorie der methodischen Bildung

Ziel: Vermittlung von anwendbarer Mathematik

• im Fokus des Sachrechnens

• Konzepte des Sachrechnens gewinnen hier an Bedeutung für die Schulen, da

  • Menschen für ihren Lebensalltag im Beruf anwendbare Mathematik brauchen

  • UND weil Vertreter Kritik äußerten: “ Das von Zwang und Drill geprägte Rechnen im Mathematikunterricht führt dazu, dass Lernende den Sinn darin aus den Augen verlieren und es folglich im praktischen Leben nicht anwenden können.”

Reformvorschläge für den höheren mathematischen und physikalischen Unterricht (Naturforscherversammlung, Meran)

-> Meraner Beschlüsse; 3 Prinzipien

• Psychologisches Prinzip (Unterricht; Anpassung an geistige Entwicklung + Vorstellungswelt der Lernenden)

• Utilitaristisches Prinzip (Befähigung zur mathematischen Betrachtung der uns umgebenden Erscheinungswelt -> diese Welt zur möglichsten Entwicklung bringen / zweckorientierte Ethik + Verzicht auf praktisch bedeutungslose Spezialkenntnisse)

• Didaktisches Prinzip (Konzentration des gesamten Lernstoffs um einen Gedanken, um Nebeneinander der einzelnen mathematischen Gebiete aufzuheben; “Fusion” der Mathematik + erfahrbare Bezüge)

Neben diesen Prinzipien fordert er:

• Die Stärkung des räumlichen Anschauungsvermögens

• Die Einführung der Differntialrechnung

• Die Erziehung zum funktionalen Denken

  • Funktionales Denken: typisch für den Umgang mit Funktionen (1) Zusammenhänge zwischen Größen (2) Abhängigkeiten von Größen (3) Zusammenhang als Ganzes

Nationalsozialisten pervertierten die Idee der Anwendungsorientierung

• nach dem zweiten Weltkrieg (1939-1945) verloren materiale Zielsetzungen (Befähigung zu Umweltbewältigung, Anwendungen) an Bedeutung

-> Gesellschaft handlungsunfähig machen / außer Gefecht setzen

Bedeutungsverlust materialer Zielsetzungen (Befähigung zu Umweltbewältigung, Anwendungen) verstärkte sich in der Phase der “Neuen Mathematik”

• starke Reformation

  • Orientierung an abstrakten mathematischen Begriffen (Menge, Abbildung, algebraische Struktur)

  • Schule sollte auf ein Leben in einer von moderner Wissenschaft geprägten Gesellschaft (und Wirtschaft) vorbereiten

    • “Sputnikschock” 1957 Folge: in allen Schulformen wurden Realitätsbezüge im Mathematikunterricht fast völlig gestrichen

Mathematikdidaktik

• entwickelte Standpunkte, die dem Mathematikunterricht formale und materiale Ziele zuordnete

Martin Wagenschein

Zentral: Verstehen (nicht das Beherrschen von Fähigkeiten/Algorithmen) -> “Selber einsehen wie es kommt”

exemplarisch-genetisch-sokratischer Unterricht

• exemplarisch:

  • besonders wichtige Einzelstoffe sollen als “Spiegel des Ganzen” behandelt werden

  • Stoffülle wird reduziert

  • Qualität vor Quantität / Tiefe statt Breite

• sokratisch:

  • Lehrkraft unterstützt (durch geschicktes Fragen) Schüler dabei, eigene Fragen zu entwicklen und zu Antworten und Einsichten zu gelangen

• genetisch:

  • an Prozesse der Entstehung von Mathematik (Entwicklungsprozesse) orientiert; Wege des Entdeckens und Verstehens

  • Der Wunsch nach Ergebnissen auf Seiten der Lernenden hält die Entwicklungsprozesse im Gang “Leistungssog statt Leistungsdruck”

  Voraussetzungen:

sokratisch Def: den griechischen Philosophen Sokrates und seine Lehre betreffend, auf ihr beruhend -

"sokratische Methode (auf die Gesprächsführung des Sokrates zurückgehende Methode des Lehrenden, durch geschicktes Fragen den Schüler die Antworten und Einsichten selbst finden zu lassen)"

