6. Meccanica dei sistemi

Ogni moto del sistema meccanico a vincoli perfetti deve soddisfare la relazione simbolica della meccanica. Viceversa, se abbiamo un sistema meccanico a vincoli perfetti, ogni ennupla n, di parametri lagrangiani (q₁(t), q₂(t), …, qn(t)), che soddisfi la relazione simbolica della meccanica per ogni istante t maggiore o uguale di zero, rappresenta un possibile moto del sistema meccanico. Se poi questa ennupla soddisfa anche le condizioni iniziali sulla configurazione iniziale e sulle velocità generalizzate all'istante iniziale, quindi sappiamo che la q₁ all'istante 0 vale q₁⁰, fino alla qn che all'istante 0 vale qn⁰ e lo stesso per le q. La q₁(0) punto, vale q₁⁰ punto, fino alla qn⁰(0) punto che vale qn⁰, allora questa ennupla è esattamente il moto del sistema, quindi la relazione simbolica della meccanica è una condizione necessaria e sufficiente a determinare il moto di un qualunque sistema a vincoli perfetti.

Quindi la condizione necessaria l'abbiamo ricavata, cioè il moto di un sistema meccanico deve soddisfare questa relazione e viceversa abbiamo postulato, che se io ho una ennupla che soddisfa la relazione simbolica della meccanica, inoltre soddisfa anche le condizioni iniziali, quindi vuol dire che c'è un sistema di reazioni vincolari che realizza i vincoli, allora questa ennupla è il moto del sistema. Quindi la relazione simbolica della meccanica necessaria e sufficiente per il moto di un qualunque sistema meccanico, a vincoli perfetti.

Partiamo dall'avere una configurazione C₀, nello spazio delle configurazioni la indichiamo con (q₁⁰, q₂⁰, …, qn⁰). Questo apice in alto ci dice che è una configurazione ben precisa in un dato istante, il pedice in basso ci dice quale parametro lagrangiano stiamo considerando. Quindi supponiamo che questa sia una configurazione di equilibrio per il sistema meccanico e supponiamo che il nostro sistema meccanico sia un sistema Ps, ms, con s che va da 1 a N e supponiamo che sia soggetto ad un certo sistema di forze attive Ps, Fs, sempre con s che va da 1 a N e questo è il sistema delle forze attive che agisce sul sistema materiale, originando il nostro sistema meccanico.

C₀, che è una configurazione di equilibrio per il sistema meccanico, si dice una configurazione di equilibrio stabile se esiste un intorno ℐ della configurazione C₀ tale che il ΔL, il lavoro finito compiuto dal sistema di forze per andare da C₀ a C lungo la traiettoria Γ nello spazio delle configurazioni, cioè l'integrale tra C₀ e C della sommatoria per s che va da 1 ad N di Fs scalare δPs, questo ΔL risulta minore di 0 per ogni configurazione C appartenente all'intorno di C₀ e per ogni traiettoria Γ da C₀ a C interna all’intorno.

L’intorno ℐ(C₀) è il prodotto cartesiano q₁⁰ - ε, q₁⁰ + ε, prodotto cartesiano q₂⁰ - ε, q₂⁰ + ε e questo fino a qn⁰ - ε, qn⁰ + ε. Questo è un prodotto cartesiano di n intervallini aperti, centrati ciascuno in q₁⁰, q₂⁰ e qn⁰. Quindi è un iper-rettangolo, un ipercubetto nello spazio delle configurazioni. Quindi questo è un insieme, un intorno aperto nello spazio delle configurazioni.

Si può dare una definizione analoga anche per l'instabilità, cioè C₀ è configurazione di equilibrio instabile se esiste un intorno della configurazione C₀ tale che il ΔL, il lavoro finito compiuto dal sistema di forze per andare da C₀ a C lungo la traiettoria Γ nello spazio delle configurazioni, cioè l'integrale tra C₀ e C della sommatoria per s che va da 1 ad N di Fs scalare δPs, questo ΔL risulta maggiore di 0 per ogni configurazione C appartenente all'intorno di C₀ e per ogni traiettoria Γ da C₀ a C interna all’intorno.

Inoltre la definizione di configurazione di equilibrio indifferente se esiste un intorno della configurazione C₀ tale che il ΔL, il lavoro finito compiuto dal sistema di forze per andare da C₀ a C lungo la traiettoria Γ nello spazio delle configurazioni, cioè l'integrale tra C₀ e C della sommatoria per s che va da 1 ad N di Fs scalare δPs, questo ΔL risulta uguale a 0 per ogni configurazione C appartenente all'intorno di C₀ e per ogni traiettoria Γ da C₀ a C interna all’intorno.

Vediamo un’applicazione del principio dei lavori virtuali, che riguarda l'equilibrio dei sistemi meccanici olonomi a vincoli perfetti. L’ipotesi di vincoli perfetti ci serve per poter applicare il principio dei lavori virtuali.

Supponiamo in aggiunta che il sistema meccanico sia anche ad n gradi di libertà e supponiamo che i parametri lagrangiani siano indicati con q₁, q₂, …, qn. In virtù dell'ipotesi di olonomia, quindi l'ipotesi di olonomia implica che i parametri lagrangiani q₁, q₂, …, qn siano indipendenti, ma non solo i parametri lagrangiani sono indipendenti, inoltre sono indipendenti anche i δqk. Perché se ci fosse un δqk che dipende dagli altri n - 1, allora vorrebbe dire che esiste un vincolo che è di tipo anolonomo, perché vorrebbe dire che c'è una relazione tra le q punto, in particolare tra le δqk e quindi farebbe cadere l'ipotesi di olonomia. Quindi l'ipotesi di olonomia ci dice non solo che i parametri lagrangiani sono indipendenti, ma anche le loro variazioni virtuali, cioè i δqk. Allora consideriamo una configurazione C₀, che indichiamo con q₁⁰, q₂⁰, …, qn⁰ e supponiamo che questa configurazione sia di tipo interno, cioè ciascuno di questi qk⁰ sarà interno all'intervallo di variabilità che ha l'estremo qk¹ di sinistra e l'estremo destro in qk², questo per k che va da 1 ad n.

Ci chiediamo se questa configurazione di tipo interno possa essere una configurazione di equilibrio per il nostro sistema meccanico olonomo a vincoli perfetti. L'espressione del lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, quello che viene chiamato in gioco nel principio dei lavori virtuali, definito come sommatoria in s di Fs δPs, si può scrivere anche con un’espressione che coinvolge le forze generalizzate di Lagrange Qk e i parametri lagrangiani δqk. E siccome C₀ è configurazione di equilibrio interno, possiamo supporre che ogni spostamento virtuale a partire da C₀ sia invertibile. Di conseguenza, se vogliamo applicare il principio dei lavori virtuali, che ci dice in generale che il δL minore uguale di 0 è una condizione necessaria e sufficiente affinché C₀ sia a configurazione di equilibrio. Se vogliamo verificare se questa configurazione è di tipo interno, ossia di equilibrio, avendo la configurazione interna, tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili, allora questa relazione vale con il segno di uguaglianza e quindi scriviamo che δL dovrà essere uguale a 0 per ogni δC invertibile, e sappiamo che sono invertibili tutti, a partire da C₀ sono invertibili tutti, perché C₀ è la configurazione di equilibrio e di tipo interno.

Usiamo il principio dei lavori virtuali per determinare le configurazioni di equilibrio, cioè per verificare se questa C₀ è una configurazione di equilibrio. Quindi considero uno spostamento virtuale δC, che sarà fatto in generale così, δq₁, …, δqn, a partire da C₀ e siccome abbiamo detto che tutti i δq sono tra loro indipendenti, in virtù di questa indipendenza e in virtù dell'arbitrarietà del δC, scelgo un δC₁ che abbia δq₁ ≠ 0 e tutti gli altri, da 2 fino ad n, siano tutti nulli. Questo lo posso fare, in virtù dell’indipendenza dei δqk, che viene dall'ipotesi di olonomia, e inoltre, in virtù del fatto che lo spostamento virtuale può essere qualunque a partire da C₀. Quindi ne prendo uno che mi faccia comodo e parto dal primo. Se scrivo il δL₁ in corrispondenza a questo spostamento virtuale δC₁, avrò la sommatoria per k che va da 1 a n, delle Qk per tutti questi δ Qk, i quali sono tutti nulli tranne il primo. E allora rimane che δL sarà Q₁ δq₁ = 0 e dire per δC a partire da C₀, significa dire per ogni δq₁ ≠ 0. Se Q₁ δq₁ = 0, qualunque sia il δq₁ diverso da 0, implica che Q₁, e poi vedremo da che cosa dipende, deve essere uguale a 0.

Adesso considero un altro spostamento virtuale. Prendo un altro spostamento virtuale a partire da C₀, δC₂ e lo prendo in questo modo, δq₁ = 0, δq₂ ≠ 0, mentre tutti gli altri δq, da 3 fino ad n, saranno tutti uguali a 0. δL₂, calcolato per questo spostamento virtuale, mi fornirà Q₂δq₂, che dovrà essere uguale a 0, qualunque sia il δq₂ diverso da 0, e questo implicherà questa volta che il Q₂ deve essere 0. Ora vado avanti e questa operazione la ripeto per tutti i δC fino all'ultimo, cioè io prendo dei δCk che hanno nulli tutti n - 1 δq, tranne il k-esimo diverso da 0. Infatti di sopra abbiamo nulli tutti tranne il primo, poi nulli tutti tranne il secondo, questo lo faccio per n volte. δCn avrà δq₁ = 0, δq₂ = 0, tutti nulli fino all'n-1esimo e infine, l'ennesimo sarà diverso da 0. Questo mi porterà un δLn, lavoro infinitesimo virtuale compiuto dalle forze attive, in corrispondenza a questo δCn, mi fornirà Qn, δqn uguale a 0, per ogni δqn diverso da 0. E questo implicherà Qn uguale a 0.

Da che cosa dipendono tutti questi Q₁, Q₂, Qn? Siamo in statica, le forze generalizzate di Lagrange dipendono dai soli parametri lagrangiani, q₁, q₂, …, qn. Quindi queste forze generalizzate di Lagrange, le Qk, sono delle funzioni dei parametri lagrangiani. Siccome questo deve essere vero per ogni δC, otteniamo che il sistema che ci permette di determinare le configurazioni d'equilibrio sarà Q₁(q₁, q₂, …, qn) = 0 fino a Qn(q₁, q₂, …, qn) = 0. Tutte e sole le soluzioni (q₁*, q₂*, …, qn*) di questo sistema di n equazioni in n incognite, che sono i parametri lagrangiani nelle configurazioni di equilibrio, allora tutte e solo le soluzioni, queste ennuple, (q₁*, q₂*, …, qn*), soluzioni del sistema, sono configurazioni di equilibrio interne.

Quindi la soluzione (q₁*, q₂*, …, qn*), soluzione del sistema, è una configurazione di equilibrio interno. Sarebbe possibile vedere il caso anche delle eventuali configurazioni di equilibrio di confine, ma questo non lo faremo. In quel caso, non ci sono solo spostamenti virtuali invertibili, di conseguenza il principio dei lavori virtuali che qui abbiamo considerato solo uguagliato a 0, varrebbe col minor uguale in corrispondenza degli spostamenti virtuali non invertibili e con l'uguaglianza a 0, invece in corrispondenza gli spostamenti virtuali invertibili. Ma questo non lo facciamo. Quindi abbiamo trovato per le configurazioni di equilibrio interne dei sistemi meccanici olonomi e a vincoli perfetti, che il sistema del n forze generalizzate di Lagrange uguagliate a 0, ci dà le configurazioni di equilibrio interno.

Supponiamo di avere questo generico sistema meccanico a vincoli perfetti e supponiamo che il sistema meccanico sia in moto. Per il punto materiale, se un sistema meccanico formato da N punti materiale è in moto, vorrà dire che ciascun punto soddisfa la legge di Newton. Quindi, in generale, rispetto a un certo sistema di riferimento Oxyz, avremo che ms, la massa del punto Ps, per l'accelerazione as del punto è uguale a Fs, vettore delle forze attive agenti sul punto Ps, + il vettore delle reazioni vincolari agenti sul punto Ps. E di queste equazioni, le equazioni Newton, ne abbiamo una per ogni punto materiale.

Allora, se così è, noi possiamo, da queste N equazioni vettoriali del moto per ciascun punto, ricavare φs e andarlo a sostituire dentro la relazione di vincoli perfetti, perché la nostra ipotesi iniziale è di avere un sistema meccanico a vincoli perfetti. Se ricaviamo da questa equazione φs e per comodità, visto che il vettore Fs - ms avrà un significato fisico che incontreremo quando faremo il principio di D’Alembert, ricaviamo φs da questa equazione e lo scriviamo in questo modo, come - Fs - ms as. Lo andiamo a sostituire al posto di φs, avendo preso in considerazione uno spostamento virtuale δC a partire da una configurazione C del sistema meccanico qualunque e δC la indicheremo con gli spostamenti virtuali di ciascuno degli N punti. Quindi, andando a sostituire questi φs qui dentro, in corrispondenza a questo spostamento virtuale, che è qualunque δC, a partire da una certa configurazione C, dalla relazione di vincolo perfetto, avremo sommatoria per s che va da 1 ad N di Fs - ms as scalare δPs e in virtù del fatto che qui c'era un segno - e questo è maggiore o uguale di 0, si otterrà, avendo cambiato segno, minore o uguale di zero e questa è quella che si chiama relazione simbolica della meccanica che vale per ogni δC, a partire da qualunque configurazione C.

L'ipotesi iniziale è che noi abbiamo un sistema meccanico a vincoli perfetti. E allora, per un sistema meccanico a vincoli perfetti abbiamo scritto che vale la relazione simbolica della meccanica.

Possiamo concludere che ogni moto, del tipo (q₁(t), q₂(t), …, qn(t)), n numero di gradi di libertà, questa relazione la indichiamo con *, quindi ogni moto del sistema meccanico a vincoli perfetti deve soddisfare la relazione *. Se poi supponiamo che il δC che andiamo a considerare, perché questo è per qualunque δC a partire da qualunque configurazione. Se poi consideriamo, tra i nostri δC, dei δC invertibili.

Lo spostamento virtuale invertibile è quando anche lo spostamento opposto, -δC è sempre uno spostamento virtuale. Se consideriamo i δC invertibili, siccome questo deve valere per ogni δC, scelto un δC vale la relazione di minore o uguale. Quando scelgo lo spostamento opposto -δC, che è ancora uno spostamento virtuale, nell’ipotesi di invertibilità, questa reazione vale col maggior uguale, quindi  deve valere con il minor uguale, con il maggior uguale, quindi la disequazione diventa un'equazione e quindi avremo l'equazione simbolica della meccanica che vale con il segno di uguaglianza, quindi sommatoria per s che va da 1 ad N di Fs - ms as scalare δPs che deve essere uguale a 0 per ogni δC invertibile.

Quando consideriamo i δC invertibili, allora la relazione che è una disuguaglianza, diventa invece un'equazione, cioè un'uguaglianza. Allora abbiamo visto che ogni moto del sistema meccanico deve soddisfare la relazione simbolica della meccanica. A questo punto però io mi chiedo se vale anche il viceversa, cioè se io considero una ennupla che soddisfa la relazione simbolica della meccanica, è vero che questo rappresenta un moto del sistema meccanico? Si, è così, mentre la condizione necessaria si dimostra, il viceversa si postula.

Vediamo quali sono i vantaggi dell’utilizzo del principio dei lavori virtuali per studiare la statica dei sistemi.

• Il vantaggio principale del principio dei lavori virtuali è che, come si vede nella disequazione che coinvolge il principio dei lavori virtuali, è il fatto che per determinare le configurazioni per determinare le condizioni di equilibrio per un sistema meccanico a vincoli perfetti, vengono chiamate in gioco soltanto le forze attive. Quindi il grosso vantaggio del principio dei lavori virtuali è che permette di calcolare le configurazioni di equilibrio prescindendo dalle reazioni vincolari, cioè lavorando solo sulle forze attive.

