Simpson-Paradoxon

• Edward Hugh Simpson (1951) beschrieb als erster das statistische Phänomen

• Konfundierung mit einer Drittvariablen

  • Ergebnisse in Teilgruppen unterscheiden sich von dem Aggregat

  • Effekte können sich sogar im Vorzeichen umkehren

• tritt auf, wenn keine Randomisierung erfolgt

  • Problem: oft keine Randomisierung möglich

• schwer vorherzusagen, welche Drittvariablen wichtig sind, deshalb versuchen möglichst viele Kovariaten miterheben

• ≠ Stichprobenverzerrung (sampling bias)

• Evaluation der Wirksamkeit einer neuen Therapie

• Diskriminierungsklage gegen die University of Berkeley

• Überlastung und Arbeitszufriedenheit

• Todesfalle Uniklinik

• Hautfarbe und Todesstrafe

• Studiendauer und Gehaltshöhe

• Pünktlichkeit von Fluglinien

• Trefferquote beim Elfmeterschießen

• Arbeitslosigkeit und NSDAP-Wähleranteil

• Erziehungsstil und Alter der Eltern

• Bildung und Arbeitslosenquote

• verwandte Phänomene

  • Gerrymandering

  • Will-Rogers-Phänomen

• Konfundierung der Behandlung mit dem Stadium der Erkrankung

  • unterschiedliche Gruppenzusammensetzung

  • unterschiedliches n - Power max. wenn n gleich

Heilungsraten:

• Durchmesser der Kreise = n

• Konfudierung mit Fakultät (Department)

  • unterschiedliche Annahmechancen

  • Männer bewerben sich eher an Fakultäten mit höheren Annahmechancen

  • in jeder einzelnen Fakultät wurden Frauen jedoch eher angenommen als Männer (umgekehrt)

• Konfundierung mit Schweregrad der Erkrankung

  • Effektstärke: 2.6 % Range

• Problem der Veröffentlichung von “Erfolgsraten”

“Wie sehr befriedigt Sie Ihre Arbeit?”

• Konfundierung mit Position

  • je mehr Verantwortung, desto mehr Autonomie und daher Zufriedenheit

  • Mitarbeiter in verantwortlicher Position sind generell zufriedener mit ihrer Arbeit

• Überlastung reduziert jedoch Arbeitszufriedenheit unabhängig von der Position

• es scheint als würden Weiße eher zu Tode verurteilt werden

• Konfundierung mit Hautfarbe des Opfers

  • Weiße bringen eher Weiße um

• in den Teilgruppen werden jedoch Schwarze häufiger verurteilt

  • bei weißen und schwarzen Opfern

• in allen Studienfächern sinkt das Gehalt mit zunehmender Studiendauer

• insgesamt steigt das Gehalt jedoch

• Konfundierung mit Studienfach

  • schwierige Studienfächer dauern länger, werden jedoch eher entlohnt

• Konfundierung mit Flughafen

• Alaska Airlines flog hauptsächlich Flughäfen mit hoher Unpünktlichkeit an

• Konfundierung mit Heim- vs. Auswärtsspiel

• Trefferquote höher auswärts

  • Spieler 1 trifft immer häufiger als Spieler 2

  • jedoch spielt Spieler 2 häufiger auswärts

= Versagen unter Druck

• kann erklären, warum Trefferquote höher auswärts

• jedoch umstritten

• kein Simpson-Paradoxon: Aggregat in Teilstichprobe

• 45% aller COVID-Patienten im Krankenhaus waren geimpft

  -> “deshalb sind Impfungen gegen eine SARS-CoV-2-Infektion wirkungslos”

• 90% aller gestohlenen Fahrräder waren abgeschlossen

  -> “deshalb ist das Abschließen mit einer Fahrradkette keine wirksame Maßnahme gegen Diebstahl”

-> base rate fallacy

• Richtung der bedingten Wahrscheinlichkeit muss berücksichtigt werden

• p (geimpft | hospitalisiert) ≠ p (hospitalisiert | geimpft)

