Structures algébriques usuelles

Toute application de E × E dans E

Soit E un ensemble muni d’une lci ·

• On dit que la loi · est associative si : ∀ (x,y,z) ∈ E³, x·(y·z)=(x·y)·z

• On dit que la loi · est commutative si : ∀ (x,y) ∈ E², x·y=y·x

L’élément e de E est dit neutre pour la loi · si : ∀x ∈ E , x·e=e·x=x

Soit E muni de la lci · . Un élément x de E est dit symétrisable s’il existe x’ dans E tel que x·x’=x’·x=e

x’ est alors appelé symétrique de x pour la loi ·

Soient E et F deux ensembles munis respectivement des lois de composition interne · et T. On appelle homomorphisme de E muni de la loi · vers F muni de la loi T, toute application f de E dans F vérifiant : ∀(x,y) ∈ E × E, f(x·y)=f(x)Tf(y)

On appelle groupe tout ensemble E muni d’une loi de composition interne · tel que :

1. La loi · est associative.

2. E muni de · admet un élément neutre e.

3. Tout élément x de E possède un symétrique.

Si · est commutative, le groupe est dit commutatif ou abélien.

Soit (G, * ) un groupe et H ⊂ G. On dit que H est un sous-groupe de G si et seulement si H est stable pour la loi * et H muni de la loi induite est un groupe.

Soit (G₁, * ) et (G₂, + ) deux groupes. Un morphisme f du groupe G₁ dans le groupe G₂ est une application f:G₁→G₂ vérifiant:

∀(x,y) ∈ M² f(x*y)=f(x)+f(y)

1. Si G₁ = G₂ et * = +, on parle d’endomorphisme.

2. Si f est injective, on parle d’isomorphisme.

3. Si f est un endomorphisme bijectif, on parle d’automorphisme.

Soit f : (G₁, * )→(G₂, + ) un morphisme de groupes :

On appelle noyau de f et on note Kerf={x∈G₁∣f(x)=eG₂}.

On appelle image de f et on note Imf=f(G₁)

Soit A un ensemble muno de deux lci + et ×. On dit que (A,+,×) est un anneau si et seulement si :

1. (A,+) est un groupe commutatif

2. × est associative

3. × admet un élément neutre 1a

4. × est distributive par rapport à +

Si × est commutative on dit que (A,+,×) est un anneau commutatif.

Soit (A,+,×) un anneau et A’ ⊂ A. A’ est un sous-anneau de A si et seulement si

1. 1a ∈ A’

2. A’ est stable pour les lois + et ×

3. ∀x ∈ A’ -x ∈ A’

On dira que l’anneau (A,+,×). est un anneau intègre si et seulement si

1. A ≠ {0}

2. A est un anneau commutatif

3. A n’admet pas de diviseurs de zéro. ∀(x,y) ∈ A² xy=0⇒x=0∨y=0

(K,+,×) est un corps si et seulement si

1. (K,+,×) est un anneau

2. Tout x ∈ K - {0} admet un stmétrique pour la loi × dans K

Si de plus la loi × est commutative, on dit que (K,+,×) est un corps commutatif.

Soit (K,+,×) un corps et L ⊂ K est un sous-corps de K si et seulement si

1. 1k ∈ L

2. ∀(x,y) ∈ L² x+y ∈ L ∧ xy ∈ L

3. ∀x ∈ L -x ∈ L

4. ∀x ∈ L - {0} x⁻¹ ∈ L

Si la loi * possède l’élément neutre e, celui-ci est unique

Soit (G, * ) un groupe et eg l’élément neutre de ce groupe. H est un sous-groupe de G si et seulement si

1. eg ∈ H

2. ∀(x,y) ∈ H² x*y ∈ H

3. ∀x ∈ H, x⁻¹ ∈ H c’est à dire que le symétrique de x dans G est dans H

Soit (G, * ) un groupe et (Hi) i ∈ I une famille de sous-groupes de G. Alors ⋂Hi est un sous-groupe de G.

Soit (G, · ) un groupe fini, H un sous groupe de G

alors Card(G) = Card(H)Card(G/H)

Soit f : (G₁, * )→(G₂,+) un morphisme de groupes

1. f(eg₁)=eg₂

2. ∀x ∈ G₁, f(x⁻¹) = (f(x))⁻¹