• C'è la possibilità anche di calcolarsi le reazioni vincolari nelle configurazioni di equilibrio, facendo una forzatura del principio dei lavori virtuali, in quanto il principio dei lavori virtuali nasce per essere utilizzato con le sole forze attive e questo è proprio il suo punto di forza. Però è possibile utilizzare questa estensione del principio dei lavori virtuali, liberando ad uno ad uno i vincoli e sostituendoli con le opportune reazioni vincolari, annoverando ciascuna di queste reazioni vincolari in sequenza, assieme alle forze attive e calcolando il lavoro virtuale di questo nuovo sistema, che comprende le forze attive e ad una ad una le reazioni vincolari che rappresentano i vincoli che vengono liberati man mano. In questo modo, si scrivono queste disequazioni o equazioni, a seconda che siamo in presenza di spostamenti virtuali invertibili o non invertibili, fino poi ad ottenere un numero di equazioni indipendenti che sia uguale al numero delle reazioni vincolari scalari che si vogliono calcolare.

Ora parliamo dell'ultimo dei metodi elencati per lo studio dell'equilibrio dei sistemi meccanici ed è il Metodo delle equazioni cardinali della statica.

Supponiamo di avere un sistema materiali di punti Ps, ms con s che va da 1 ad N. E supponiamo che su questo sistema materiale agisca un sistema di forze qualunque. Quindi il più generale possibile, diciamo che ci sia un sistema di forze attive esterne che indichiamo con Ps di vettore Fes, un sistema di forze attive interne Ps, Fis dove la e sta per esterne, la i per interne, mentre s indica il punto di applicazione dei vettori delle forze, poi un sistema di reazioni vincolari esterne Ps, φes, un sistema di reazioni vincolari interne Ps, φis, e di queste forze ne abbiamo N, tante quante sono i punti. Quindi questo supponiamo sia un sistema meccanico ad n gradi di libertà, e indichiamo con q₁, …, qn i parametri lagrangiani.

Consideriamo poi una configurazione per questo sistema meccanico che indichiamo con C₀ che sarà la configurazione per cui i parametri lagrangiani q₁, …, qn assumono un determinato valore in un dato istante, per esempio q₁⁰, q₂⁰, …, qn⁰. Se noi indichiamo con Fe il vettore risultante delle forze attive esterne, quindi la sommatoria in s di questi vettori, se indichiamo con φe il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne, cioè la sommatoria per s che va da 1 ad N grande del φes, e inoltre se indichiamo con Ωe e con ѱe, rispettivamente il momento risultante delle forze attive esterne e il momento risultante delle reazioni vincolari esterne, allora le equazioni cardinali della statica sono queste, Fe + φe = 0, Ωe + ѱe = 0. Queste sono le equazioni cardinali della statica.

Nelle equazioni cardinali della statica compaiono solo i vettori risultanti, i vettori caratteristici delle forze esterne, cioè delle forze attive esterne e delle reazioni vincolari esterne, quelle delle forze interne non sono presenti.

Il momento delle forze attive esterne e il momento risultante delle reazioni vincolari esterne compaiono senza la presenza del polo. Quando abbiamo definito il vettore caratteristico e il momento risultante di un sistema di forze, il momento risultante è sempre stato definito attraverso un polo.

Quando si scrive il momento risultante, per esempio, Ωe, si scrive con polo in O perché nella definizione questo è sommatoria per s che va da 1 ad N degli Fes vettor O - Ps, quindi a seconda del polo che c'è qui il momento cambia. In realtà, in questa scrittura il polo è stato omesso, perché la seconda equazione cardinale della statica, quella dei momenti, si dice che è indipendente dal polo.

Un polo per fare i calcoli lo dobbiamo scegliere, ma se scelgo il polo O o il polo O₁, a patto di calcolare poi Ωe e ѱe rispetto allo stesso polo, cioè se scelgo O devo calcolarli entrambi rispetto a questo polo, così come se scelgo O₁, bisogna calcolare sia Ωe sia ѱe rispetto allo stesso polo, ma quello che succede è che la somma di questi due vettori, rispetto ad un qualunque polo è sempre la stessa, cioè non varia. O meglio, Ωe(O) e Ωe(O₁) saranno due vettori diversi, ѱe(O), ѱe(O₁) saranno due vettori diversi, ma quando li sommiamo, otteniamo lo stesso vettore.

In questo senso si dice che la seconda equazione cardinale della statica è indipendente dal polo.

Se scrivo Ωe con polo in O₁, sappiamo che questo momento è legato all'Ωe con polo in O, da questa relazione, cioè Ωe con polo in O₁ è uguale ad Ωe con polo in O, dove O e O₁ sono due poli distinti, + Fe che è il vettore risultante delle forze attive esterne, quelle per cui sto calcolando il momento Ωe, vettor O₁ - O. La stessa cosa se faccio il calcolo con ѱe, cioè con il momento risultante delle reazioni vincolari esterne, avrò che ѱe(O₁) è uguale a ѱe con polo in O + φe che è il vettore risultante delle forze attive delle reazioni vincolari esterne, vettore O₁ - O. Ωe(O₁) e Ωe(O) non sono lo stesso vettore, perché c'è questo termine in più e ѱe(O₁) e ѱe(O) non sono lo stesso vettore, perché differiscono per questo vettore. Ma se li sommo membro a membro, dal primo membro ottengo Ωe con polo in O₁ + ѱe con polo in O₁ è uguale, adesso sommo questi due, quindi è uguale ad Ωe con polo in O, + ѱe con polo in O. E poi sommo questi altri due addendi, raccogliendo O₁ - O, perché questo è a fattore comune, qui rimane Fe + φe vettor O₁ - O. Per le equazioni cardinali della statica, vale sia la seconda, sia la prima, di conseguenza se sappiamo che Fe + φe per le equazioni cardinali della statica vale 0, allora questo termine è 0 e di conseguenza l'ultimo addendo non compare. E quindi la somma di Ωe e di ѱe con polo in O₁ è uguale alla somma di Ωe + ѱe con polo in O. In particolare, se una delle due è uguale a zero, sarà uguale a zero anche una qualunque altra somma con un qualunque altro polo.

Cominciamo a prendere in considerazione non solo il punto singolo, il punto materiale, su cui agisce un certo sistema di forze, un certo sistema di reazioni vincolari, ma adesso cominciamo a considerare una situazione in cui di punti materiali ce ne sono N, quindi abbiamo un sistema materiale di punti (Ps, ms) con s che va da 1 ad N, soggetto a un certo sistema di forze attive, che indichiamo con Ps e con il vettore Fs e un certo sistema di reazioni vincolari, sempre punto d'applicazione Ps e vettore della reazione vincolare φs. Di queste forze attive e reazioni vincolari ne abbiamo in generale N.

Quindi consideriamo un sistema meccanico a vincoli perfetti. Un sistema meccanico a vincoli perfetti è tale quando il lavoro virtuale compiuto dalle reazioni vincolari, quindi quando δρ sommatoria per s che va da 1 a del N dei φs scalare δPs risulta maggiore o uguale di 0 per ogni spostamento virtuale, a partire da una qualunque configurazione C del sistema meccanico che possiamo supporre data dai parametri lagrangiani q₁, q₂, …, qn, in quanto supponiamo di avere a che fare con un sistema meccanico ad n gradi di libertà.

In un sistema meccanico conservativo, soggetto solo alla forza peso, le configurazioni di equilibrio (interne) stabili sono tutte e sole quelle per cui la quota z del baricentro G è minima.

Se vogliamo dirlo con l'instabilità, le configurazioni di equilibrio interne instabili sono tutte e sole quelle per cui zG è massima.

Abbiamo visto già due dei metodi per studiare l'equilibrio dei sistemi meccanici, ciascuno con le proprie condizioni di applicabilità. Primo metodo, Principio dei lavori virtuali, enunciato il teorema e dimostrato. Secondo metodo, il Metodo del potenziale che ha le proprie condizioni di applicabilità, richiede che il sistema meccanico sia conservativo e inoltre abbiamo concluso questa parte facendo vedere anche quando è che le configurazioni di equilibrio sono stabili o instabili, e in particolare, nel caso dei sistemi meccanici conservativi, come si individuano queste configurazioni stabili e instabili.

Le configurazioni di equilibrio interne di un sistema meccanico conservativo sono tutte e sole quelle che rendono stazionario il potenziale, cioè la funzione U.

Questo teorema, che è proprio il metodo del potenziale per l'equilibrio, ci dice che le configurazioni di equilibrio interne di un sistema meccanico conservativo, ecco qua la condizione di applicabilità, il sistema meccanico deve essere conservativo, sono tutte e sole quelle che rendono stazionario il potenziale U.

In virtù di quello che abbiamo visto nel passaggio precedente, se il sistema meccanico per ipotesi è conservativo, allora in particolare è scleronomo, ma ci interessa poco, è olonomo e ha vincoli perfetti. In virtù dell'olonomia e del fatto che i vincoli sono perfetti, allora abbiamo visto che le configurazioni di equilibrio interne sono tutte e sole quelle che soddisfano il sistema delle Qk = 0 per k che va da 1 ad n, ma per l'ipotesi che il sistema di forze è conservativo, cioè che le derivate parziali di U fatte rispetto a qk sono le forze generalizzate di Lagrange, allora questo comporta che ∂U in ∂q₁ dovrà essere uguale a 0, fino a U in ∂qn che dovrà essere uguale a 0.

E quindi questo è il metodo del potenziale, il fatto di cercare le soluzioni di questo sistema delle derivate parziali prime uguagliate a zero, derivate parziali prime fatte rispetto ai parametri Lagrangiani, questa è la ricerca dei punti di stazionarietà del potenziale e questo discende direttamente dall'applicazione del principio dei lavori virtuali ai sistemi meccanici olonomi a vincoli perfetti nella ricerca delle configurazioni di equilibrio interne. E quindi questo rappresenta il metodo del potenziale.

Come esempio di applicazione, riprendiamo il pendolo semplice. Calcoliamo la funzione potenziale, U(ϑ) 0 -mg𝓁 sinϑ, poi avevamo posto anche la costante U*, in modo tale che il potenziale U in ϑ = 0 fosse 0, quindi calcoliamolo per ϑ compreso tra 0 e 2 poi andiamo a studiare i punti di stazionarietà di questa funzione, verificando di nuovo che le posizioni di equilibrio sono esattamente quelle che avevamo trovato con l'equazione F + φ = 0 e qQueste si possono calcolare con il metodo del potenziale. Il pendolo semplice è un sistema meccanico conservativo, perché è sicuramente olonomo, scleronomo, è a vincoli perfetti, perché il vincolo è liscio e siccome l'unica forza che agisce è la forza peso, in particolare c’è una forza conservativa e quindi il sistema di forze è conservativo.

Le equazioni cardinali della statica sono una condizione necessaria per l'equilibrio di un qualunque sistema meccanico, diventano anche sufficienti se il sistema meccanico è un corpo rigido, soggetto a vincoli perfetti. Quali sono le incognitedelle equazioni cardinali della statica?

• Sono gli n parametri lagrangiani, q₁, …, qn, che rappresentano le configurazioni di equilibrio

• Ma anche le reazioni vincolari scalari statiche

Le equazioni cardinali della statica sono il terzo metodo per avere l’equilibrio, assieme al Principio dei lavori virtuali e il Metodo del potenziale. Le equazioni cardinale della statica sono quelle che chiamano in gioco anche le reazioni vincolari e che permettono di determinare come sono fatte le reazioni vincolari all’equilibrio e quindi questa è una difficoltà in più che si ha nelle equazioni cardinali della statica, mentre nel Principio dei lavori virtuali e nel Metodo del potenziale, ciascuno con le proprie condizioni di applicabilità, prescindono dalle reazioni vincolari.

Infatti, se pensiamo al Principio dei lavori virtuali, come condizione di applicabilità ha che il sistema meccanico deve essere a vincoli perfetti. E allora, se il sistema meccanico è a vincoli perfetti, possiamo applicare il Principio dei lavori virtuali, che è una condizione necessaria e sufficiente affinché C₀ sia una configurazione di equilibrio.

Il secondo invece è il Metodo del potenziale che come condizione di applicabilità, per determinare l’equilibrio, ha che il sistema meccanico deve essere conservativo.

Il terzo metodo, quello delle Equazioni cardinali della statica, che sono una condizione necessaria per l'equilibrio di un qualunque sistema meccanico. Per determinare le configurazioni di equilibrio non abbiamo bisogno della condizione necessaria, ma abbiamo bisogno della condizione sufficiente, perché abbiamo bisogno di scrivere le equazioni, risolverle e le soluzioni devono essere le configurazioni di equilibrio. Per poter usare le equazioni cardinali della statica in maniera pratica, come criterio per determinare le configurazioni di equilibrio, abbiamo bisogno di avere come condizioni di applicabilità un corpo rigido e in più soggetto a vincoli perfetti. Il Principio dei lavori virtuali, come vantaggio, ha che l'ipotesi, la condizione di applicabilità non è particolarmente restrittiva, prevede che il sistema meccanico sia a vincoli perfetti e inoltre il vantaggio è che prescinde dalle reazioni vincolari. Non prescinde dai vincoli, ma dalle reazioni vincolari. Questo significa che dei vincoli se ne tiene conto nel momento in cui si calcolano quegli spostamenti virtuali a partire dalla configurazione C₀, che poi permetteranno di scrivere il lavoro virtuale.

Il Metodo del potenziale invece ha una condizione di applicabilità un pochino più e restrittiva, cioè il sistema meccanico deve essere conservativo, quindi olonomo, scleronomo, a vincoli perfetti e soggetto a un sistema conservativo di forze attive.

Le Equazioni cardinali della statica come condizione sufficiente, quindi per la determinazione delle configurazioni di equilibrio, si applicano a un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti e con le equazioni cardinali della statica riusciamo a determinare non solo le configurazioni di equilibrio, ma anche le reazioni vincolari scalari all'equilibrio.

Usando un'estensione, quindi una forzatura in qualche modo del Principio dei lavori virtuali, che nasce prendendo in considerazione solo le forze attive, si può utilizzare anche il Principio dei lavori virtuali per calcolare le reazioni vincolari scalare statiche.

Adesso passiamo alla statica, quindi alle considerazioni che riguardano l'equilibrio dei sistemi meccanici.

Per il punto materiale abbiamo dato la definizione di posizione di equilibrio, adesso siamo in grado di estendere questo concetto, e quindi di passare dalla definizione del singolo punto, di posizione di equilibrio del singolo punto, passare al caso generale.

Configurazione di equilibrio

Per fare questo, consideriamo una configurazione C₀, quindi dato il nostro sistema meccanico ad n gradi di libertà con parametri lagrangiani q₁, q₂, …, qn, la configurazione C₀ che indichiamo con q₁⁰, q₂⁰, …, qn⁰, si dice una configurazione di equilibrio per il sistema meccanico ad n gradi di libertà, quindi C₀ si dice configurazione di equilibrio per il sistema meccanico se, posto il sistema meccanico in C₀, all’istante t₀, in quiete, oppure con tutti i punti aventi velocità nulla. Qui non possiamo dire il sistema meccanico opposto nella configurazione C₀ all'istante t₀ con velocità nulla, perché la velocità di un sistema di punti non esiste, cioè ciascun punto ha la propria velocità e quindi dire che il sistema ha velocità nulla non ha senso, quindi possiamo dire o in quiete, oppure dire che tutti i punti devono avere velocità nulla. Il sistema meccanico resta nella configurazione C₀ per ogni t > t₀.

Bisogna dire il dove, il quando, il come in maniera corretta e soprattutto non dimenticare per ogni t maggiore di t₀. È l'analogo della definizione di posizione di equilibrio, data per il punto materiale, dove al posto di posizione, bisogna sostituire configurazioni. Ci stiamo occupando del problema dell'equilibrio dei sistemi meccanici, quindi siamo in statica e allora, se siamo in statica, facciamo un’ipotesi che già avevamo visto per il caso del punto materiale, in statica i sistemi meccanici si assumono scleronomi, cioè vuol dire che tutti i vincoli devono essere indipendenti dal tempo e le forze devono essere tutte posizionali.