Entwicklungsprozesse; hier als Prozess der Entstehung von Mathematik

“beziehungsvolle Mathematik” -> Mathematik als Netz von Beziehungen und Zusammenhängen

• “dass es wirksam bleibt” -> nachhaltiger Zugang

  • zB in Verhältnissen denken (Bruchrechnen) bleibt

Zentral: Beziehungen zu Lebenswirklichkeit

• mathematische Methoden und Denkweisen wichtiger als Faktenwissen

• ABER im Kern ging es ihm trotzdem nicht um anwendungsbezogene Mathematik

betrachtet Allgemeinbildung: “als zentrale Aufgabe der allgemeinbildenden Schulen” und als “verpflichtendes Angebot der Gesellschaft”

Orientierung / Überprüfung des Fachunterrichts; inwiefern hier ein Beitrag zur Allgemeinbildung geleistet wird -> Konzept mit 7 TEILAUFGABEN

• Lebensvorbereitung

  • Basis von, im Leben benötigtem Wissen und Fähigkeiten (welche man ohne Schule nicht erreichen könnte)

• Stiftung kultureller Kohärenz

  • innerhalb gesellschaftlichen Kulturkreisen zurechtfinden / Anerkennung / Identität

• Weltorientierung

  • Teil eines Ganzen / Zusammenhänge / Urteilsvermögen / “epochaltypische Schlüsselprobleme”

• Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch

  • eigenen Verstand nutzen / soziale Vermittlung

• Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft

  • Veratwortung für Verhalten & Haltung / Interaktion (im geschützten Raum Schule)

• Einübung in Verständigung und Kooperation

  • Interaktion / Fähigkeiten (Toleranz, Kompromissbereitschaft, ..) / soziales Miteinander

• Stärkung des Schüler-Ichs

  • Persönlichkeitsentwicklung / Stärken & Schwächen / Bedürfnisse / Selbstvertrauen

SIEHE Übung01: Mathematikunterricht auf 7 Teilaufgaben übertragen

“Mathematikunterricht sollte anstreben, die 3 Grunderfahrungen, die vielfältig miteinander verknüpft sind, zu ermöglichen.”

1995

(1) Mathematik als Werkzeug

um die Welt in einer spezifischen Art (hier mathematisch) wahrzunehmen - mathematische Brille / hier ist nicht gemeint, dass Mathe über anderen Fächern steht

-> zB Modellierungsaufgaben / Zusammenspiel Oberfläche & Volumen

(2) Mathematik als eigene Welt

/ deduktiv geordnete Welt: vom Allgemeinen zum Spezifischen

-> zB Beweisen von Behauptungen, Experimentieren / Geometrie: 1. deduktive Wissenschaft

(3) Mathematik als Mittelzum Erwerb von auch über die Mathematik hinausgehenden Problemlösefähigkeiten = heuristische Fähigkeiten* / durch Bearbeitung von Aufgaben Problemlösen üben

-> zB Problemlösestrategien (Zerlegung in Teilprobleme, Analogien)

* heuristische Kompetenz: Problemlösungsverfahren, mit denen neue Situationen bewältigt werden können (wo Routinewissen nicht mehr ausreicht), zB systematische Vorgehensweisen (Lernziel Aufgabe Hühner & Schweine in Übung01 - vom wahrlosen Probieren zum systematischen Probieren)

_________________

Im Matheunterricht sollten Schüler 3 Grundlegende Erfahrungen machen -> 3 Wintersche Grunderfahrungen

(keine auswendig gelernten Inhalte SONDERN Mathematik muss erlebt werden / alle Erfahrungen miteinander verknüpft)

Ergebnisse 1. PISA-Studie (Ende 2001)

• Deutsches Schulsystem erhebliche Leistungs- und Gerechtigkeitsdefizite

  • unterhalb OECD-Durchschnitt

  • Schulerfolg stark vom Elternhaus abhängig

  • Schwächen dt. Schüler: Mathematik im Alltag

PISA-Schock

• Forderung nach Reformen des Bildungssystems

  • Anwendungen wieder höheren Stellenwert

  • Vermittlung von nützlichen Kenntnissen anstelle von “trägem Wissen”