• Fehlschluss aufgrund verschiedener Basisraten / Prävalenzfehler

  • Basisrate/Prävalenz muss berücksichtigt werden

• Wirksamkeit einer Impfung gegen schweren Verlauf

• 1 - V/U: % Reduktion des Anteils schwerer Fälle in der geimpften relativ zur ungeimpften Gruppe

  • V = Schwere Verläufe pro 100.000 vollständig Geimpfte

  • U = Schwere Verläufe pro 100.000 Ungeimpfte

  -> 67.5% der schweren Fälle werden durch die Impfung verhindert

• wenn V = U -> Wirksamkeit = 0

• Situation in Israel im August 2021

  • große Altersunterschiede in der Impf- und Hospitalisierungsrate:

    • 90% der > 50-Jährigen sind geimpft

    • 73% der < 50-Jährigen sind geimpft

    • 85% der Ungeimpften sind < 50 Jahre alt

    • Ältere (> 50 Jahre) kommen über 20x häufiger ins Krankenhaus

-> Alter sowohl mit der Impfrate als auch mit der Hospitalisierungswahrscheinlichkeit konfundiert

• ohne Berücksichtigung der doppelten Konfundierung erscheinen Impfungen weniger wirksam, weil Geimpfte häufig älter waren (und deshalb häufiger erkrankten)

• in jedem Jahr negative Korrelation zwischen % NSDAP und Arbeitslosigkeit

• insgesamt stieg die Arbeitslosigkeit jedoch über die Jahre und die Zustimmung für die NSDAP

• Konfundierung mit der zeitlichen Entwicklung

• positiver Zusammenhang zwischen beiden Variablen

• im Aggregat jedoch negativer Zusammenhang

• Konfundierung mit dem Alter der Eltern

  • ältere Eltern zeigen mehr emotionale Wärme

  • jüngere Eltern unterstützen ihre Kinder eher bei der Selbstverwirklichung

• Arbeitslosenquote in den USA war im Oktober 2009 insgesamt niedriger als während der Rezession in den 80ern (8.2% vs. 8.5%)

• in den Teilgruppen mit unterschiedlichem Ausbildungsstand war sie jedoch höher höher im Jahr 2009

• über die Zeit jedoch prozentual weniger Menschen in der Gruppe der “high school dropouts”

• benannt nach Governor Ellbridge Gerry

  • Wahlbezirk in Salamanderform

• Manipulation von Wahlkreisgrenzen in einem Mehrheitswahlsystem zur Maximierung der eigenen Erfolgsaussichten

• ein reines Verhältniswahlrecht (nicht nur ein Abgeordneter pro Bezirk, sondern proportional zur Bevölkerung) macht Gerrymandering unmöglich

• Problem in USA, weil die Parteien selbst an der Wahkreiszuschneidung beteiligt sind

-> Beeinflussung des Wahlergebnisses trotz gleichbleibenden Stimmverhaltens

• Verdünnung: möglichst viele Wahlkreise werden so gezogen, dass die Opposition sie nicht gewinnen kann und dadurch möglichst viele oppositionelle Stimmen verfallen

• Hochburgbildung: in einem („Wegwerf“-)Wahlkreis werden möglichst viele Wähler der Opposition zusammengefasst, damit die Opposition zwar diesen Wahlkreis mit hohem (aber irrelevantem) Vorsprung gewinnt, ihr dafür aber in mehreren umliegenden Wahlkreisen Stimmen zum Wahlsieg fehlen

  • Vorwurf, dass dies mit “schwarzen Wahlbezirken” in den USA geschieht

• Eine Hand wäscht die andere:

  • beide Parlamentsfraktionen teilen gemeinsam die Wahlkreise so auf, dass derzeitige Sitzinhaber mit großer Wahrscheinlichkeit wiedergewählt werden, während Gegenkandidaten wenig Chancen haben

  • der Status Quo kann so leichter verteidigt und anstrengende Wahlkampagnen und schwer zu haltende Wahlversprechen können vermieden werden, die Abgeordneten müssen kaum noch Rücksicht auf die Wechselwähler der politischen Mitte nehmen und können dadurch leichter auf die (linke oder rechte) Parteilinie gebracht werden

• es werden keine attraktive Kandidaten mehr vorstellt

  • so können extreme Kandidaten aufgestellt werden, die in der Partei zwar beliebt sind, für das Elektorat aber zu extrem sind