Adesso vogliamo considerare i metodi che permettono di studiare e definire le configurazioni di equilibrio dei sistemi meccanici, nonché in alcuni casi, anche le reazioni vincolari scalari all’equilibrio, cioè quelle reazioni vincolari che permettono di avere conservati i vincoli all'equilibrio. I metodi che utilizzeremo per studiare l’equilibrio dei sistemi meccanici sono tre:

1. Avremo il Principio dei lavori virtuali

2. Il secondo sarà quello che si chiama il Metodo del potenziale

3. E poi il terzo, Equazioni cardinali della statica

Quando abbiamo a che fare con un sistema meccanico, i metodi per studiare l'equilibrio sono tre, il principio dei lavori virtuali, il metodo del potenziale e le equazioni cardinali della statica. Ciascuno di questi metodi, che adesso analizzeremo in dettaglio, avrà le proprie condizioni di applicabilità che vedremo e sarà applicabile in alcuni casi, mentre in altri no, ci saranno le condizioni ma, una volta verificate le ipotesi di questi che sono dei teoremi, noi potremo arrivare alla determinazione delle configurazioni di equilibrio del sistema meccanico ed eventualmente anche delle corrispondenti reazioni vincolari scalari statiche che si hanno nelle configurazioni di equilibrio.

Condizione necessaria affinché C₀, quella configurazione che abbiamo scritto qui, sia configurazione di equilibrio per un qualunque sistema meccanico è che valgano le equazioni cardinali della statica, cioè che Fe + φe sia uguale al vettore nullo, calcolato nella configurazione di equilibrio e Ωe + ѱe sia il vettore nullo, cioè che valgano le equazioni cardinali della statica.

In questo caso non ci sono delle condizioni di applicabilità per la condizione necessaria stringenti, ma il sistema meccanico deve essere qualunque. Questa condizione necessaria è che valgano le equazioni cardinali della statica.

In questo caso non ci sono delle condizioni di applicabilità per la condizione necessaria stringenti, ma il sistema meccanico deve essere qualunque. Questa condizione necessaria è che valgano le equazioni cardinali della statica.

Dimostrazione

Per ipotesi, C₀ è configurazione di equilibrio. Tesi, se calcolo le equazioni cardinali della statica nella configurazione di equilibrio, queste sono identicamente soddisfatte. Quindi le equazioni cardinali della statica, calcolate nella configurazione di equilibrio di un qualunque sistema meccanico sono identicamente soddisfatte.

Se C₀ è configurazione di equilibrio per ipotesi, significa che, posto il sistema meccanico nella configurazione C₀ all'istante t₀ in quiete, cioè con tutti i punti che hanno velocità nulla, il sistema meccanico resta nella configurazione C₀ per ogni istante di tempo t maggiore di t₀. Quindi dire che C₀ è configurazione di equilibrio, significa dire che ciascun punto Ps si trova in equilibrio nella configurazione C₀.

Per la condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio del singolo punto Ps, la condizione necessaria e sufficiente è quella che ci dice che la somma di tutti i vettori delle forze attive esterne, attive interne, reazioni vincolari esterne, reazioni vincolari interne, agenti sul punto, deve essere nullo. Di queste condizioni necessarie e sufficienti per l'equilibrio del punto, ne abbiamo una per ogni punto, quindi ne abbiamo per s che va da 1 ad N. Questa che la indichiamo con l'equazione (*) è, per ciascun punto Ps la condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio del punto materiale. Siccome poi di queste equazioni ne abbiamo una per ogni punto, cioè ne abbiamo N, allora le possiamo sommare tutte membro a membro, quindi posso fare la sommatoria per S che va da 1 ad N di Fes + Fis + φes + φis. E sommando dei vettori nulli, otterrò ancora un vettore nullo. Posso applicare la proprietà associativa, quindi avere la sommatoria per s che va da 1 ad N degli Fes, + la sommatoria per s che va da 1 ad N degli Fis, + la sommatoria per s che va da 1 ad N di φes + la sommatoria per s che va da 1 ad N dei φis e questo dà ancora 0. Non stiamo sommando le forze, perché stiamo sommando i vettori delle forze.

Il primo addendo è quello che abbiamo Fe, cioè il vettore risultante delle forze attive esterne. Il secondo addendo con la sommatoria è la sommatoria in s degli Fis è Fi, cioè il vettore risultante delle forze attive interne, poi c'è il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne e infine, l'ultimo addendo con la sommatoria, il vettore risultante delle reazioni vincolari interne.

Il vettore risultante delle forze attive interne, così come il vettore risultante delle reazioni vincolari interne, sono nulli, cioè questo Fi è nullo e anche φi è nullo, che non vuol dire che siano nulli, non è nullo perché sono nulli i vettori Fis oppure i vettori φis, ma semplicemente questo vettore è nullo perché il sistema delle forze attive interne, in virtù del principio di azione e reazione è sempre equivalente al sistema nullo, perché le forze di tipo interno compaiono sempre a 2 a 2 come coppie di braccio nullo. Quindi, per il principio di azione e reazione, le forze di tipo interno, siano esse forze attive o reazioni vincolari, compaiono a 2 a 2 come coppie di braccio nullo e pertanto avranno nulli il vettore risultante. Questo comporta che valga la prima equazione cardinale della statica, cioè che Fe + φe sia uguale a zero.

In questo modo abbiamo ricavato la prima.

Adesso dobbiamo ricavare la seconda. Riparto di nuovo da questa equazione che ho chiamato (*) e che ho messo nel box. Moltiplico vettorialmente per O - Ps. Quindi Fes + Fis + φes + φis, vettor O - Ps. E siccome il fattore è 0, allora, moltiplicandolo vettorialmente per O - Ps, otterrò ancora 0. E di queste equazioni uguagliate a 0, ne ho una per ogni s che va da 1 ad N. Queste equazioni le sommo tutte membro a membro e quindi avrò la sommatoria per s che va da 1 ad N di Fes + Fis + φes + φis, vettor O - Ps. Ho sommato tutti questi addendi che sono nulli e quindi otterrò ancora il vettore nullo.

Ora applico la proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto alla somma e poi spezzo nelle diverse sommatorie, sommatoria per S che va da 1 ad N degli Ωes con polo in O perché Fes vettor O - Ps è Ωes con polo in O. Poi ho la sommatoria per S che va da 1 ad N degli Ωis, cioè sono Fis vettor O - Ps e questo con polo in O e poi avrò la sommatoria per s che va da 1 ad N di ѱes con polo in O e infine la sommatoria per s che va da 1 ad N di ѱis con polo in O e questo dà il vettore no. Il primo addendo è il momento risultante delle forze attive esterne con polo in O. Il secondo addendo è il momento risultante delle forze attive interne con polo in O. ѱe con polo in O è il momento risultante delle reazioni vincolari esterne con polo in O. E infine l'ultimo addendo mi darà ѱi con polo in O, che è il momento risultante delle reazioni vincolari interne con polo in O. Per lo stesso motivo per cui abbiamo detto prima che Fi, vettore risultante delle forze attive interne, e φi, vettore risultante Ωis(O) è il vettore nullo, così come ѱi(O) è il vettore nullo, cioè questi vettori sono nulli, perché il sistema delle forze di tipo interno, siano esse forze attive o reazioni vincolari, compaiono per il principio di azione e reazione a 2 a 2 come coppie di braccio nullo. E allora questo termine non c’è, non ci sarà nemmeno questo, perché in particolare le forze di tipo interno; le singole forze non sono nulli questi termini, ma quando li sommiamo vengono zero, perché compaiono a 2 a 2 come coppie di braccio nullo per il principio di azione e reazione.

E allora avremo trovato che Ωe(O) + ѱe con un polo in O è uguale a zero, e in virtù del fatto che abbiamo dimostrato l'indipendenza dal polo, possiamo anche scrivere Ωe + ѱe uguale al vettore nullo.

Quindi abbiamo dimostrato che le equazioni cardinali della statica sono una condizione necessaria per l'equilibrio di un qualunque sistema meccanico.

Condizione necessaria e sufficiente, affinché una configurazione C₀, quindi abbiamo la configurazione, stiamo lavorando con i sistemi meccanici. Condizione necessaria e sufficiente, affinché una configurazione C₀ sia di equilibrio per un sistema meccanico a vincoli perfetti, ecco la condizione di applicabilità, diciamo l'ipotesi, quindi condizione necessaria e sufficiente affinché una configurazione C₀ sia di equilibrio per un sistema meccanico a vincoli perfetti è che il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive agenti sul sistema meccanico, quindi δL, lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, che è la sommatoria per s che va da 1 ad N di Fs, vettore delle forze attive che agiscono sul punto Ps, scalare δPs, questo deve essere minore o uguale di zero, per ogni δC a partire da C₀, quindi questa è la disequazione, che la condizione necessaria e sufficiente affinché C₀ sia una configurazione di equilibrio per un sistema meccanico a vincoli perfetti. Si deve verificare che δL, il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, agenti sul sistema meccanico, deve essere minor o uguale di 0 per ogni δC a partire da C₀. In analogia a quanto abbiamo visto prima, per la relazione simbolica della meccanica, in particolare se δC è uno spostamento virtuale invertibile, allora il principio dei lavori virtuali vale col segno di uguaglianza. Quindi δC deve essere uguale a 0 per ogni spostamento virtuale δC invertibile.

Adesso invece supponiamo di avere un sistema materiale di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N. Parlo sempre di sistemi discreti finiti, senza perdita di generalità, ma quello che dico vale anche per le infinità numerabili di punti e poi vedremo come si declina questa definizione per i continui.

Se supponiamo di avere un sistema discreto di punti sempre rispetto ad un certo osservatore, si definisce quantità di moto e si indica sempre con il vettore Q la somma delle quantità di moto dei singoli punti, quindi la sommatoria in s di ms, vs, questo sempre rispetto all’osservatore che abbiamo indicato con Oxyz, dove le vs sono le velocità dei punti Ps, misurati dall'osservatore in questione Oxyz. Questo era il caso del sistema discreto finito oppure l'infinità numerabile.

Adesso voglio studiare l’equilibrio di un corpo rigido che sia appoggiato in un punto O₁ ad un piano liscio che indichiamo con Oxy. Il corpo rigido si trova appoggiato appoggiato sul piano Oxy nel punto O₁. Poi prendiamo l'asse z, che è perpendicolare a questo piano. La prima cosa da fare è quella di considerare il numero di gradi di libertà di questo problema. Questo problema ha 5 gradi di libertà e i parametri lagrangiani che prendiamo, possiamo dire che siano le coordinate x e y del punto O₁. Quindi come parametri lagrangiani possiamo scegliere la x del punto O₁, la y del punto O₁ e poi i tre angoli di Eulero, ѱ, 𝜑 e ϑ, che un sistema di riferimento solidale al corpo rigido forma con una terna di riferimento traslante rispetto al sistema di riferimento fisso. Comunque noi prendiamo le due coordinate x e y del punto O₁, che essendo appoggiato al piano, ha la z uguale a 0, e i tre angoli de Eulero che mi forniscono la rotazione; potremmo pensare ad un sistema di riferimento in cui qui c’è un punto O₂ e questo è x’, y’, z’ che è traslante rispetto a quello fisso e poi c'è il sistema di riferimento che noi prendiamo sempre con origine in O₂, x₁y₁z₁. Gli angoli di Eulero li troviamo mettendoli a posto tra il sistema rosso e il sistema di riferimento verde.

Vogliamo studiare l'equilibrio del corpo rigido appoggiato in un punto ad un piano liscio Oxy, e diciamo che questo piano lo possiamo indicare anche col piano π. Supponiamo che sul corpo rigido agisca un sistema di forze attive esterne delle quali noi conosciamo soltanto il vettore risultante e il momento risultante, supponiamo di conoscerlo con polo in O₁, proprio quel punto di appoggio del corpo rigido.

Equazioni cardinali della statica

Piano liscio, in particolare vincolo liscio è un vincolo perfetto, corpo rigido soggetto a vincoli perfetti, possiamo studiare l'equilibrio con le equazioni cardinali della statica. Quindi Fe + φe è uguale a 0, Ωe con polo in O₁ + ѱe con polo in O₁ uguale al vettore nullo. Il vettore Fe lo possiamo scrivere con le sue componenti lungo il versore ī, lungo il versore j, e k: Fex ī + Fey j + Fez k, e analogamente il vettore Ωe di O₁ avrà le sue componenti lungo ī, lungo j e lungo k. Adesso si tratta di vedere qual è la reazione vincolare che rappresenta il vincolo. Questo è un vincolo di appoggio del corpo rigido in un punto. E allora la reazione vincolare che sarà applicata nel punto O₁, visto che il vincolo è liscio, sarà una φz versore k e siccome deve avere stessa direzione e verso opposto di uno spostamento totalmente proibito, gli spostamenti totalmente proibiti sono tutti e soli quelli di ingresso nel piano perpendicolarmente al piano, quindi lungo l'asse z la reazione vincolare sarà φz con φz maggiore o uguale di 0. Se io vado a calcolare il momento della reazione vincolare O₁φ₁, calcolata con polo in O₁, la reazione vincolare è applicata in O₁, il polo che ho scelto per il momento è O₁, questa non dà contributo e quindi questo è il vettore nullo. Quindi questo termine, nelle equazioni cardinali della statica non c’è.

Adesso siamo pronti per proiettare la prima equazione lungo ī, j e k, la seconda equazione lungo ī, j e k e quello che si ottiene è questo, Fex, poi la φ₁ non ha contributo lungo ī. Quindi Fex che dipenderà da x del punto O₁, da y del punto O₁, da ѱ, 𝜑 e ϑ dovrà essere uguale a 0. Poi ci sarà, proiettando lungo j, la Fey, anch'essa dipendente da x, y, da ѱ, 𝜑 e ϑ uguale a 0. Quando proietto invece la prima equazione lungo k, ottengo Fez  di x, y, ѱ, 𝜑, ϑ + φz uguale a zero. E infine abbiamo l'ultima equazione vettoriale che, non contenendo le reazioni vincolari, mi fornisce Ωex, sempre di x, y, ѱ, 𝜑, ϑ uguale a 0, Ωey delle stesse cose, e Ωez sempre dipendenti dalle stesse incognite da cui dipendono tutte, la Fex, la Fey, la Fez, le stesse saranno presenti nella dipendenza di Ωex, Ωey, Ωez. Abbiamo ottenuto un sistema di sei equazioni nelle sei incognite che sono i parametri lagrangiani x, y, ѱ, 𝜑, ϑ e φz. Inoltre φz deve essere maggiore o uguale di zero. Quindi le equazioni dell'equilibrio sono queste, la prima e la seconda, la quarta, la quinta e la sesta, perché sono quelle che non contengono la reazione vincolare.

Queste sono le equazioni dell'equilibrio. Queste risolte ci daranno un x*, y*, ѱ*, 𝜑*, ϑ* quindi troverò tutte le cinquine che soddisfano la 1, 2, 4, 5, 6. Una volta determinate queste, prenderò l'equazione 3, che mi dice che la φz deve essere uguale all'equilibrio a - Fez in x*, y*, ѱ*, 𝜑*, ϑ*. E affinché ciascuna di queste cinquine sia configurazione di equilibrio, deve succedere che la - Fez calcolata in queste cinquine sia maggiore o uguale di zero. Se questo succede, allora le configurazioni che abbiamo trovato sono di equilibrio, altrimenti no, perché se trovassimo che questa è minore di zero, vorrebbe dire che il corpo rigido si stacca dal piano.

Per quanto riguarda la condizione sufficiente, se il sistema meccanico è un sistema meccanico qualunque, così come era nell'ipotesi che abbiamo visto qui, se continuiamo a dire che il sistema meccanico è qualunque, le equazioni cardinali della statica non sono una condizione sufficiente. Se io per un sistema meccanico qualunque, prendo le equazioni cardinali della statica, le risolvo e determinano le soluzioni, queste per un qualunque sistema meccanico, non è detto che siano configurazioni di equilibrio.

Affinché invece le equazioni cardinali della statica diventino anche una condizione sufficiente, allora bisogna fare un’ipotesi aggiuntiva, cioè supporre che il sistema meccanico sia un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti.

Se il sistema meccanico, quello che abbiamo visto prima, che era qualunque, è un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti, allora le equazioni cardinali della statica diventano anche una condizione sufficiente per l'equilibrio del sistema meccanico, cioè una condizione sufficiente affinché C₀ sia configurazione di equilibrio per il sistema meccanico, che deve essere un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti.