PISA-E (Deutsche Zusatzstudie)

• Leistungsunterschiede zwischen Bundesländern “Bildungsgefälle”

Oft wird die Einführung der bundesweiten Bildungsstandards als eine Folge des PISA-Schocks genannt - STIMMT NICHT, denn

• TIMSS-Studie (1995): Kritik und Forderung nach Veränderung des Mathematikunterrichts

• Entwicklung der Bildungsstandards wurde 1997 beschlossen

-> als Lehrkraft ist es wichtig, ob die Klasse die Kenntnisse und Fähigkeiten LANGFRISTIG anwenden kann

Outputsteuerung

• weg von reinen Fachinhalten, Faktenwissen, Algorithmen

• hin zu Kompetenzen; Fähigkeiten und Fertigkeiten

Klieme-Expertise, von E. Klieme

• Output von Bildungssystemen umfasst

  • Aufbau von Kompetenzen, Qualifikationen, WIssenstrukturen, Einstellungen, Überzeugungen, Werthaltungen

KMK - Bildungsstandards in zentralen Fächern einführen -> Orientierung an (bei PISA erfolgreicheren) Staaten - in denen es schon länger verbindlich vorgegebene Standards für das gibt, was das Bildungssystem erreichen soll

Konzeptionelle Grundlage für den KMK-Beschluss war die Expertise „Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards“ einer zehnköpfigen Expertengruppe unter Leitung von E. KLIEME -> fachbezogenen Kompetenzen, die Schüler bis zum jeweiligen Abschluss erwerben sollen

Nationale Bildungsstandards formulieren verbindliche Anforderungen an das Lehren und Lernen in der Schule.

Bildungsstandards benennen präzise, verständlich und fokussiert die wesentlichen Ziele der pädagogischen Arbeit, ausgedrückt als erwünschte Lernergebnisse der Schülerinnen und Schüler. Damit konkretisieren sie den Bildungsauftrag, den Schulen zu erfüllen haben.

Kompetenzen Def: kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten

-> nicht wissen, sondern etwas tun können - erfolgreich einsetzen (Problemlösefähigkeiten) und verantwortungsvoll nutzen; mathematische Arbeitsprozesse = Fähigkeit zur Anwendung

Bereitschaft:

• motivationale (Motivation)

• volitionale (Willenskraft, Ausdauer)

• soziale (anderen Helfen)

Bildungsstandards (Fach Mathematik) benennt konkrete Kompetenzen (die vermittelt werden sollen); Unterscheidung:

• inhaltsbezogene Kompetenzen

• prozessbezogene bzw. allgemeine Kompetenzen

Bildungsstandards der Kultisministerkonferenz (KMK) - für alle Schulformen; Unterscheidung in

• Prozessebezogene bzw. allgemeine Kompetenzen

• Inhaltsbezogene Kompetenzen

Schüler sollen diese Kompetenzen am Ende der Schulphase erworben haben!

Erwartet wird, dass die Schüler diese Kompetenzen in außermathematischen (Anwendungsorientierung) und in innermathematischen (Strukturorientierung) Kontexten nutzen können -> OUTPUTSTEUERUNG

erfolgreiches mathematisches Arbeiten erfordert stets das Zusammenspiel inhalts- und prozessbezogener Kompetenzen

• Entwicklung der Bildungsstandards 1997

  • aufgrund von TIMSS-Studie (nicht PISA-Schock)

• Konzeptionelle Grundlage: KLIEME Expertise “Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards”

  • Expertengruppe unter Leitung E. KLIEME

Prozessbezogene bzw. allgemeine Kompetenzen

-> beschreiben zentrale Aspekte des mathematischen Arbeitens:

6 -> mit mathematischen Objekten und Werkzeugen arbeiten

K1 - Math. argumentieren: logische Schlüsse ziehen + ausreichend begründen/beweisen

K2 - Math. Problemlösungen: kein direkter Lösungsweg verfügbar -> kognitive Hürde = Problemlösefähigkeiten werden benötigt (zB Strategien: systematisch ausprobieren / Prinzipien: Zerlegungsprinzip)

