LA 2

Eigenwert

Eigenvektor

Diagonalisierbarkeit

Charakterisierungen Diagonalisierbarkeit

• Eigenraum

• geometrische Vielfachheit

charakteristisches Polynom einer Matrix

Was gilt für das charakteristische Polynom ähnlicher Matrizen?

charakteristisches Polynom eines Endomorphismus

algebraische Vielfachheit

Satz von Cayley-Hamilton

Minimalpolynom

• Dualraum

• Linearformen

duale Basis

Annullator

duale Abbildung

Rangsatz

Bidualraum

Bilinearform

Darstellungsmatrix / Fundamentalmatrix einer Bilinearform

Transformationsformel für die Darstellungsmatrix einer Bilinearform

nicht ausgeartete Bilinearform

perfekte Bilinearform

Bilinearform

• symmetrisch

• antisymmetrisch

• alternierend

quadratische Form

quadratischer Raum

orthogonal bzgl. Bilinearform

Orthogonalbasis

• Homomorphismus quadratischer Räume

• Isomorphismus quadratischer Räume

Orthogonalbasen quadratischer Räume

Klassifikation quadratischer Räume über C

orthogonale direkte Summe

Klassifikation quadratischer Räume über R

Signatur

Sylvesterscher Trägheitssatz

Bilinearform

• positiv definit

• positiv semidefinit

• negativ definit

• negativ semidefinit

• indefinit

Skalarprodukt

Euklidischer Raum

Norm

• orthonormal

• Orthonomalbasis

(Euklidische Räume)

orthogonales Komplement

• Eigenschaften orthogonales Komplement

• Orthogonalprojektion

Gram-Schmidt-Verfahren

positiv definite Matrix

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Eigenschaften der Norm

• Satz des Pythagoras

• Parallelogrammgleichung

orthogonale Abbildung

orthogonale Matrix

orthogonale Gruppe

spezielle orthogonale Gruppe

O(2)

adjungierte Abbildung

selbstadjungierter Endomorphismus

Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen

Hauptachsentransformation

sesquilinearform

Darstellungsmatrix / Fundamentalmatrix Sesquilinearform

hermitesche Sesquilinearform

hermitesche Matrizen

positiv definite hermitesche Form

unitärer Raum

unitärer Raum: Was ist analog zu euklidischen Räumen?

unitäre Abbildung

unitäre Matrix

unitäre Gruppe

spezielle unitäre Gruppe

adjungierte Abbildung unitäre Räume

selbstadjungierter Endomorphismus

• normaler Endomorphismus

• normale Matrix

Spektralsatz für normale Endomorphismen

Ringhomomorphismus

Ideal

Restklasse Ideale

Faktorring / Restklassenring

Homomorphiesatz für Ringe

Nullteiler

nullteilerfrei / Integritätsbereich

Einheit

• erzeugtes Ideal

• Hauptideal

• Hauptidealring

• Teiler

• assoziiert

größter gemeinsamer Teiler

• irreduzibel

• Primelement

faktorieller Ring

noethersch

euklidischer Ring

Euklidischer Algorithmus

Gauß-Diagonalisierung für euklidische Ringe

allgemeine lineare Gruppe

• äquivalente Matrizen

• ähnliche Matrizen

• Untermatrix

• Minor

• Fittingideal

Fittings Lemma

Elementarteilersatz über Euklidischen Ringen

charakteristische Matrix

Satz von Frobenius

• Invariantenteiler

• Determinantenteiler

Invariantenteilersatz

Begleitmatrix

Frobenius-Normalform

Weierstrass-Normalform

Jordanmatrix

Jordansche Normalform

Algorithmus zur Jordan Normalform

Modul

• Modulhomomorphismus

• Modulisomorphismus

Untermodul

• Faktormodul

• kanonische Projektion

Summe und Durchschnitt von Moduln

direktes Produkt und direkte Summe von Moduln

Direkte Summe:

Zusammenhang in UVR und Moduln

lineare Hülle Moduln

• Erzeugendensystem

• linear unabhängig

• Basis

• endlich erzeugt

• frei

• endlich frei

… bei Moduln

• Torsionselement

• Torsionsuntermodul

• Torsions-R-Modul

• torsionsfreier R-Modul

Länge Moduln

Rang Moduln

Elementarteiler

Elementarteilersatz Moduln

Hauptsatz für endlich erzeugte Moduln über HIR

Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Spezialfall des Chinesischen Restsatzes