Quindi se abbiamo il corpo rigido soggetto a vincoli perfetti, allora le equazioni cardinali della statica diventano anche una condizione sufficiente. Vediamo di dimostrare che in effetti, con queste ipotesi aggiuntive, le equazioni cardinali della statica sono anche una condizione sufficiente, che siano necessarie l'abbiamo dimostrato per un qualunque sistema meccanico, quindi a maggior ragione lo sono anche per un corpo rigido soggetto ai vincoli perfetti.

Dimostrazione

Ipotesi, supponiamo di avere un sistema meccanico che è un corpo rigido e inoltre è soggetto a vincoli perfetti. Inoltre valgono le equazioni cardinali della statica, cioè Fe + φe è uguale a zero, e Ωe + ѱe è uguale a zero.

Tesi, voglio dimostrare che la configurazione C₀, soluzione di questo sistema, è configurazione di equilibrio. Cosa che non è vera se il sistema meccanico è un sistema meccanico qualunque.

Per dimostrare che C₀ è configurazione di equilibrio utilizzerò il Principio dei lavori virtuali. Cioè se riesco a dimostrare che il lavoro virtuale compiuto dal sistema delle forze attive è minor uguale di zero per ogni spostamento virtuale a partire da C₀, allora per il principio dei lavori virtuali, che è una condizione necessaria e sufficiente affinché C₀ sia configurazione di equilibrio per un sistema meccanico a vincoli perfetti, ecco dove cominciamo ad usare l'ipotesi di vincolo perfetto, allora avremo dimostrato la tesi.

La strategia è quella di dimostrare attraverso il principio dei lavori virtuali che C₀ è configurazione di equilibrio. Visto che voglio calcolare il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, parto calcolando il δL, siccome però le forze che agiscono sul sistema meccanico sono queste, c'è un sistema di forze attive esterne e di forze attive interne, quindi le forze attive le devo usare tutte, ma qui ci sono anche le reazioni vincolari esterne e interne. Quindi calcolo la somma, il δL, il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, tutte quelle interne e quelle esterne, più il δρ, che è il lavoro virtuale compiuto dalle reazioni vincolari interne e esterne. Il δL sarà la sommatoria per s che è una da uno ad N di Fes + Fis, scalare δPs e questo sarebbe il δL per definizione. Il δρ, lavoro virtuale compiuto dalle reazioni vincolari, sarà φes + φis scalare δPs.

Abbiamo un’ipotesi di corpo rigido e ci ricordiamo di avere visto come si scrive il lavoro virtuale compiuto da un sistema di forze, quando è applicato ai punti di un corpo rigido. Questa somma del lavoro virtuale compiuto dalle forze attive + il lavoro virtuale compiuto dalle reazioni vincolari per un di forze applicate ai punti di un corpo rigido, si scrive così, si prendono i vettori risultanti, quindi Fe, vettore risultante delle forze attive esterne, + il vettore risultante delle forze attive interne, Fi, + φe, vettore risultante delle reazioni vincolari esterne, + φi, vettore risultante delle reazioni vincolari interne, si moltiplica scalarmente per δO₁, dove O₁ è un punto del corpo rigido e poi si fa + e si mettono i momenti, Ωe con polo in O₁ + Ωi  con polo in O₁ + ѱe con polo in O₁ + ѱi con polo In O₁ e questo si moltiplica scalarmente per a ϑ, dove abbiamo scelto lo spostamento virtuale δC a partire da C₀, dove lo spostamento virtuale δC a partire da C₀ per il corpo rigido è dato da una traslazione infinitesima δO₁ e da una rotazione infinitesima attorno all'asse O₁, a, che è l'asse istantanea rotazione, e di intensità δϑ. Questo è un qualunque spostamento virtuale del corpo rigido a partire dalla configurazione C₀, configurazione che vogliamo provare sia una configurazione di equilibrio.

Veniamo alla nostra equazione, abbiamo che Fi è uguale a 0 per il principio di azione e reazione, così come φi è uguale a zero per il principio di azione e reazione, perché le forze attive interne, le reazioni vincolari interne, compaiono a 2 a 2 come coppie di braccio nullo. Per lo stesso motivo, Ωi di O₁ e ѱi di O₁ sono nulli. Avremo che è rimasto Fe + φe scalare δO₁ + Ωe con polo in O₁, Ωe + ѱe con polo in O₁ scalare a δϑ, perché questi termini sono tutti nulli per il principio di azione e reazione.

Ma c'è un'altra ipotesi, che valgano le equazioni cardinali della statica, quindi sappiamo che per le equazioni cardinali della statica, Fe + φe è uguale a zero e Ωe + ѱe, qualunque sia il polo, è uguale a zero. Abbiamo trovato che il δL + il δρ sono uguali a 0, in particolare abbiamo trovato che se faccio δL + δρ, questo è uguale a 0 per ogni δC a partire da C₀.

Abbiamo utilizzato l'ipotesi di corpo rigido e inoltre dobbiamo prendere l'ipotesi di vincolo perfetto. Abbiamo trovato δL + δρ uguale a 0 per ogni δC a partire da C₀, ma per l'ipotesi di vincoli perfetti, questo δρ è maggiore o uguale di 0. Ho la somma di due addendi che fa 0, con il secondo addendo che è maggiore o uguale di 0. Posso concludere che δL è minore o uguale di 0 per ogni δC a partire da C₀ e quindi questo, per il Principio dei lavori virtuali implica che C₀ è configurazione di equilibrio.

E così abbiamo dimostrato che C₀ è configurazione di equilibrio e quindi abbiamo dimostrato anche la condizione sufficiente, questo conclude la dimostrazione.

Le equazioni cardinali della statica contengono solo i vettori risultanti delle forze attive esterne e delle reazioni vincolari esterne. I vettori risultanti delle reazioni vincolari interne e delle forze attive interne non compaiono. Questo non significa che le forze attive interne, così come le reazioni vincolari interne, non influiscano sull’equilibrio del sistema meccanico.

In generale, queste equazioni sono una condizione necessaria per l'equilibrio del sistema meccanico, ma non sufficiente. Siccome le equazioni cardinali della statica diventano una condizione sufficiente solo quando abbiamo un corpo rigido, soggetto a vincoli perfetti, se vogliamo dire che le forze di tipo interno non influiscono sull’equilibrio dei sistemi meccanici, lo possiamo dire solo se il sistema meccanico è un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti.

Abbiamo questo corpo rigido e supponiamo che ci sia un asse che è scorrevole su asse fisso. Prendiamo un sistema di riferimento Oxy e prendiamo l'asse Oz coincidente con l'asse fisso. Questo è l'asse z e gli assi x e y, quindi questo è il piano Oxy. Poi consideriamo un sistema di riferimento O₁x’y’z’ che sia traslante rispetto al sistema di riferimento fisso e lo prendiamo in modo tale che l'asse O₁z’ coincida con l'asse scorrevole. Quindi z’ primo coincide con l'asse scorrevole. E inoltre, abbiamo il piano O₁x’y’, l'asse x’ è parallelo all'asse x e l'asse y’ è parallelo all'asse y. Infine, consideriamo un sistema di riferimento, O₁x₁y₁z₁, in cui l'asse O₁z₁ coincide con l'asse scorrevole e inoltre questo sistema di riferimento lo consideriamo solidale al corpo rigido 𝒞.

Abbiamo che z₁ coincide con l'asse scorrevole z’ e infine gli assi O₁x₁y₁ stanno nel piano O₁x’y’, ma sono assi solidali al corpo rigido 𝒞. Questo corpo rigido con asse scorrevole su asse fisso è un sistema a due gradi di libertà, come parametri Lagrangiani possiamo prendere l'angolo ϑ di rotazione che l'asse x₁ fisso nel corpo forma con l'asse x’ che è traslante, è parallelo all'asse delle x, quindi questo è l'angolo ϑ e inoltre, possiamo prendere la coordinata z che adesso segniamo qui che ha il punto O₁ rispetto al punto O.

Questi sono i due parametri, ϑ e z, che possiamo assumere per sapere, istante per istante, qual è la configurazione del corpo rigido. Supponiamo che sul corpo rigido agisca un sistema di forze attive esterne che è sempre noto attraverso i vettori caratteristici, quindi Fe è il vettore risultante delle forze attive esterne e poi supponiamo di conoscere Ωe con polo in O₁.

Come abbiamo fatto nel caso dell'equilibrio del corpo rigido con asse fisso, volendo studiare l'equilibrio prima con le equazioni cardinali della statica, dobbiamo cercare di definire come sono fatte le reazioni vincolari. Cerchiamo di lavorare sempre nel caso staticamente determinato e quindi vorremmo determinare un numero di reazioni vincolari scalari che sia minore o uguale di 6 - n, quindi di 6 - 2 che fa 4. In particolare, vogliamo realizzare il vincolo di asse scorrevole su asse fisso con il numero minimo di reazioni vincolari. Come si realizza un vincolo di asse scorrevole su asse fisso? Basterà mettere un anello nel punto O₁ e un altro anello in un punto O₂ diverso da O₁. Mettere un anello nel punto O₁ significa mettere una reazione vincolare del tipo φ₁x + φ₁y j, cioè impediamo soltanto gli spostamenti lungo le direzioni di x' e y', o x e y, che tanto questi hanno lo stesso versore. Vincolare con un anello il punto O₂ di coordinate 0, 0, h nel sistema di riferimento Oxyz, allora anche O₂ sarà rappresentabile con questa reazione vincolare φ₂x + φ₂y j. Gli assi del sistema di riferimento x e y e x’ e y' hanno gli stessi versori, quindi parlare del versore ī e j, equivale anche a prendere il versore ī’ e j’ che li consideriamo esattamente uguali.

Equazioni cardinali della statica

Adesso studiamo l'equilibrio con le equazioni cardinali della statica, quindi Fe + φe = 0, Ωe  in O₁. Il polo per la seconda equazione può essere scelto in maniera arbitraria, eventualmente volessimo cambiare il polo, c'è la formula che lega Ωe di O₁ a Ωe rispetto a un qualunque altro polo attraverso il vettore risultante. Questi vettori sono il vettore risultante delle forze attive esterne, il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne, il momento risultante delle forze attive esterne, il momento risultante delle reazioni vincolari esterne. Fe lo scriviamo genericamente come Fex ī + Fey j + Fez k e, analogamente, il vettore Ωe di O₁ sarà Ωex ī + Ωey j + Ωez k. Il vettore φe risultante delle reazioni vincolari sarà la somma di questi due vettori, cioè φ₁ + φ₂, in particolare φ₁x ī + φ₁y j + φ₂x ī + φ₂y j e così facendo, abbiamo sistemato i vettori della prima equazione e il primo addendo della seconda, quindi ci manca soltanto da calcolare la ѱe, il momento risultante delle reazioni vincolari esterne con polo in O₁ che, siccome la reazione vincolare applicata in O₁ coincide con il polo che abbiamo scelto, questa non dà un contributo, quindi resta soltanto il contributo della φ₂x ī + φ₂y j, moltiplicata vettorialmente per O₁ - O₂. E siccome O₂ è il punto che abbiamo detto di avere coordinate, 0, 0, h nel sistema di riferimento x’y’z’, altrimenti c’è anche + la coordinata z nel sistema di riferimento nero, cioè Oxyz.

Quando dobbiamo fare O₁ - O₂ avremo che comunque questo vale - hk. Da questa espressione riusciamo a ricavare che, siccome ī vettor k fa - j, avremo φ₂x h j, perché - per - fa + e poi abbiamo che j vettor k fa ī e quindi abbiamo - φ₂y h versore ī. Siamo pronti a proiettare le nostre due equazioni cardinali della statica lungo ī, j, k la prima, lungo ī, j, k la seconda. Partiamo dai termini in ī, cioè quelli gialli.

Poi mettiamo i termini in j, cioè quella verdi. Adesso proiettiamo scalarmente per il versore k e quindi avremo il termine in azzurro, perché c'è soltanto questa nella prima equazione. Adesso dobbiamo fare la stessa cosa con l'equazione dei momenti Ωe(O₁) + ѱe(O₁), quindi con questo vettore e questo. Abbiamo ottenuto un sistema di sei equazioni nelle sei incognite, che sono ϑ, z, φ₁x, φ₁y, φ₂x, φ₂y.

Queste due equazioni, la 3 e la 6 sono le equazioni dell'equilibrio, quindi Fez che dipende da ϑ e da z = 0 e Ωez in funzione di ϑ e z = 0, queste sono le due equazioni dell’equilibrio che ci aspettavamo di trovare in numero di 2, perché 2 è il numero di gradi di libertà del sistema. Quindi tutte e sole le coppie ϑ*, z* che soddisfano questo sistema, sono configurazioni di equilibrio del corpo rigido con asse scorrevole su asse fisso. A cosa ci servono le altre quattro equazioni, cioè la 1, la 2, la 4 e la 5? Dall’equazione 5 possiamo ricavare la φ₂x, che è uguale a - Ωey, calcolata in ϑ*, z* diviso per h. Dalla 4 ottengo φ₂y che è uguale ad Ωex calcolata nelle configurazioni che abbiamo ricavato risolvendo le equazioni Fez uguale a 0, Ωez uguale a 0, infine dalla prima equazione si ottiene φ₁x che è uguale a - φ₂x, quindi è uguale ad Ωey in ϑ*, z*, fratto h - Fex, calcolata in ϑ*, z* e infine la φ₁y che vale la - φ₂y, quindi - Ωex in ϑ*, z* diviso h - Fey in ϑ*, z*. In questo modo abbiamo risolto il problema.

Principio dei lavori virtuali

In modo analogo, arriveremmo con il principio dei lavori virtuali a ricavare di nuovo queste equazioni dell'equilibrio. Come si affronta il problema dell'equilibrio? Dobbiamo avere il sistema delle forze attive che sappiamo essere dato dai vettori caratteristici Fe e Ωe di O₁ e allora, con il principio dei lavori virtuali, scriveremo che il δL è uguale, il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, applicate ai punti di un corpo rigido, vale Fe scalare δO₁ + Ωe di O₁, scalare a δϑ e questo deve essere minore o uguale di zero per ogni spostamento virtuale δC.

Si possono applicare a questo corpo rigido con asse scorrevole su asse fisso, le equazioni cardinali della statica, ma il vincolo di asse scorrevole su asse fisso, in questi esempi supponiamo sempre i vincoli lisci e inoltre questo è un corpo rigido, quindi la condizione di applicabilità delle equazioni cardinali della statica come condizione sufficiente ce l’avevamo, perché corpo rigido, soggetto a vincoli perfetti, perché i vincoli lisci in particolare sono perfetti. Il fatto di poter applicare il principio dei lavori virtuali, c'è di certo perché essendo i vincoli lisci sicuramente sono perfetti e il principio dei lavori virtuali si applica se c'è un sistema meccanico a vincoli perfetti. Considero uno spostamento virtuale δC₁. Posso fare compiere sia una traslazione infinitesima al punto O₁ lungo l'asse z, sia una rotazione infinitesima di ampiezza δϑ attorno all'asse O₁k. Li facciamo tutti e due questi spostamenti virtuali. Facciamo prima uno spostamento virtuale δC₁ che sia una traslazione infinitesima, quindi un δO₁, che lo prendiamo come un δz lungo k. Questo tra l'altro è uno spostamento virtuale invertibile, perché se si fa il + δzk, si può fare anche il - δzk, è uno scorrimento.

Allora il δL, se prendiamo solo la traslazione, ma non la rotazione, questa parte non c'è, quindi la rotazione la prendiamo nulla, il δϑ è uguale a 0, e quindi otteniamo Fe scalare δzk. E siccome lo spostamento virtuale è invertibile, il principio dei lavori virtuali vale con il segno di uguaglianza, quindi questo qualunque sia lo spostamento virtuale δC e qual è la parte variabile? Questo è fisso, perché k non può variare, perché il vincolo è dato da un asse scorrevole su asse fisso. δz invece è variabile, quindi per ogni δz diverso da 0. Facciamo i calcoli, Fex ī + Fey j + Fez k, scalare δzk, uguale a 0 per ogni δz diverso da 0. ī scalare k fa 0, g scalare k fa 0, k scalare k fa 1. Quindi qua rimane soltanto Fez δz, che deve essere nullo per ogni δz diverso da 0. E questo implica Fez, funzione di ϑ e di z uguale a 0. Abbiamo riottenuto l'equazione numero 3.