K3 - Math. Modellieren: Realität - Mathematische Modelle - Lösung - Realität (Übersetzung zw. Mathe und Realität)

K4 - Math. Darstellungen verwenden: vorhandene & selbsterstellte nutzen (es muss wirklich aktiv damit gearbeitet werden - nur abgerdrucktes Bild fördert K4 nicht)

K5 - Mit Math. symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen: Algorithmus (Fakten kennen und Schemata anwenden) auch Hilfsmittel (Taschenrechner)

K6 - Math. kommunizieren: math. Überlegungen formulieren (zB vor der Klasse in eigenen Worten) schriftlich und mündlich

Aufgabe können mehrere Kompetenzen fordern

! ACHTUNG kommunizieren und argumentieren unterscheiden sich !

Bildungsstandards

• länderübergreifender Bildungsplan

  • für Grundschule, Hauptschule und mittlerer Bildungsabschluss

• Orientierung für Lehrkräfte etc.

• Bildungsziele; erwünschte Lernergebnisse - Kompetenzen - Testverfahren; Grundlage für die überprüfung der Ergebnisse

• legen zu erwerbende 6 Kernkompetenzen fest

  
  

Kerncurricula

• je Bundesland formuliert

• die in den Bildungsstandards def. Kompetenzen werden durch Beschreibungen von Anforderungen konkretisiert und anhand von Lernaufgaben illustriert

• Umsetzung der 5 Leitideen

• beschreiben fachbezogene Kompetenzen

  • die Schüler bis zum Abschluss erwerben sollen

• Bildungsziele = Leistungsstandards

  • fachlich

  • übergreifend (Werthaltungen, Einstellungen, Überzeugungen)

• KEINE Unterrichtsstandards -> Freiräume zur Gestaltung des Unterrichts

• Vergleich:

  Lehrpläne = Inhalte vs. Bildungsstandards = Kompetenzen

  • Kompetenzen lassen sich aber nur anhand von konkreten Fachinhalten erwerben

    -> deshalb legen Bildungsstandards auch verbindliche Inhalte fest: Kerninhalte

• erlernbare, kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten

  • um bestimmte Probleme zu lösen (in variablen Situationen erfolgreich anwendbar)

    
    

zwei Erwartungen

• Zielklarheit -> Orientierung

• empirische Überprüfung -> Leistungsüberprüfung

Inhaltsbezogene Kompetenzen

-> in 5 inhaltlich mathematische Leitideen strukturiert

• keine mathematische Teilgebiete

• keine Zuordnung zur Jahrgangsstufen

• durchzieht das mathematische Curriculum spiralförmig (Spiralprinzip); vereinigt Sachgebiete*

• vernetztes Wissen; durch Verbindung Sachgebiete

• Aufbau adäquater Grundvorstellungen (vom Hofe)

Den Leitideen sind je der Schulstufe angemessene Inhalte / Bezeichnungen zugeordnet:

*Sachgebiete; hier sind Arithmetik, Gemoetrie, Größen und Sachrechnen gemeint

Im mathematischen Arbeiten werden die prozessbezogenene bzw. allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit unterschiedlichen kognitiven Ansprüchen benötigt

-> 3 Anforderungsbereiche:

• Anspruch und kognitive Komplexität nehmen von Anforderungsbereich I bis Anforderungsbereich III zu

Die Auseinandersetzung mit Aufgabenstellungen zu allen drei Anforderungsbereichen ist für alle Schülerinnen und Schüler – unabhängig vom mathematischen Leistungsvermögen – von zentraler Bedeutung, um erfolgreich und nachhaltig prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzen auf- und auszubauen.