• Wahlkampagnen überflüssig, da der Sieger feststeht

• Floridas 5. Wahldistrikt beinhaltete von 2011 bis 2015 so gut wie die einzigen schwarzen Stadtteile von Jacksonville und Orlando

  -> Wegwerfhochburg

• 2010: Verabschiedung des Verfassungszusatzes, dass die Wahlkreiseinteilung keine Partei und keinen Amtsinhaber bevorzugen oder benachteiligen darf

  • Wahlkreise müssen zusammenhängend und kompakt sein

• 2015: Aufhebung der (zuletzt) 2011 verabschiedeten Wahlkreiseinteilung durch den Obersten Gerichtshof Floridas

• es kommt zu einer natürlichen Verdünnung durch die Wähler

• mehr Menschen ziehen in die Stadt

• Präferenzen in der Stadt eher demokratisch

-> überproportional viele Wähler in der Stadt

• Wählerwanderung muss ausgeglichen werden, indem die Wahlbezirke neu angeordnet werden

• “wasted vote effect”

• gerrymander index score / compactness score

• Zahl der “verschwendeten Stimmen” für die miteinander konkurrierenden Parteien über alle Wahlbezirke hinweg ist ein Maß für die durch Gerrymandering erzeugte Ineffizienz

• Summe aus der Zahl der erhaltenen Stimmen, die nicht für den Wahlsieg gereicht haben, und der Zahl der überzähligen Stimmen (die für den Wahlsieg gar nicht mehr nötig gewesen wären) werden an der Gesamtzahl der abgegebenen Stimmen relativiert

• bei hoher Ineffizienz kann eine Partei mit einer Minderheit der abgegebenen Stimmen eine Mehrheit der zu vergebenden Sitze erringen

• kann genutzt werden, um das Gerrymandering bei der nächsten Wahl zu schätzen

  • dagegen handeln

• Polsby-Popper-Test: je mehr der tatsächliche Umfang eines Wahlbezirkes vom mathematisch kleinstmöglichem Umfang mit derselben Fläche abweicht, um so höher ist der Grad des Gerrymanderings

  • kleinstmöglicher Umfang mit derselben Fläche = Kreis

• kann schon vor der Wahl berechnet werden

• Effekt der Mittelwertbildung in Gruppen

• Sonderfall: durch den Wechsel eines Elements von einer zur anderen Gruppe kann sich der Mittelwert in beiden Gruppen erhöhen

  • oder sinken (inverses Will-Rogers-Phänomen)

• benannt nach einem amerikanischen Komiker aus Oklahoma: „Einwohner von (O)klahoma, die Oklahoma verlassen und nach (K)alifornien ziehen, erhöhen den durchschnittlichen IQ beider Bundesstaaten“

• wenn die besten Schüler aus den (R)ealschulen ins (G)ymnasium wechseln, sinkt der Mittelwert der Leistungen in beiden Schulformen

• PISA-Studie: Leistung eines Schülers hängt von der Leistung der anderen Schüler ab

  -> Auswirkungen auf die Leistungen des einzelnen, wenn das Nieveau sinkt

• Heilbarkeit von Tumoren steigt

• dabei Vergleich der Heilbarkeit von kleinen vs. großen Tumoren

• durch verbesserte Diagnosemöglichkeiten werden immer kleinere Tumore erkannt und zuvor kleine Tumore wandern in die Gruppe der großen Tumore

  • dadurch werden beide Gruppen insgesamt ungefährlicher

-> für beide Gruppen scheint sich die Heilbarkeit zu verbessern

• kein medizinischer Fortschritt der Heilbarkeit, sondern nur der Diagnosemöglichkeit

• Probanden werden Listen mit verschiedene einzelnen Zahlungen gezeigt

  • sie sollen dann den Mittelwert schätzen

• Höhe der durchschnittlich geleisteten Zahlungen tatsächlich: $ 4,08

• Schätzungen dieses Mittelwerts jedoch von den Mittelwerten der Einzelgruppen beeinflusst

  • allerdings nur, wenn die Gruppenmittelwerte zuerst gezeigt und so salient gemacht werden