Adesso invece vediamo un altro spostamento virtuale, uno spostamento virtuale δC₂ che questa volta sarà una rotazione infinitesima, quindi niente traslazione, traslazione δ₁ uguale a 0, mentre O₁ δϑ k, la rotazione può essere solo attorno a un asse che è fisso O₁ k e quello che è variabile nello spostamento virtuale sarà δϑ. Anche questo è invertibile, perché se c'è il + δϑk ci può essere anche il - δϑk ed è sempre uno spostamento virtuale. Allora avremo il δL questa volta, questo termine questa volta non c'è, rimane soltanto questo, con l'uguaglianza 0. Quindi Ωe di O₁, scalare δϑk e questo deve essere 0, qualunque sia l'unica parte che può variare è δϑ diverso da 0. Allora di nuovo facendo i calcoli, siccome Ωe di O₁ ha le sue componenti lungo ī, lungo j, lungo k, ma l'unica cosa che rimane sarà quella lungo k, sarà Ωez per δϑ uguale a 0, qualunque sia δϑ e questo implica Ωez, funzione di ϑ e di z, uguale a 0. E questa è l'equazione 6. In questo modo abbiamo riottenuto le due equazioni dell'equilibrio che aveva ottenuto con le equazioni cardinali della statica.

Questa volta non lo utilizziamo per la determinazione delle reazioni vincolari scalari.

Questo studio ci permette di concludere con un teorema, un teorema che ci dice che condizione necessaria e sufficiente affinché una configurazione C₀ sia di equilibrio per un corpo rigido appoggiato in un punto O₁ ad un piano liscio, è che il sistema delle forze attive esterne sia equivalente o ad un’unica forza che passa per O₁, normale al piano, ed orientata dal corpo verso il piano, cioè questa situazione, oppure sia equivalente al sistema nullo.

Questo si evince dal fatto che nelle equazioni cardinali della statica, troviamo che le forze attive esterne sono nulle, il vettore risultante può essere o diverso da zero se c'è questa componente, oppure potrebbe essere anch'esso uguale a zero, allora il sistema sarebbe necessariamente equivalente al sistema nullo. Se non è equivalente al sistema nullo, sarà equivalente ad un’unica forza, perché troviamo Ωe di O₁ uguale a 0, quindi sarà equivalente ad un'unica forza che passa per O₁, è normale al piano, ed è orientata, in virtù di questa ipotesi, dal corpo verso il piano.

Partiamo dalla definizione di quantità di moto, prendendo in considerazione punto materiale, quindi supponiamo di avere un punto materiale P di massa m e vogliamo definire che cosa si intende per quantità di moto del punto materiale.

Si definisce quantità di moto del punto materiale P di massa m e lo si indica con la lettera Q vettoriale il prodotto della massa del punto per il vettore velocità del punto P, dove la massa m è la massa del punto mentre v è il vettore velocità del punto P in esame, misurato da un osservatore Oxyz, quindi avremo l'osservatore che indichiamo con Oxyz, il punto materiale P che si sta muovendo nello spazio con un certo vettore velocità v e allora faremo il prodotto della massa per il vettore velocità e quello che otteniamo è la quantità di moto, quindi una grandezza vettoriale.

Quindi questa grandezza vettoriale quantità di moto del punto P è una grandezza che è misurata in questo caso dall'osservatore Oxyz, quindi sarà una grandezza definita al rispetto ad Oxyz.

Se invece abbiamo un corpo continuo, possiamo indicare il corpo continuo con 𝒞, allora in questo caso la quantità di moto Q sarà definita dall’internale fatto sul continuo 𝒞 della densità ρ(P) per il vettore velocità del punto P in d𝒞, dove la v(P) sarà la velocità del punto P, misurata sempre dall'osservatore Oxyz. Quindi questa volta saremo nel caso in cui c'è un continuo 𝒞 di punti materiali, questo è il generico punto P e considereremo il d𝒞 come il generico elemento infinitesimo di volume se siamo in presenza di un continuo tridimensionale, di superficie se siamo nel caso di un continuo bidimensionale oppure il generico elemento infinitesimo unidimensionale, se siamo in presenza di un continuo unidimensionale.

Si parte da un sistema meccanico che deve essere a vincoli perfetti, quindi vuol dire che abbiamo un sistema materiale di punti Ps, ms, soggetto ad un sistema di forze attive Ps, Fs,, un sistema di reazioni vincolari, quindi di punti ne abbiamo N e supponiamo che questo sistema meccanico sia ad n gradi di libertà. Supponiamo che i parametri lagrangiani siano q₁, q₂, …, qn, e la configurazione C₀, quindi la possiamo indicare con q₁⁰, qn⁰, cioè i valori dei parametri lagrangiani per un certo istante, t₀ cioè C₀ è un punto dello spazio delle configurazioni.

La dimostrazione prevede che si dimostri una condizione necessaria e poi una condizione sufficiente.

Condizione necessaria

L’ipotesi è che il sistema meccanico sia a vincoli perfetti. Questa è in realtà una condizione di applicabilità, l'ipotesi di vincoli perfetti ci sarà come ipotesi sia della condizione necessaria, sia della condizione sufficiente, perché è l'ipotesi fondante del teorema, cioè il teorema si applica ai sistemi meccanici a vincoli perfetti. Poi l'ipotesi della condizione necessaria è che C₀ sia configurazione di equilibrio.

Tesi, cosa vogliamo dimostrare, che δL, lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, è minore o uguale di 0 per ogni δC a partire da C₀.

Se C₀ è configurazione di equilibrio, per ipotesi C₀ è configurazione di equilibrio, cosa vuol dire? Vuol dire che C₀ è configurazione di equilibrio per il sistema meccanico se, posto il sistema in C₀ all'istante t₀ in quiete, il sistema meccanico resterà in C₀ per ogni istante di tempo t maggiore di t₀. Quindi in particolare, vuol dire anche che se C₀ è configurazione di equilibrio, oltre a quello che ho detto adesso, cioè che sistema meccanico posto nella configurazione C₀ all'istante t₀, posto inquiete, resta nella configurazione C₀ per ogni t maggiore di t₀, significa anche che ciascun punto Ps è in equilibrio. Il fatto che C₀ sia configurazione di equilibrio, implica che ciascun punto Ps è in equilibrio. Per il punto materiale l'equazione dell'equilibrio, se il punto materiale è soggetto a queste forze attive e questa reazione vincolare, sappiamo che questo implica la condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio del punto, che è Fs + φs = 0. Questo è vero per ogni s, perché ciascun Ps è in equilibrio. Quindi noi abbiamo N equazioni, F₁ + φ₁ = 0, F₂ + φ₂ = 0, fino a FN + φN = 0.

Adesso considero uno spostamento virtuale δC a partire da C₀. Prenderò gli spostamenti virtuali δP₁, δP₂, …, δPN per ciascuno di questi punti. E allora vuole anche dire che io, così facendo, prendo questa equazione e per ogni s moltiplico scalarmente questa equazione per il proprio δPs e quindi faccio Fs + φs, la moltiplico scalarmente per il δPs, e siccome per l'ipotesi che ciascun Ps è in equilibrio, questa somma è 0, allora quando la moltiplico scalarmente per il proprio δPs, ottengo ancora 0 e di questi prodotti scalari ne ho N. Adesso sono pronta per sommare membro a membro tutte queste N equazioni, quindi da qui, sommo per s che va da 1 ad N tutti questi termini. Ed essendo N termini che sono tutti uguali a 0, ottengo ancora 0. Applico la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma e poi separo nelle due sommatorie. Questa è un’operazione lecita e questa è sempre uguale a 0.

La prima sommatoria per S che va da 1 ad N, di Fs scalare δPs, questo è quello che noi abbiamo chiamato lavoro virtuale compiuto dalle forze attive applicate al sistema. Questa seconda sommatoria è quello che abbiamo chiamato, indicato con δρ, lavoro virtuale infinitesimo compiuto dalle reazioni vincolari.

δL + δρ è uguale a zero. Le ipotesi qui sono che C₀ è configurazione di equilibrio e l'abbiamo usata all'inizio, ma c'è ancora l'ipotesi di vincolo perfetto. I vincoli perfetti prevedono che δρ sia maggiore o uguale di zero per ogni δC e per ogni configurazione, quindi se il nostro sistema meccanico per ipotesi è a vincoli perfetti, allora questo termine, δρ, è maggiore o uguale di zero per l'ipotesi che ci dice che il sistema meccanico è a vincoli perfetti.

Abbiamo una somma di due termini, δL e δρ che fa 0, con il secondo termine che è maggiore o uguale di 0. Questo ci permette di concludere che il primo addendo δL deve essere minore o uguale di 0 e siccome dall'arbitrarietà della scelta che abbiamo fatto qui, questo spostamento virtuale δC a partire da C₀ era arbitrario. Questa cosa la possiamo fare per qualunque δC e quindi δL è minore o uguale di 0, per ogni δC scelto a partire da C₀. Questo dimostra la condizione necessaria.

Condizione sufficiente

Nella condizione sufficiente c'è sempre l'ipotesi che i vincoli siano perfetti, l'ipotesi che i vincoli siano perfetti c'è qui, e c'è anche nella condizione sufficiente, perché nell'enunciato di questo teorema, l'ipotesi di vincoli perfetti è una condizione di applicabilità del teorema. Poi quando si passa alla condizione sufficiente, rispetto alla necessaria, si scambiano tra loro. Avremo ipotesi δL minore o uguale di 0 per ogni δC a partire da C₀, tesi invece C₀ è configurazione di equilibrio.

Sappiamo che se il sistema meccanico è a vincoli perfetti, vale la relazione simbolica della meccanica. Per un sistema meccanico a vincoli perfetti, la relazione simbolica della meccanica è una condizione necessaria e sufficiente per il moto. In particolare, voler dimostrare che C₀ è una configurazione d'equilibrio, cioè la configurazione d’equilibrio la possiamo anche vedere come caso particolarissimo di moto, cioè il caso del moto stazionario. Considero un moto stazionario in C₀, vuol dire che io prendo la mia ennupla dei parametri lagrangiani, delle funzioni (q₁(t), q₂(t), …, qn(t)) e dico che q₁(t) di t per ogni t vale q₁⁰. La configurazione C₀ è questa, è q₁⁰, q₂⁰, …, qn⁰. Considero il moto stazionario in C₀, cioè dico che q₁(t) è identicamente uguale a q₁⁰, q₂(t) è identicamente uguale a q₂⁰, fino all'ennesimo n, qn(t) che dico che è identicamente uguale a qn⁰, questo per ogni istante t.

Questo è un moto stazionario che soddisferà anche delle condizioni iniziali. Il punto viene messo all'istante t₀ nella configurazione C₀ in quiete, con tutti i punti aventi velocità nulla. Quindi significa che le condizioni iniziali sono che q₁(0) vale q₁⁰, q₂(0) vale q₂⁰ e infine che qn(0) vale qn⁰.

Il sistema meccanico viene messo nella configurazione C₀ in quiete, cioè con tutti i punti a venti velocità nulla, quindi vuol dire che q₁(0) punto è zero, vuol dire che q₂(0) è zero, fino all’ennesimo, che comunque è zero,  perché il sistema meccanico è in quiete nella configurazione C₀ all'istante t₀. E per indicare il moto stazionario, diciamo che il sistema meccanico resta in C₀, vedete che q₁(t) è identicamente uguale a questo valore e lo stesso per tutti gli altri, per ogni istante di tempo. Questa è una configurazione di equilibrio rappresentata come moto stazionario. Se io faccio vedere che questo è un moto possibile del sistema meccanico, in virtù dell'unicità dei moti, perché il moto è unico, date le condizioni iniziali, in virtù dell'unicità della soluzione del problema di Cauchy, questo sarà il moto e quindi avrò dimostrato che C₀ è configurazione d'equilibrio. Se faccio vedere che questo moto soddisfa la relazione simbolica della meccanica, allora avrò dimostrato che C₀  è configurazione d’equilibrio.

Scrivo la relazione simbolica della meccanica, che è una condizione necessaria e sufficiente per il moto di un sistema meccanico a vincoli perfetti. Quindi sommatoria per s che va da 1 and N di Fs - ms as, scalare δPs è minore o uguale di 0, perché se noi verifichiamo che nel moto stazionario vale questa relazione, allora ho dimostrato che il moto stazionario è l'unico moto possibile, quindi C₀ è configurazione di equilibrio.

Facciamo i calcoli e andiamo a vedere nel moto stazionario cosa succede. Quindi ho la sommatoria per s che va da 1 ad N, il vettore Fs è il vettore Fs che agisce sul meccanico in esame.

Nel moto stazionario quanto valgono le accelerazioni dei punti Ps? Saranno identicamente nulle, perché il moto è proprio stazionario. Questa relazione simbolica della meccanica, calcolata nel moto stazionario, mi fa rimanere soltanto sommatoria per s che va da 1 ad N di Fs scalare δPs. Questo non è altro che il δL, il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, e questo per ipotesi, qualunque sia lo spostamento virtuale δC a partire da C₀, è minore o uguale di 0. Se adesso leggo la prima e l'ultima di questa catena, ottengo che la relazione simbolica della meccanica è verificata nel moto stazionario.

E quindi posso concludere che il moto stazionario è il moto del sistema, e in virtù dell’unicità, ho dimostrato, essendo il moto unico, che C₀ è configurazione d'equilibrio, quindi il moto stazionario che soddisfa alla relazione simbolica della meccanica, è il ‘moto’, perché in realtà è un moto stazionario, è il moto del sistema meccanico. E inoltre, siccome questo è un moto stazionario, allora abbiamo dimostrato che C₀ è configurazione di equilibrio per il sistema meccanico. E quindi questo conclude la nostra dimostrazione.

Anziché parlare di un momento assoluto, assoluto vuol dire rispetto all'osservatore fisso, ci concentriamo per un attimo su una definizione di momento relativo delle quantità di moto con polo in O₁.

Si definisce momento relativo delle quantità di moto con polo nel punto O₁ per un sistema materiale di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N e lo si indica con il vettore K’ con polo in O₁, questo primo sta ad indicare che c'è un sistema di riferimento relativo, mobile, non assoluto. Quindi sommatoria per s che va da 1 ad N di ms v’s vettor O₁ - Ps, dove questo v’s non è più come nel caso del momento assoluto, la velocità assoluta del punto Ps, ma è la velocità relativa, cioè la velocità del punto Ps, rispetto a un sistema di riferimento con origine in O₁, cioè con origine nel polo, e x’y’z’ sono gli assi di questo sistema di riferimento che supponiamo traslante. Quindi il momento relativo delle quantità di moto è il momento delle quantità di moto del sistema materiale con polo in O₁, misurato rispetto ad un osservatore con origine in O₁ e traslante.

La prima cosa che ci viene in mente è di mettere in relazione il momento relativo delle quantità di moto con il momento assoluto delle quantità di moto, rispetto allo stesso polo.

La prima proprietà che vediamo è questa, che il momento assoluto delle quantità di moto con polo in O₁ è uguale al momento relativo delle quantità di moto con polo in O₁ + la massa totale del sistema, M è la sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms, per il vettore velocità del punto O₁, che è l'origine del sistema di riferimento traslante, vettor O₁ - G. Mentre la formula che abbiamo visto prima, la formula (*), metteva in relazione il momento delle quantità di moto assoluto rispetto a due poli distinti, questa formula invece lega il momento assoluto delle quantità di moto con polo in O₁ al momento relativo delle quantità di moto con polo in O₁.

Dimostrazione

La prima cosa da fare è considerare i due sistemi di riferimento. Il sistema di riferimento Oxyz, quello fisso, e il sistema di riferimento è O₁x’y’z’ che è quello traslante. Poi abbiamo un sistema materiale di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N. K di O₁, momento assoluto, per definizione vale la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms, vs vettor O₁ - Ps. vs è la velocità del punto Ps, misurata dall'osservatore fisso, Oxyz. Ma siccome vogliamo mettere in relazione il momento assoluto con il momento relativo, allora possiamo ricordarci che vs, velocità assoluta del punto Ps. La v’s  è quella misurata dall'osservatore verde, quello traslante.