KC für Grundschule des Nds. Kultisministeriums (Bildungsbeitrag des Fachs Mathematik)

-> orientieren sich an den Bildungsstandards

Beispiele aus Prozess- & Inhaltsbezogenen Kompetenzen:

Bezug auf die TIMS-Studie (aber vor PISA-Studie) ->

Henn und Kaiser - Defizite des Matheunterrichts (2001):

1. Einseitige Orientierung an einer deduktiv aufgebauten Fachsystematik

   • deduktiv (vom Allgemeinen zum Spezifischen); Unterrichtsstruktur von allgemeinem Theorieverständnis zu speziellen Folgerungen -> formale Beweise, hohe Komplexität, daher lehrerzentriertes Unterrichtsgespräch (Frontalunterricht) = geringe Eigenaktivität der Lernenden

   • inhaltsbezogene Beweise eher selten; kein Realitätsbezug

2. Dominanz des Regellernens und Kalkülorientierung

   • Regeln in Kalkülen; Auswendiglernen-> Ersatz für tieferes Verständnis = mehrmals Verfahren anwenden, aber nicht verstehen

   • keine Problemlösefähigkeiten

3. Routinen und Interaktionsmuster im fragend-entwickelnden Unterricht

   • gemeinsam erarbeitender Mathematikunterricht (Lehrer und Schüler)

   • verdeckte Interaktionsmuster und Routinen; kleinschrittige Lehrerfragen bis zur angestrebten Lösung -> Lösungsmöglichkeiten der Schüler werden nicht einbezogen = keine Anknüpfung an Vorstellungen der Schüler

   • keine Individualarbeit (eigenes Tempo, eigener Lösungsweg)

4. Argumentationen und die Rolle von Sprache

   • mathematisch korrekte Fachsprache; Einschränkung von mathematischen Denken und Vorstellungen der Schüler & Schüler fühlen sich gehemmt

   • Unterbrechungen durch Lehrkraft = Frustration der Schüler

5. Zu wenig Realitätsbezüge und Vernetzungen

   • Realitätsbezüge und außermathematische Anwendungen - geringer Stellenwert; realitätsfern und verkleidete Aufgaben = herausfinden des versteckten Algorithmus und dann richtige Mathematikaufgabe

   • umfangreiche Probleme wie bei WINTER Grunderfahrung von Mathematik als Mittel zur Umweltbewältigung - kaum angeboten; keine Realprobleme - die wirkliche Modellierung, der Übergang von der Realität zur Mathematik, die mathematische Analyse und die Rückübersetzung der Ergebnisse in die reale Situation werden nur selten ernsthaft thematisiert

   • keine Vernetzung innerhalb der Mathematik und bei Anwendungsbeispielen

Abschließend können wir feststellen, dass die traditionelle Unterrichtspraxis der gymnasialen Oberstufe sich einseitig an der auf die Mathematik ausgerichteten WINTERschen

Grunderfahrung orientiert. Hinzu kommt die inhaltliche Überfrachtung vieler Lehrpläne, in denen ohne sachliche Notwendigkeit zu viele Details vorgeschrieben werden. Bedingt durch die Stofffülle bleibt im derzeitigen Mathematikunterricht nur wenig Zeit für Eigenaktivitäten der Lernenden. Eine aktive Sinnkonstruktion mathematischer Inhalte ist aber Grundvoraussetzung für kumulatives Lernen und für horizontale und vertikale Vernetzung der mathematischen Inhalte, worauf psychologische Studien immer wieder hinweisen (vgl. WEINERT 1999).

Kapitänsaufgaben: „Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der

Kapitän?“

• Schüler verbinden wahllos mit bekannten Rechenoperatoren / verstehen die Aufgabe gar nicht

• Schüler versuchen durch bereits erlangte Kenntnisse eine Aufgabe zu lösen - nicht indem sie sich in die Situation hineinversetzen

1. Einseitige Orientierung an einer deduktiv aufgebauten Fachsystematik; VERBESSERUNG:

   • realitätsbezug

   • Kinder sollen selbst aktiv werden

   • Exemplarisches Lernen (Wagenschein) vom Einzelfall zum Gesamtzusammenhang

     • zB Dreicke - Ecken abreißen - immer 180 Grad

2. Dominanz des Regellernens und Kalkülorientierung; VERBESSERUNG:

   • Vernetzung von verschiedenen Themen

   • Themengebiete nicht einzeln “abarbeiten”

3. Routinen und Interaktionsmuster im fragend-entwickelnden Unterricht; VERBESSERUNG:

   • Lösungsansätze weiterdenken

   • Fragen stellen

   • Offene Diskussionen

4. Argumentationen und die Rolle von Sprache; VERBESSERUNG:

   • Verstehen in eigenen Worten (Schutzraum) für freies Denken / nachträglich in Fachsprache übersetzen

