Définition famille libre
Si (x1, …, xp) ∈ E (p fois)
La famille (x1, …, xp) est libre si et seulement si
∀(β1, …, βp) ∈ K (p fois)
∑(i ∈ p) βixi = 0 ⇒ β1 = … = βp = 0
Définition famille génératrice
(x1, …, xp) ∈ E (p fois) est génératrice de E si et seulement si Vect(x1, …, xp) = E ⇔ ∀x ∈ E ∃ (β1, …, βp) ∈ K (p fois) x=∑(i∈[1,p])βixi
Définition base
E un K espace vectoriel.
Une famille (ei) i ∈ I est une base de E
⇔∀x ∈ E ∃!(βi)(i ∈ I) ∈ K tel que x =∑ (i ∈ I) βiei
⇔(ei) i ∈ I est une famille libre et génératrice
Définition dimension
Un K espace vectoriel est de dimension finie si il possède une famille génératrice finie.
Dans le cas contraire, l’espace est de dimension infinie.
Définition rang
Si E est un sous-espace vectoriel de dimension n et (x1, …,xp) ∈ E (p fois)
Le rang de la famille (x1,…,xp) noté rg(x1,…,xp) est la dimension de Vect(x1,…,xp)
Propriété sous famille d’une famille libre
Une sous famille d’une famille libre est libre
Propriété sur-famille d’une famille génératrice
Une sur-famille d’une famille génératrice est génératrice
Propriété famille χ
G une famille génératrice de E
Une famille χ d’éléments de E est génératrice si et seulement si tout élément de G est combinaison linéaire d’éléments de χ
Propriété application linéaire base
Si B=(e1,…,en) est une base de E et (f1,…,fn) ∈ F (n fois)
Il existe une unique application linéaire u ∈ L(E,F) tel que ∀i∈[1,n] u(ei)=fi
Propriété de complétion d’une famille libre
G un famille génératrice de E. Toute famille libre contenue dans G peut, à l’aide d’éléments de G, se completer en une base
Corollaire complétion d’une famille libre
Si E est un espace vectoriel de dimension fini, toutes les bases de E sont finies et ont le même cardinal. Ce nombre est noté dimension de E et noté dimE
Théorème de la base incomplète
Si E est un espave vectoriel de dimension finie, toute famille libre de E peut être complété en une base.
Proposition cardinal d’un espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel de dimension n, toute famille libre est de cardinal≤n et toute famille génératrice est de cardinal≥n.
Il y a égalité (pour chaque inégalité) si et seulement si la famille est une base.
Corollaire cardinal d’un espace vectoriel
Si dimE=n pour montrer qu’une famille de cardinal n est une base, il suffit de montrer qu’elle est libre ou génératrice.
Propriété isomorphisme et dimension
E un K espace vectoriel de dimension n
F un K espace vectoriel.
E et F sont isomorphes ⇔ dimF=n
Corollaire isomorphisme et dimension
Tout K espace vectoriel de dimension n est isomorphe à K (n fois)
Propriété égalité et inégalite de dimension entre deux espaces vectoriels
Si E est un espace vectoriel de dimension n alors un sous-espace vectoriel F de E est de dimension p≤n et F=E si et seulement si p=n
Propriété sous-espace vectoriel de dimension finie et supplémentaire
Tout sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel E de dimension fini possède un supplémentaire.
Propriété supplémentaire par dimension
E un espace vectoriel de dimension finie. F et G deux sous-espaces vectoriels de E alors E=F⊕G ⇔ dimF+dimG=dimE
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