La vs O sarà uguale alla v’s + la velocità di trascinamento v𝛕s. v𝛕s è la velocità che il punto P avrebbe se pensato rigidamente connesso al sistema di riferimento mobile. In questo caso, il sistema di riferimento mobile è quello con origine in O₁ e traslante. Dalla formula avremo che la velocità di trascinamento del punto Ps  è la velocità di O₁, origine del sistema di riferimento traslante, + ω vettor Ps - O₁. dO₁ in dt è la velocità dell'origine del sistema di riferimento traslante. ω è il vettore velocità angolare del sistema di riferimento mobile, ma siccome il sistema di riferimento mobile è traslante, questo vettore velocità angolare è 0, perché il sistema di riferimento O₁x’y’z’ è traslante. E allora questo termine non c'è e rimane soltanto la velocità del punto O₁, origine del sistema di riferimento mobile. Quindi qua rimane un v’s + la velocità del punto O₁. Quindi tutti i punti Ps hanno come velocità di trascinamento v𝛕s la stessa, cioè la velocità dell'origine del sistema di riferimento mobile, cosa che è vera soltanto perché il sistema di riferimento mobile sta traslando, altrimenti se il sistema di riferimento mobile fosse in moto qualunque, v𝛕s avrebbe anche questa dipendenza. Ma in questo caso, questa ipotesi del fatto che il sistema trasli, fa sì che la vs è uguale a v’s + v(O₁). Adesso andiamo a sostituire questa espressione qui dentro. Da questa relazione avremo che sommatoria per s che va da 1 ad N di ms e qui ci sarà v’s + la velocità del punto O₁, vettor O₁ - Ps. Adesso applichiamo la proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto alla somma e poi la spezziamo nelle due sommatorie, quindi avremo la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms v’s vettor O₁ - Ps + l’altra sommatoria per s che va da 1 ad N di ms, velocità del punto O₁, vettor O₁ - Ps.

Chi è questo primo addendo con la sommatoria? Per definizione è K'(O₁). E poi c'è +, in questo secondo addendo v(O₁) è indipendente dall'indice s di sommatoria, quindi questo lo possiamo scrivere come v con polo in O₁, vettor la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms O₁ - Ps. Abbiamo che K(O₁) è uguale a K'(O₁) e questo ce l'abbiamo, ma non abbiamo ancora ottenuto questo termine. Allora dobbiamo lavorare su questo per ottenere questa cosa. Quando scriviamo la formula del baricentro rispetto a questo osservatore verde, con origine in O₁, quindi usiamo O₁ come polo, G - O₁ è la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms Ps  - O₁ e al denominatore avremo la sommatoria in s degli ms, che possiamo scrivere come M. Questo numeratore sarebbe esattamente uguale a questo, a meno del segno, cioè se qua ci fosse O₁ - Ps, avremo esattamente questa parte. Se adesso moltiplico membro a membro questa relazione per - M, ottengo M per O₁ - G,  uguale alla sommatoria per s che va da 1 ad N di ms O₁ - Ps. Questo fattore del prodotto vettoriale è uguale al secondo membro di questa uguaglianza. Quindi al posto di questo termine posso mettere M per O₁ - G. Abbiamo K’(O₁) + v(O₁) vettor M O₁ - G, e siccome questo M è uno scalare, questo lo posso mettere dove voglio e lo metto qua davanti, quindi avremo K’(O₁) + M v(O₁), vettor O - G.

In questo modo siamo arrivati a dimostrare questa formula che avevamo qua in alto, che K(O₁) è uguale a K’(O₁) + M, velocità del punto O₁, vettore O₁ - G.

Casi particolari

• Primo caso particolare, se O₁ è un punto fisso, il momento assoluto delle quantità di moto con polo in O₁ è uguale al momento relativo delle quantità di moto con polo in O₁, perché in questa formula, se O₁ è un punto fisso, la sua velocità è 0 quindi questo termine non c'è e K di O₁ è uguale a K’ di O₁ qualunque sia il polo O₁ che sia fisso, quindi non qualunque sia O₁. Quindi il momento assoluto e il momento relativo coincidono.

• Se poi invece abbiamo che O₁ coincide con il baricentro G, allora si avrà che il momento assoluto delle quantità di moto con polo in G è uguale al momento relativo delle quantità di moto con polo in G.

• Infine, se O₁ è un punto per il quale si ha che la velocità è sempre, istante per istante, parallela ad O₁ - G, alla congiungente il polo con il baricentro, allora si ha che anche in questo caso il momento assoluto e momento relativo delle quantità di moto coincidono.

K di O₁ è uguale a K di O₂ + M vG, vettor O₁ - O₂ e questa è una delle formule sui momenti. La seconda invece è questa K, il momento assoluto delle quantità di moto con polo in O₁ è uguale al momento relativo, sempre con lo stesso polo, + la massa per la velocità del punto O₁, vettor O₁ - G.

Nel momento in cui riusciamo a calcolare un K’ con polo in qualche punto, il momento relativo, calcoliamo la sua relazione con il momento assoluto, aggiungendo questo termine, una volta che abbiamo il momento delle quantità di moto con polo in un punto O₁, poi possiamo ricavare quel momento assoluto rispetto a un qualunque altro polo, utilizzando queste formule.

È importante cercare di conoscere il momento relativo delle quantità di moto, se consideriamo un corpo rigido, perché se riusciamo a calcolare il momento delle quantità di moto di un corpo rigido, quello relativo, poi riusciamo, in maniera abbastanza semplice, a trasportare, nel momento assoluto e poi a trasportarlo rispetto a un qualunque altro polo.

Supponiamo di avere un sistema di riferimento fisso Oxyz, questo nero che abbiamo rappresentato qui. Supponiamo di avere un corpo rigido 𝒞, questo corpo arancio, e un suo punto O₁, cioè O₁ è un punto del corpo rigido. Con origine in questo punto O₁ del corpo rigido, consideriamo un sistema di riferimento O₁x’y’z’, questo sistema verde che è traslante. E poi, sempre con origine O₁, che è sempre un punto del corpo rigido, consideriamo un altro sistema di riferimento solidale al corpo rigido, questo che rappresentiamo in rosso. Vogliamo vedere una formula che non dimostreremo, che ci dà il momento delle quantità di moto relativo del corpo rigido 𝒞 con polo nel suo punto O₁, utilizzando gli elementi della matrice di inerzia del corpo rigido rispetto a questo osservatore solidale al corpo rigido e utilizzando le componenti del vettore velocità angolare del corpo rigido, che sono p, q ed r, quando le scriviamo rispetto a un sistema di riferimento solidale al corpo rigido. Sia ω il vettore velocità angolare del corpo rigido 𝒞, oppure del sistema di riferimento solidale O₁x₁y₁z₁, tanto è la stessa cosa.

E ω, scritto con le sue componenti rispetto al sistema di riferimento solidale, avrà componenti p, q ed r. Il momento relativo delle quantità di moto del corpo rigido con polo in O₁, cioè vuol dire il momento delle quantità di moto del corpo rigido misurato dall'osservatore verde, vale questa quantità. A per p, - A' per q, - B' per r, lungo il versore ī₁ + B per q - A’ per p - C’ per r, lungo il versore j₁, + l'ultima componente lungo k₁, C per r - B’ per p - C’ per q lungo il versore k₁. Quindi il momento relativo delle quantità di moto di un corpo rigido, con polo in un suo punto O₁ ha questa espressione dove p, q ed r sono le componenti del vettore velocità angolare del corpo rigido, mentre A, B, C, A’, B’ e C’, sono gli elementi della matrice di inerzia del corpo rigido al corpo rigido, rispetto all’osservatore solidale al corpo rigido, O₁x₁y₁z₁. Cioè A, B, C sono i momenti di inerzia del corpo rigido rispetto, rispettivamente, all'asse x₁, all'asse y₁ e all'asse z₁. A', B' e C' sono invece i momenti di deviazione.

Quindi se scriviamo la matrice di inerzia per ricordare com’è fatto questo K’ di O₁ senza ricavarlo, è facile ricordarselo perché K’ di O₁ lo possiamo vedere come il prodotto riga per colonne della matrice di inerzia, il corpo rigido rispetto al sistema di riferimento solidale, moltiplicato per il vettore colonna, che ha per componenti p, q ed r. Se facciamo prima riga per questa colonna, abbiamo A per p, - A’ per q, - B’ per r. Otteniamo questa componente che è quella lungo ī₁. La seconda componente lungo j₁ la otteniamo facendo la seconda riga per questa colonna, cioè - A’ per p, + B per q, - C’ per r. E analogamente per l'ultima. Se il sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁ è principale di inerzia, allora questo vuol dire che A’, B’ e C’ sono nulli e di conseguenza, il K' di O₁ avrà una forma semplificata, sarà A per p ī₁ + B per q j₁ + C per r k₁, dove appunto A, B e C saranno i momenti principali.

Poi supponiamo di aver trovato questo K' di O₁ per il corpo rigido, se vogliamo il momento assoluto delle quantità di moto per il corpo rigido, basta andare qui e lo otteniamo prendendo quello che abbiamo calcolato, sommando M per la velocità di O₁, vettor O₁ - G. Una volta calcolato il momento relativo delle quantità di moto per il corpo rigido, poi tutto diventa più semplice.

Se invece ci fosse solo un asse principale di inerzia, per esempio se solo O₁z₁ fosse un asse principale di inerzia, mentre gli non lo sono, come succede con i corpi rigidi piani che stanno o nel piano O₁x₁y₁, se solo O₁ z₁ è principale di inerzia, questo vuol dire che B’ e C’, di conseguenza il K' di O₁ diventa Ap - A’q lungo ī₁ + Bq - A’p lungo j₁ e infine Cr lungo k₁ e questa è una semplificazione di quello che succede con momento delle quantità di moto relativo per il corpo rigido. Queste ultime formule valgono solo per il corpo rigido.

Questo teorema ci permette di fare i calcoli in maniera più agevole sulle grandezze che abbiamo definito. Questo teorema dice che la quantità di moto Q di un qualunque sistema materiale di punti, quindi sia esso discreto, finito o discreto con infinità numerabile di punti, sia un corpo continuo, non importa. La quantità di moto di un qualunque sistema materiale è uguale alla quantità di moto del suo baricentro G, pensando concentrata in esso tutta la massa del sistema materiale, massa che possiamo indicare con M.

E quindi in formule questo teorema ci dice che la quantità di moto del sistema materiale di punti si può calcolare come M, massa totale del sistema, per la velocità del baricentro G.

Ci mettiamo nel caso in cui abbiamo un sistema materiale di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N, allora è M è la massa totale del sistema e vG è la velocità del baricentro G, misurata dall'osservatore Oxyz.

Vogliamo vedere se effettivamente la quantità di moto del sistema materiale di punti Ps, ms, si può scrivere come il prodotto della massa totale del sistema per la velocità del baricentro G.

Dalla definizione, dobbiamo fare la sommatoria per definizione di ms vs, questa per definizione è la quantità di moto del sistema materiale di punti. Se ho questo sistema materiale di punti e voglio scrivere la formula che mi dà il baricentro, so che il baricentro G soddisfa questa equazione, cioè G - O è la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms, Ps - O, tutto diviso per la massa totale del sistema, cioè la sommatoria in s degli ms. La sommatoria in s degli ms l'abbiamo indicata con M. E allora posso scrivere che M per G - O è la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms, Ps - O. Abbiamo preso questo, abbiamo moltiplicato membro a membro per M, si semplifica, si ottiene M per G - O uguale alla sommatoria in s degli ms.

Adesso faccio fare all'osservatore Oxyz la derivata di questi due vettori, cioè derivo membro a membro questa equazione e quindi avrò che la derivata fatta rispetto al tempo di M per G - O è uguale alla derivata temporale della sommatoria per s che va da 1 ad N di ms per Ps - O. In virtù delle proprietà della derivata, la massa non dipende dal tempo, avremo che M è la derivata di G - O fatta rispetto al tempo e al secondo membro, siccome la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate e inoltre queste masse sono  costanti, cioè indipendenti dal tempo, avrò che la sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms per la derivata fatta rispetto al tempo di Ps - O è uguale a questo termine. La derivata di G - O, fatta rispetto al tempo è il vettore velocità del baricentro G e analogamente la derivata di Ps - O, fatta rispetto al tempo, è la velocità del punto Ps. Quindi, leggendo questa uguaglianza, ho che m per vG è uguale alla sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs. Ma per definizione, la sommatoria in s di ms vs è la quantità di moto del sistema materiale di punti per definizione e quindi ho dimostrato che la quantità di moto di un qualunque sistema meccanico è uguale al prodotto della massa totale del sistema per la velocità del suo baricentro.

Quando si definisce una grandezza rispetto ad un punto, senza aver dato una definizione precisa, non si capisce che cosa si stia dicendo, perché le grandezze vengono misurate dagli osservatori. Quindi se voglio calcolare una grandezza come in questo caso la quantità di moto rispetto al baricentro, allora devo dire che cosa si intende.

Per quantità di moto rispetto al baricentro si intende il vettore che si indica con QG che è la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms v’s dove i v’s sono le velocità dei punti Ps, misurate da un osservatore con origine nel baricentro e traslante. Cioè il sistema di riferimento Gx'y'z' è un sistema di riferimento baricentrico e traslante, traslante rispetto al sistema di riferimento, quindi rispetto all'osservatore fisso Oxyz.

Quando andiamo a definire questa grandezza quantità di moto rispetto al baricentro, intendiamo una quantità di moto del sistema materiale rispetto ad un osservatore baricentrico e traslante. Supponiamo di avere sempre il nostro sistema materiale di punti e un sistema di riferimento fisso Oxyz e poi ci vuole un sistema di riferimento baricentrico e traslante. Quindi il sistema di riferimento Gx’y’z’ e poi c'è il sistema materiale di punti che si sta muovendo. Quello che è importante è che il sistema di riferimento G con origine nel baricentro, x’y’z’ è un sistema di riferimento traslante. Vogliamo vedere che cosa ci può servire questa quantità di moto rispetto al baricentro.

Questo teorema riguarda la stabilità delle configurazioni d'equilibrio nel caso dei sistemi meccanici conservativi. Ci mettiamo nell'ipotesi di considerare i sistemi meccanici conservativi.

Una configurazione di equilibrio interno C₀ per un sistema meccanico conservativo è stabile, oppure instabile se e solo se C₀ è un punto di massimo oppure un punto di minimo nel caso denunciato sia per l'instabilità, per la funzione potenziale U.

Le configurazioni di equilibrio interno per un sistema meccanico conservativo sono stabili se e solo se queste configurazioni sono punti di massimo per la funzione potenziale, sono instabili se sono punti di minimo.

Se scrivo il ΔL come l'integrale tra C₀ e C, fatto lungo la curva Γ del dL, il sistema meccanico conservativo fa sì che questo lavoro finito non dipenda più dalla traiettoria che congiunge C₀ con C, ma solo dalla configurazione finale e dalla configurazione iniziale. E siccome nella definizione di stabilità che abbiamo dato, vale il minore di 0, ΔL è minore di 0 per ogni C appartenente all'intorno di C₀, che deve esistere sulla base di quello che abbiamo dato nella definizione e quindi se leggiamo soltanto questa parte, esiste un intorno di C₀, tale che meno U(C₀) è minore di 0 per ogni C appartenente a ℐ(C₀), allora si vede che questa è la definizione di massimo.

Se io ho un sistema meccanico conservativo, in cui c'è soltanto la forza peso. Potrebbe essere il pendolo semplice, e supponiamo di prendere un sistema di riferimento Oxy in cui l’asse Oz è verticale ascendente, allora la funzione potenziale U sarà uguale per un sistema meccanico di massa M, - mg per la quota z del baricentro G; il potenziale è sempre definito a meno di una costante additiva, quindi M diciamo che sia la massa totale del sistema meccanico e invece zG la indichiamo come la quota, abbiamo scelto l'asse z verticale ascendente, la quota del baricentro G del sistema meccanico.

Il Teorema di Torricelli riguarda sistemi in queste condizioni.

L'energia cinetica di un qualunque sistema materiale di punti è data dalla somma di due termini: ½ M vG² + TG.

½ M vG² è l'energia cinetica del baricentro G, pensando concentrata in esso tutta la massa del sistema. Se pensiamo concentrata nel baricentro tutta la massa del sistema, dove la massa del sistema è M, sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms, supponendo che il nostro sistema materiale sia il sistema materiale di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N. E vG è la velocità del baricentro G misurata dall'osservatore Oxyz.