   • nicht unterbrechen

5. Zu wenig Realitätsbezüge und Vernetzungen; VERBESSERUNG:

   • realitätsbezug

   • Anknüpfung an Erfahrungen & Vorstellungen der Schüler

   • echte Anwendungsaufgaben (keine verkleideten)

   • Vernetzung innerhalb der Mathematik

Beschreibung nach Reiss und Hammer

“Ein (reales) Problem muss in ein mathematisches Modell übersetzt werden, in diesem Modell wird gearbeitet, die Lösung muss im (realen) ursprünglichen Bereich überprüft werden.”

• in der VL gehen wir immer von realen Modellieren aus

Das Modell als „isolierter Teil der Wirklichkeit“

Das Modell als Vereinfachung der Realität

Das Modell als Ausgangspunkt für die Anwendung

mathematischer Methoden

Primarstufe

Gymnasium

1. Vereinfachung (Vereinfachung der Gegebenheiten)

2. Entsprechung (der Wahrheit/Wirklichkeit entsprechend)

3. Anwendbarkeit mathematischer Methoden (zB Satz des Pythagoras)

• wiederspruchsfrei

• zweckmäßig (auf die Situation anwendbar)

• die wesentlichen Beziehungen/Aspekte der realen SItuation abbildet (was möchte ich herausbekommen? Wie ist die Fragestellung?)

1. Deskriptive Modelle: beschreiben etwas

   • rein deskriptiv: beschreiben

     • Form der Brücke darstellen bzw. beschreiben

   • deskriptiv-explikativ: erklären

     • Form der Brücke erklären (Wieso wird die Brücke so gebaut?)

   • deskriptiv-prognostisch: vorhersagen

     -> Auffassung, dass alle – auch zukünftige Ereignisse durch Vorbedingungen eindeutig festgelegt sind

     • Schwachstellen der Brücke vorhersagen

2. Normative* Modelle: schreiben etwas vor

   • realisieren/simulieren

     • Bauplan der Brücke

Funktion

*normativ Def: als Richtschnur, Norm dienend; eine Regel, einen Maßstab für etwas darstellend, abgebend

Vierphasiger Kreislauf

Alpha: (Reale Situation -> Reales Modell)

• durch Vereinfachung der Realität gelange ich zum Modell

Beta (Reales Modell -> Math. Modell)

• das reale Modell mathematisiere ich zum Math. Modell

Gamma (Math. Modell -> Math. Resultate)

• ich arbeite mathematisch mit dem Math. Modell und gelange zu Math. Resultaten

  • ggf. muss ich mir nochmal mein Realmodell anschauen

Delta (Math. Resultate -> Reale SItuation)

• Rück-Interpretation bzw. Anwenden

BEISPIEL

Modellierungskreislauf KC Grundschule

• enthält zusätzlich den Teilschritt “validieren”

• Vereinfachung Modellierungskreislauf nach Blum und Leiß

Modellierungskreislauf (Blum und Leiß)

• enthält zusätzlich “Situationsmodell”

  • beschreibt mentale Darstellung der realen Situation durch Individuum -> jeder individuelle Repräsentation der Wirklichkeit im Kopf (verschiedene Menschen = verschiedene Repräsentationen = Subjektivität)

    -> gleiche Realität - unterschiedliche mentale Bilder

BEISPIEL

Das Verstehen einer Situation bzw. einer Aufgabe – also das Bilden eines adäquaten mentalen Modells – ist natürlich wesentlich, um zu sinnvollen Einordnungen und Ergebnissen zu kommen!

Realsituation

• 1 Verstehen: Die Schüler konstruieren ein eigenes (!!!) mentales Modell zu einer gegebenen Problemsituation und verstehen so die Fragestellung.

Situationsmodell

• 2 Vereinfachen/Struktuieren: Schüler machen auf die Situation bezogen Annahmen, erkennen beeinflussende Größen, stellen Beziehungen zwischen den Größen her und suchen nach relevanten Informationen (Filter nach dem Wichtigen)

Realmodell

• 3 Mathematisieren: Schüler übertragen die relevanten Größen und Beziehungen ggf. vereinfacht in ein mathematisches Modell und wählen dazu eine geeignete mathematische Darstellungsform.