E poi c'è un termine, TG, che vale ½ sommatoria per s che va da 1 ad N di ms v’s², che rappresenta l'energia cinetica del sistema materiale rispetto al baricentro G. L'energia cinetica del sistema materiale, quindi del sistema di punti, cioè calcolare quella grandezza rispetto ad un osservatore baricentrico e traslante, che indicheremo con Gx’y’z’.

Senza l’ipotesi di osservatore baricentrico e traslante, il teorema di König non sta in piedi. Quindi per calcolare l'energia cinetica di un qualunque sistema di punti, possiamo fare la somma dell'energia cinetica che avrebbe il baricentro se pensiamo tutta la massa del sistema concentrato in esso, cioè ½, massa del sistema totale per la velocità del baricentro G al quadrato, più un termine TG che rappresenta l'energia cinetica rispetto al baricentro, cioè l’energia cinetica del sistema materiale di punti rispetto all'osservatore baricentrico e traslante Gx’y’z’.

Prendiamo il sistema di riferimento che è quello che vuole misurare l'energia cinetica. L'energia cinetica sarà misurata rispetto all'osservatore fisso Oxyz. Prendiamo il sistema di punti con i punti Ps. Supponiamo che il baricentro G sia uno di questi punti. Consideriamo il sistema di riferimento con origine in G e traslante, quindi Gx’y’z’ è l'osservatore, quindi il sistema di riferimento baricentrico e traslante, quello che sta nell’enunciato, che per scrivere il teorema di König ci deve sempre essere.

v’s è la velocità del punto Ps, misurata dall'osservatore Gx’y’z’.

Partiamo dalla definizione, l'energia cinetica di questo sistema materiale di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N vale ½, sommatoria in s di ms vs², con la vs misurata dall'osservatore fisso, che è quello che vuole misurare l'energia cinetica. vs è la velocità del generico punto Ps, misurata dall'osservatore fisso. Siccome però ci sono due sistemi di riferimento, uno fisso e uno traslante, possiamo utilizzare il teorema di composizione delle velocità che dice che la velocità assoluta del punto Ps è uguale alla velocità relativa del punto Ps + la velocità di trascinamento del punto Ps. v𝛕s è la velocità di trascinamento del punto Ps, cioè la velocità che il punto Ps avrebbe se pensato rigidamente connesso al sistema di riferimento mobile. In formule, la Ps è la velocità dell'origine del sistema di riferimento mobile + ω, che è la velocità angolare del sistema di riferimento mobile, vettor Ps - G. Ma siccome l’osservatore mobile è traslante, quanto vale la sua velocità angolare? Vale 0, perché Gx’y’z’ è un osservatore traslante e gli osservatori traslati hanno velocità angolare nulla. Questo termine non c'è e quindi qua rimane soltanto la velocità del baricentro G. Andando a sostituire quello che abbiamo scoperto, cioè al posto di v𝛕s ci andiamo a mettere vG, otterremo che la vs è uguale a v’s + la velocità del baricentro G. Possiamo continuare il nostro calcolo dell'energia cinetica T, che  per definizione vale questa formula e al posto di vs ci andiamo a mettere quello che abbiamo appena calcolato dal teorema di composizione delle velocità, quindi ½, la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms, qui ci mettiamo v’s + la vG, tutto al quadrato. Facciamo i calcoli, ½, la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms. Poi abbiamo la v’s² + la vG² e poi, siccome è un quadrato di una somma, ci va 2 volte la v’s scalare vG.

Proseguiamo nei calcoli, spezziamo le varie sommatorie, ½, la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms v’s² + ½, sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vG², +, allora ½ e 2 si elidono, rimane la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms v’s scalare vG.

Guardiamo questi 3 addendi con la sommatoria. Il primo addendo, ½  sommatoria per s che va da 1 ad N di ms v’s² per definizione è esattamente quello che abbiamo chiamato TG. Questo secondo addendo con la sommatoria ha vG² che è indipendente dall'indice s di sommatoria. Lo possiamo raccogliere a fattore comune, così come l’½ e scoprire che la sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms la possiamo indicare con M. E quindi avremo ½ M per vG². Infine rimane l'ultimo addendo con la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms v’s, scalare, vG. Nuovamente vG non dipende dall'indice s di sommatoria, quindi posso raccoglierlo a fattore comune e mettere una parentesi qui.

Nel primo fattore del prodotto scalare c'è sommatoria per s che va da  1 ad N di ms v’s. Questo è la quantità di moto rispetto al baricentro, la quantità di moto del sistema materiale di punti rispetto al baricentro e abbiamo dimostrato che la QG è sempre zero, cioè QG è la quantità di moto del sistema materiale rispetto al baricentro G. Questo prodotto scalare tra un vettore nullo e vG darà 0. E in questo modo abbiamo dimostrato, guardando la prima e l'ultima di questa catena di uguaglianze, che l'energia cinetica di un qualunque sistema materiale di punti rispetto ad un osservatore Oxyz vale l'energia cinetica rispetto al baricentro, la TG, + l'energia cinetica del baricentro, pensando concentrata in esso tutta la massa del sistema. Questo termine rappresenta l'energia cinetica di traslazione e questo l'energia cinetica di rotazione. Ma i termini corretti sono che TG è l'energia cinetica rispetto al baricentro e che ½ M vG² è l'energia cinetica del baricentro, pensando concentrata in esso tutta la massa del sistema.

Corollari

1. Quand’è che l'energia cinetica di un sistema materiale di punti si riduce alla sola energia cinetica del baricentro, pensando concentrata in esso tutta la massa? Vuol dire che la T deve essere uguale a solo questo termine, quindi vuol dire che TG deve essere nulla, e per come è definita, ½, sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms v’s², affinché TG si annulla, si devono annullare tutti i v’s. E questi v’s, se sono nulli, significa che il sistema materiale di punti sta traslando assieme al sistema di riferimento Gx’y’z’. Quindi se il sistema materiali di punti sta traslando, allora l'energia cinetica del sistema materiale coincide con la sola energia cinetica del baricentro.

2. Quand’è che l'energia cinetica coincide con la sola TG? Vuol dire che deve essere nullo questo termine ed è nullo se il baricentro G è un punto fisso. Quindi se il baricentro G è un punto fisso, allora l'energia cinetica del sistema di punti coincide con l'energia cinetica rispetto al baricentro.

Come si vede dalla definizione, il momento delle quantità di moto dipende da un polo, cioè viene definito attraverso un polo che abbiamo chiamato O₁. La prima proprietà è quella che lega il momento delle quantità di moto rispetto ad un polo O₁ al momento delle quantità di moto rispetto a un polo O₂.

Questa formula dice che il momento delle quantità di moto con polo nel punto O₁ è uguale al momento delle quantità di moto con polo in un altro punto O₂ + massa totale del sistema, questo M è la sommatoria per s che va da 1 ad N delle ms, moltiplicato per la velocità del baricentro G del sistema di punti misurata dall'osservatore Oxyz, che è quello che misura queste grandezze, vettor O₁ - O₂, cioè questo vettore che è la differenza tra i due poli che abbiamo scelto. Questa proprietà vale e la dimostriamo.

Parto dalla definizione di momento delle quantità di moto con polo in O₁, quindi questa è la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms,  vs vettor O₁ - Ps. Siccome vogliamo trovare la relazione che c'è tra K con polo in O₁ e K con polo in O₂, la cosa che mi viene naturale da fare è provare ad aggiungere e togliere il punto O₂ qui dentro. Avrò che la sommatoria per s che va da 1 ad N di  ms vs vettor O₁ - O₂ + O₂ - Ps. Non è cambiato nulla, è sempre la stessa di prima, perché ho aggiunto e tolto la stessa quantità. Adesso applichiamo la proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto alla somma e poi anche la proprietà associativa, quindi spezziamo nelle due sommatorie, sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs vettor O₁ - O₂ + la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs vettor O₂ - Ps. Concentriamoci per un attimo sulla seconda di queste due sommatorie.

Chi è la sommatoria in s di  ms vs vettor O₂ - Ps? Dalla definizione, sarebbe K di O₂. Quindi questo termine è esattamente K con polo in O₂. Adesso ci concertiamo sulla prima sommatoria, dove O₁ - O₂ non dipende dall'indice s di sommatoria, quindi posso raccogliere a fattor comune O₁ - O₂ e automaticamente riconosco che la sommatoria per s da 1 ad N di ms vs è la quantità di moto del sistema di punti, quindi dopo questo uguale avremo K di O₂, che è questo termine, + Q vettore O₁ - O₂.

La quantità di moto Q di un qualunque sistema materiale di punti si può scrivere come la massa totale del sistema per la velocità del baricentro G, perché la quantità di moto di un qualunque sistema di punti è uguale alla quantità di moto del baricentro, pensando concentrata in esso tutta la massa del sistema, allora in questo modo ho dimostrato la formula (*).

Casi particolari

• Come casi particolari di questa formula si hanno, se il baricentro G è un punto fisso, allora possiamo vedere che K di O₁ è uguale a K di O₂, qualunque sia O₁ e qualunque sia O₂.

• Un altro caso particolare si ha nella formula (*) se O₂ coincide con il baricentro e allora avremo che il momento K di O₁, momento delle quantità di moto con polo in O₁, è uguale al momento delle quantità di moto con polo in G + massa totale del sistema per la velocità del baricentro G, vettor O₁ - G.

Quello che abbiamo definito adesso è un momento delle quantità di moto calcolato con polo in O₁ in cui i vettori, le grandezze sono calcolate rispetto a un osservatore Oxyz fisso.

La definizione di energia cinetica per il punto materiale era già stata data, quindi quello che dobbiamo fare adesso è dare la definizione per i sistemi meccanici. Quindi partiamo dal caso del sistema meccanico discreto.

Si definisce energia cinetica di un sistema materiale di punti, discreto Ps, ms, per s che va da 1 ad N. Si definisce questa energia cinetica del sistema materiale rispetto all'osservatore Oxyz la grandezza scalare che indichiamo con T, come ½, la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs², dove vs è sempre la velocità del punto s-esimo calcolata dall'osservatore Oxyz.

Se supponiamo invece di avere un corpo continuo che possiamo indicare con 𝒞, allora l'energia cinetica sarà definita nello stesso modo in cui l'abbiamo definita per il sistema discreto di punti, dove però al posto della sommatoria ci sarà un integrale, quindi sarà ½, l'integrale sul continuo 𝒞 della densità di massa ρ(P) per la velocità del punto P generico al quadrato in d𝒞, il generico elemento infinitesimo di volume, di superficie o di lunghezza nel caso in cui il continuo sia tridimensionale, bidimensionale o unidimensionale, così come questo integrale, sarà un integrale triplo, doppio o semplice a seconda della dimensione del corpo continuo. La v(P) è la velocità del generico punto P, misurata da questo osservatore, quindi dP in dt, sempre misurata dall'osservatore in esame.

Data questa definizione della grandezza scalare energia cinetica, adesso siamo pronti a enunciare e dimostrare un teorema che si chiama teorema di König e che riguarda il calcolo dell'energia cinetica. Questo teorema è un teorema molto forte, perché si applica a qualunque sistema meccanico. Non ha delle condizioni di applicabilità molto restrittive, cioè vale per tutti i sistemi meccanici.

Supponiamo di avere questo corpo rigido che abbiamo rappresentato in arancio, quindi corpo rigido con questo asse fisso nero. Consideriamo un sistema di riferimento Oxyz con origine in O, che è un punto dell'asse fisso, e l'asse Oz lo prendiamo coincidente con quest'asse fisso. Poi consideriamo un sistema di riferimento con origine in O₁ coincidente con O, e solidale al corpo rigido, lo indichiamo con O₁x₁y₁z₁, in rosso, in cui l'asse O₁z₁ coincide con l'asse fisso e con Oz. Inoltre, prendiamo l'asse y₁ in modo tale che il baricentro G del corpo rigido appartenga al piano O₁y₁z₁. Se indichiamo con b la sua coordinata lungo l'asse y₁ e con h la sua coordinata lungo l'asse z₁, allora in questo sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁, queste sono le coordinate del vari centro, cioè 0, b, h. Quanti gradi di libertà ha questo problema? Corpo rigido con un asse fisso ha un grado di libertà e come parametro lagrangiano possiamo scegliere l'angolo ϑ che l'asse x₁ fisso nel corpo forma con l'asse x che è fisso nello spazio. Quindi l’angolo ϑ positivo in verso antiorario rappresenta il nostro parametro lagrangiano.

Adesso calcoliamo l'energia cinetica T. Questa volta l'energia cinetica la calcoliamo con il teorema di König e quindi ½ massa totale del sistema per la velocità di G al quadrato + la TG. Quindi l'energia cinetica di un qualunque sistema meccanico è la somma dell'energia cinetica del baricentro, pensando concentrata in esso tutta la massa del sistema, + l’energia cinetica rispetto al baricentro. Partiamo da questo primo termine, cioè dall'energia cinetica del baricentro. Per fare questo, dobbiamo scrivere come fatto il vettore G - O che poi andremo a derivare rispetto al tempo. Allora G - O vale b versore j₁ + h versore k₁. ī₁, j₁ e k₁ sono i versori fondamentali del sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁ solidale al corpo rigido. La vG, la velocità del baricentro G, è la derivata temporale del vettore G - O. Quando dobbiamo derivare questo vettore G - O dobbiamo vedere quali sono gli elementi che dipendono dal tempo. b e h, in virtù del fatto che il corpo è rigido e che il sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁ è solidale al corpo rigido, sono delle costanti.

Quindi b e h non dobbiamo derivarle. k₁ è il versore dell'asse fisso e quindi anche se non dipende dal tempo. Quindi l'unico termine che dipende dal tempo è j₁ per cui otterremo che b, derivata di j₁ fatta rispetto al tempo è il vettore velocità del baricentro. Poi ci ricordiamo che la derivata del versore j₁, fatta rispetto al tempo, per le formule di Poisson vale ω vettore j₁. ω è il vettore velocità angolare del corpo rigido, o, che è la stessa cosa, del sistema di riferimento a O₁x₁y₁z₁ solidale al corpo rigido. E allora questo ω sarà ϑ punto k, quindi b ϑ punto k₁ vettor j₁ e k₁ vettor j₁ fa - ī₁, quindi avremo - b ϑ punto ī₁, che è il vettore velocità del baricentro G. Quindi possiamo andarlo a sostituire nell'espressione della prima parte dell'energia cinetica, quindi ½ vG², cioè b² ϑ punto² + la TG. Adesso dobbiamo calcolare invece la TG. C'è una formula che ci dice che l'energia cinetica TG è per definizione l'energia cinetica del sistema materiale rispetto ad un osservatore baricentrico e traslante. Quindi se prendiamo un sistema di riferimento Gx’y’z’ con origine nel baricentro e traslante, cioè Gx’ è parallelo a Ox, Gy’ è parallelo a Oy, e Gz’ è parallelo all'asse z.

Rispetto a questo sistema di riferimento, la TG per il corpo rigido vale ½ Ap² + Bq² + Cr² - 2A’pq - 2B’pr - 2C’qr, dove questa è scritta rispetto a un sistema di riferimento che avrà l'origine in G e sarà un Gx₁y₁z₁ solidale al corpo rigido 𝒞. In questo sistema di riferimento, il vettore ω sarà un ϑ punto, sempre k o k₁, perché comunque l'asse che consideriamo Gz₁ sarà coincidente con Gz’ e allora avremo che p e q sono 0 e r invece vale ϑ punto. Se andiamo a riprendere questa formula, la formula dell'energia cinetica rispetto al baricentro, il sistema di riferimento è questo Gx₁y₁z₁, dove abbiamo preso z₁ che coincide con z’. Quindi p e q sono 0, r vale ϑ punto. Nella formuletta che abbiamo scritto qua, p non c'è, q non c'è, quindi tutti questi termini se ne vanno. E quindi la TG diventa ½ C r², dove C è il momento di inerzia del corpo rigido 𝒞 rispetto all'asse Gz₁ e R vale ϑ punto, quindi ϑ² punto. Quindi ½, momento di inerzia rispetto all'asse Gz₁ del corpo rigido per ϑ² punto. Allora questo TG lo possiamo andare a sostituire qui dentro e allora otterremo quanto vale l'energia cinetica. Quindi T vale ½ massa totale del sistema b² ϑ² punto + ½  il momento di inerzia rispetto all'asse Gz₁ per il corpo rigido 𝒞 per ϑ² punto. Qui possiamo raccogliere ½ e ϑ punto, quindi ½ Mb² + il momento di inerzia IGz₁ per il corpo rigido per ϑ² punto. Se andiamo a vedere chi è questa quantità tra parentesi, il momento di inerzia rispetto all'asse Gz₁ + massa totale del sistema per b², quindi il momento di inerzia rispetto a questo asse, perché z’ e z₁ coincidono, + massa per b². b² è la distanza al quadrato tra l'asse Gz₁ o Gz’ e l'asse fisso nel corpo. Quindi questo, per il teorema di Huygens, è il momento di inerzia del corpo rigido 𝒞 rispetto all'asse fisso che è l'asse di rotazione del corpo rigido. Quindi questo vale ½, il momento di inerzia rispetto all'asse fisso Oz per il corpo rigido per ϑ² punto e questo ci fornisce l'energia cinetica del corpo rigido con asse fisso.