Mathematisches Modell

• 4 Mathematisch arbeiten: Schüler wenden heuristische Strategien und mathematisches Wissen zur Lösung des mathematischen Problems an.

Mathematische Resultate

• 5 Interpretieren: Schüler übersetzen die mathematischen Resultate in außermathematische Situationen, verallgemeinern für spezielle Situationen entwickelte Lösungen und stellen Problemlösungen angemessen sprachlich dar.

Reale Resultate

• 6 Validieren: Schüler überprüfen und reflektieren gefundene Lösungen, revidieren ggf. Teile des Modells, falls Lösungen der Situationen nicht angemessen sind und überlegen, ob andere Lösungen oder Modelle möglich sind

Situationsmodell

• 7 Vermitteln: Die Schüler beziehen die im Situationsmodell gefundenen Antworten auf die Realsituation und beantworten so die Fragestellung.

Realsituation

Modellierungsaufgaben fördern ...

Pragmatische Sicht:

• Schüler sollen sich mit ihrer Umwelt beschäftigen

• befähigt werden, sich die Umwelt mit mathematischen Mitteln zu erschließen (Mathematik als Werkzeug - 1. WINTERsche Grunderfahrung)

  -> Ziel: Befähigung zur Wahrnehmung zum Verstehen von Erscheinungen unserer Welt

Prozessbezogene Ziele:

• Problemlösefähigkeiten, insb. heuristische Strategien (Mathematik als Mittel - 3. WINTERsche Grunderfahrung)

• das Kommunzieren und Argumentieren

ALLGEMEINE ZIELE (Modellierungsaufgaben im Unterricht können)

• ein ausgewogenes Bild der Mathematik, insb. der Bedeutung für die Gesellschaft, vermitteln;

• dazu beitragen, dass Schüler in der Realität verwandte Modelle kritisch beurteilen können - Beitrag zur Mündigkeit;

• durch das gemeinsame Erarbeiten auch soziale Kompetenzen fördern

Beliefs von Lernenden:

• Schüler mit schama- oder formalismusorientierung Weltbild lehnen Modellierungsbeispiele ab

• durchgeführte Modellierungen verändern die Meinung zur Mathematik deutlich positiv

Beliefs von Lehrenden/LK:

• Mehrzahl der LK sieht Mathematik als Wissenschaft mit großem Anwendungsbezug

• Aber: LK an Hauptschulen schätzen den Anwendungsbezug höher als Realschul- & Gymnasialkräfte -> Alltagsbezug als Motivationsfaktor

*Beliefs Def: überdauernde, stabile Überzeugungen

Weitere Ergebnisse:

• Jeder Teilschritt des Modellierens kann für Lernende eine kognitive Hürde darstellen

• Insb. der erste Schritt (Verstehen der Realsituation; Bilden eines mentalen Modells) bereitet häufig Schwierigkeiten

  • Problem: Lernende haben oft die “Strategie” entwickelt, diesen Schritt bei Textaufgaben zu umgehen - siehe Kapitänsaufgaben / Schule trainiert an, das Ergebniss schnell vorzeigen zu sollen -> schnell überfliegen, dann thematisch mathematisch anwenden

  • Auch das validieren stellt ein Problem dar - oft scheint sich eingebürgert zu haben, dass dies Aufgabe der LK ist / LK stell Ergebnis am Ende eh dar & ob Ergebnis valide ist wird nicht überprüft

  • es gibt unterschiedliche Denkstile von Schülern, welche das Modellieren beeinflussen

  • Lernende mit “visuellem” Denkstil beziehen sich nur kurz auf das reale Problem und argumentieren eher aus dem mathematischen Modell heraus

  • Lernende mit “analytischem” Denkstil beziehen sich nur kurz auf das reale Problem und argumentieren eher aus dem mathematischen Modell heraus

    -> auf BEIDE DENKSTILE sollte man im Unterricht eingehen, ebenso auf unterschiedlcihe inhaltliche Interessen