Volendo si poteva calcolare l'energia cinetica T usando la definizione, ½, sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs². vs è la velocità del generico punto Ps del corpo rigido, che si sta muovendo con un asse fisso, quindi sta ruotando attorno a quest'asse fisso. Il punto Ps descriverà una circonferenza nel piano perpendicolare all'asse fisso e passante per Ps, circonferenza che ha raggio rs, dove rs rappresenta la distanza di Ps dal punto che sta sull'asse fisso, che è la proiezione di Ps sull'asse. Quindi Ps descrive questa circonferenza nel piano perpendicolare all'asse e passante per Ps e la descrive con una velocità angolare scalare che è esattamente ϑ punto. E allora abbiamo ½ sommatoria per s che va da 1 ad N di ms rs² ϑ² punto. ϑ² punto non dipende dall’indice s di sommatoria, di conseguenza possiamo raccoglierlo a fattor comune e vedere subito che la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms rs², dove gli rs sono queste distanze dei generici punti Ps   dall'asse fisso, questo è il momento di inerzia del corpo rigido 𝒞 rispetto all'asse di rotazione Oz e quindi abbiamo dimostrato che vale ½, momento di inerzia rispetto all’asse Oz del corpo  per ϑ² punto, cioè abbiamo ricavato di nuovo quello che avevamo trovato prima utilizzando il teorema di König.

Sempre per il corpo rigido con asse fisso, vediamo quanto vale il momento delle quantità di moto. Lo calcoliamo con polo in O, polo che è l'origine del sistema di riferimento fisso, oppure anche del sistema di riferimento mobile. È un punto dell'asse fisso e il momento assoluto K di O è uguale al momento relativo K’ di O. E quindi, ricordandoci quanto vale il momento K’ con polo in O oppure in O₁ e siccome nel nostro caso abbiamo che p e q sono nulli, questo termine e questo si annullano, e qui rimane - B r ī₁, poi si annullano questi due termini, rimane - C r j₁. Infine si annullano questi ultimi due termini e rimane C r k₁. Avremo - B’ ϑ punto versore ī ₁, - C’ ϑ punto, perché r è la componente ϑ punto, e poi abbiamo + C ϑ punto k₁, dove C è il momento di inerzia del corpo rigido 𝒞 rispetto all’asse Oz e questo quindi è esattamente il momento delle quantità di moto con polo nel punto O, che è un punto fisso.

Grazie al teorema di König, se siamo in grado di calcolarci per un certo sistema di punti la TG, poi sommare ad essa ½ M vG², è molto semplice e questo ci permette di calcolare l'energia cinetica senza utilizzare la definizione, o con l'integrale o con la sommatoria. C’è una formula che permette di calcolare l'energia cinetica al rispetto al baricentro, quindi la TG, per un corpo rigido.

Si ha un sistema di riferimento Oxyz e poi c'è il corpo rigido 𝒞, che può essere sia un continuo, sia un sistema discreto di punti, ma è un corpo rigido. Poi abbiamo il sistema di riferimento baricentrico e traslante, quello che abbiamo indicato con Gx’y’z’ e infine abbiamo un sistema di riferimento solidale al corpo rigido 𝒞 che si chiama Gx₁y₁z₁.

Oxyz è il sistema di riferimento fisso. Quindi i sistemi di riferimento sono tre. Tra il rosso e il corpo rigido non c'è moto relativo.

La formula è questa, ½ per Ap² + Bq + Cr - 2 Apq - 2 B’pr - 2 C’qr, dove p, q ed r sono le componenti del vettore ω, del vettore velocità angolare del corpo rigido 𝒞, scritte rispetto al sistema di riferimento solidale O₁x₁y₁z₁. A, B, C e A’ B’ C’, sono gli elementi della matrice di inerzia, quindi sempre A, B e C che stanno sulla diagonale, - A', - B', - C', la matrice è simmetrica, questa è la matrice di inerzia, calcolata rispetto al sistema di riferimento baricentrico e solidale, quindi Gx₁y₁z₁. In questo modo siamo in grado di avere la TG per un corpo rigido, utilizzando la matrice di inerzia dove A, B e C sono i momenti d’inerzia rispetto rispettivamente all'asse Gx₁, Gy₁ e Gz₁, A’, B’ e C’ sono i momenti di deviazione e questa è una matrice di elementi costanti, perché il sistema di riferimento rosso è solidale al corpo rigido.

Casi particolari

• Se il sistema di riferimento Gx₁y₁z₁ è principale di inerzia, cioè A’, B’ e C’ sono nulli. Allora la TG è ½ Ap² + Bq² + Cr² e quindi si semplifica.

• Se invece abbiamo che c'è un solo asse principale di inerzia, quindi se solo Gz₁ è principale di inerzia, la TG diventa ½ Ap² + Bq² + Cr² - 2 A’pq.

Una volta calcolata la TG, se vogliamo l'energia cinetica per esempio del corpo rigido, sarà rispetto a questo osservatore fisso, basta aggiungere a questa TG, ½, massa totale del corpo rigido per la velocità di 𝒞 al quadrato e quindi questo ci permette poi di avere l'energia cinetica del corpo rigido rispetto all'osservatore fisso.

Oggi ci occupiamo di studiare l'equilibrio di corpi rigidi vincolati con alcuni vincoli lisci più comuni.

Cominciamo con l'equilibrio di un corpo rigido con asse fisso. Questo corpo rigido 𝒞 nello spazio ha un asse fisso. Supponiamo che i vincoli siano lisci in tutti questi esempi che faremo da adesso in poi.

Supponiamo che sul corpo rigido agisca un sistema di forze che ci è dato soltanto attraverso i vettori caratteristici. Quindi un sistema di forze attive esterne che come vettore risultante ha Fe e come momento risultante ha Ωe(O), dove O lo prendiamo come un punto dell'asse fisso. Per studiare l'equilibrio dobbiamo fissare anche i sistemi di riferimento. Prendo un sistema di riferimento Oxyz fisso nello spazio, in cui l'asse Oz coincide con l'asse che è fisso nel corpo 𝒞. Questo è l'asse z, prendiamo come origine del sistema di riferimento quel punto rispetto al quale abbiamo il momento e poi fissiamo gli assi x e y del sistema di riferimento fisso.

Poi possiamo considerare anche un sistema di riferimento solidale al corpo rigido 𝒞, O₁x₁y₁z₁. L’origine la prendiamo coincidente con O, poi prendiamo l'asse O₁z₁ coincidente con Oz, quindi l'asse z₁ coincide con l'asse zeta e poi gli assi x₁ e y₁ saranno nel piano Oxy e saranno solidali al corpo rigido 𝒞 e quindi si muoveranno assieme al corpo. L'asse z₁ invece coincide con l'asse fisso nel corpo.

Quanti gradi di libertà ha questo problema? Questo problema ha un grado di libertà. 1 è il numero di gradi di libertà di un corpo rigido con asse fisso e come parametro lagrangiano possiamo assumere l'angolo ϑ che l'asse fisso nel corpo, che abbiamo indicato con x₁, forma con l'asse fisso nello spazio, che è l'asse x e prendiamo questo angolo positivo per una rotazione antioraria attorno all'asse fisso z.

Come possiamo fare per studiare l'equilibrio di questo corpo rigido con asse fisso? Abbiamo a disposizione tre metodi, il Principio dei lavori virtuali, Metodo del potenziale, Equazioni cardinali della statica. Dei tre metodi, gli unici che possiamo applicare sono il Principio dei lavori virtuali e le Equazioni cardinali della statica. Non possiamo applicare il metodo e il potenziale perché non abbiamo alcuna ipotesi sul sistema di forze attive che agisce sul corpo rigido, quindi non possiamo dire, attraverso Fe e Ωe(O) se questo sistema di forze attive sarà un sistema conservativo di forze attive oppure no. Quindi il Metodo del potenziale non lo possiamo usare. Allora useremo le Equazioni cardinali della statica e il Principio dei lavori virtuali.

Equazioni cardinali della statica

Partiamo dalle Equazioni cardinali della statica. Le equazioni cardinali della statica che scriviamo sono Fe + φe  = 0 e Ωe(O) + ѱe (O) = 0, sono una condizione necessaria per determinare l'equilibrio di un qualunque sistema meccanico. Diventano anche sufficienti se abbiamo un corpo rigido, e qui ci siamo, quindi l'ipotesi di corpo rigido c'è dall'inizio, e inoltre i vincoli sono perfetti. E siccome noi abbiamo supposto che i vincoli siano lisci in questo esempio, quindi questo asse fisso sia un vincolo liscio, allora possiamo usare le Equazioni cardinali della statica come condizione sufficiente.

Queste equazioni hanno come incognite i parametri lagrangiani, in questo caso ne abbiamo uno, e le reazioni vincolari scalari all'equilibrio. In un problema di equilibrio, affrontato con le Equazioni cardinali della statica, quando il numero di reazioni vincolari scalari è minore o uguale di 6 - n, allora il problema si dice staticamente determinato. Significa che, attraverso le equazioni cardinali della statica, siamo sempre in grado di ricavare n equazioni che non contengono le reazioni vincolari, per cui il problema dell'equilibrio quando le condizioni di applicabilità ci sono, quindi quando si ha un corpo rigido, soggetto a vincoli perfetti, il problema dell’equilibrio, quando le condizioni di applicabilità ci sono, quindi quando si ha  un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti, il problema dell’equilibrio è sempre risolubile. Quello che invece potrebbe dare problemi è la determinazione delle reazioni vincolari scalari all'equilibrio. Questo problema ammette soluzione unica soltanto se il sistema è staticamente determinato. 6 è il numero di equazioni scalari che si ottengono proiettando la prima equazione, ne otteniamo 3, la seconda equazione, ne otteniamo altre 3, quindi 6 equazioni ed n è il numero delle incognite che vengono dai parametri lagrangiani. Quindi nel nostro caso, il problema sarà staticamente determinato se abbiamo un numero di reazioni vincolari scalari, che è uguale a 5 o minore.

Se invece il numero di reazioni vincolari scalari è maggiore di 6 - n, che cosa succede? Se è maggiore di 6 - n, si dice che il sistema è iperstatico, cioè le configurazioni di equilibrio le determiniamo lo stesso, ma non siamo in grado di determinare univocamente le reazioni vincolari scalari all'equilibrio.

Nel nostro problema, cerchiamo di lavorare subito con il problema staticamente determinato, avendo però chiaro il fatto che se anche realizzassimo il vincolo di asse fisso in maniera iperstatica, cioè vincolassimo eccessivamente questo asse, riusciremmo lo stesso a determinare l’equazione dell’equazione.

Vediamo come si realizza il vincolo di asse fisso in maniera staticamente determinata. Il vincolo di asse fisso, per due punti passa una sola retta, quindi se prendessi il punto O₁ e lo fissassi lungo tutte le direzioni, cioè impedissi O₁ di spostarsi lungo l'asse x, lungo l'asse y e lungo l'asse z, quindi mettessi una reazione vincolare φ₁ di questo tipo, φ₁x ī + φ₁y j + φ₁z k, questa impedisce al punto O₁ che si sposti in tutte le direzioni, quindi avremo un corpo rigido con un punto fisso, ma io voglio un asse fisso, allora dovrei prendere il punto O₂ sull'asse, che si può trovare ad una distanza h dall'origine O o O₁ e impedire anche che O₂ subisca tutti gli spostamenti, quindi devo impedire gli spostamenti lungo l'asse x, lungo l'asse y e anche quelli lungo l'asse z. Fissando questi due punti, O₁ e O₂, e impedendo sia che O₁ si possa muovere in tutte le direzioni, ma anche O₂, ho realizzato un vincolo di asse fisso.

In questo caso le reazioni vincolari scalari sono 6 e quindi avrei un numero di reazioni vincolari scalari che è 6, che non è minore o uguale di 5, ma è maggiore e quindi così facendo io avrei un sistema iperstatico. Vuol dire che il vincolo di asse fisso l'ho realizzato, ma l'ho realizzato in maniera eccessiva, cioè non mi servivano tutte quelle reazioni vincolari scalari che c'ho messo. Non mi servivano, perché nel momento in cui fisso il punto O₁, fissare il punto O₂ lungo l'asse x mi serve, lungo l'asse y mi serve, ma fissare lo spostamento di O₂ lungo l'asse z, in virtù della rigidità del corpo rigido, non mi serve perché se O₂ è un punto dell'asse e quindi anche del corpo rigido, non si può spostare, in virtù della rigidità, lungo la direzione di z. Quindi questa componente non mi serve, è sovrabbondante, e allora calcolerò il mio problema avendo pensato di fissare il punto in O₁, quindi avendo pensato di fare una reazione vincolare di punto fisso in O₁ e in O₂ invece mettere un anello, un anello che è quello che vincola gli spostamenti in direzione nel piano perpendicolare all'asse z, quindi lungo x e lungo y e basta.

Occupiamoci adesso delle equazioni cardinali. Fe sarà un vettore che è dato e avrà le sue componenti Fex ī + Fey j + Fez k e il momento Ωe(O), che anche esso è dato da Ωex ī + Ωey j + Ωez k, quindi nelle equazioni cardinali della statica, questo vettore e questo hanno queste componenti scalari. Ci manca solo da calcolare φe, ma è facile, è φ₁ + φ₂. E allora ci rimane soltanto ѱe(O). Come si calcola il momento delle reazioni vincolari esterne, che sono O₁, φ₁, O₂, φ₂? Si calcola come φ₁ vettor (O - O₁), ma siccome O e O₁ li abbiamo presi coincidenti, questo è 0, il punto d'applicazione coincide con il polo e di conseguenza questo termine non dà contributo. Invece la φ₂ la scriviamo già con le sue componenti φ₂x ī + φ₂y j, vettor O - O₂ darà il suo contributo e siccome O è il punto di coordinate 0, 0, 0, O₂ è il punto di coordinate 0, 0, h, quando faccio O - O₂ ottengo - hk. Facciamo i prodotti vettoriali; ī vettor k fa -j, -j per - fa +, quindi φ₂x h, vettore j. Adesso faccio j vettor k, che fa ī, davanti c’è un -, quindi c’è un - φ₂y h, vettore ī. Adesso abbiamo tutto quello che ci serve per scrivere la nostra equazione, perché la Fe è esattamente questo in giallo e poi c'è la φe, che comprende questo vettore e questo in verde e poi c'è Ωe(O) che è questo vettore in azzurro e infine la ѱe(O) che ha questo vettore in rosa. Sommiamo il giallo e il verde e li proiettiamo lungo le tre direzioni scalari.

Poi dobbiamo mettere assieme il vettore azzurro e quello rosa. Queste sono le equazioni cardinali della statica, che adesso proietteremo ciascuna lungo le tre direzioni scalari, quindi la prima lungo ī, lungo j  e lungo k. La seconda lungo ī, j e k. Per questo ci dovevano essere 6 equazioni, perché avevano 3 da questa e 3 da questa.

Andiamo a proiettare prima lungo ī, Fex + φ₁x + φ₂x = 0. Poi Fey + φ₁y + φ₂y = 0 e poi abbiamo Fez + φ e basta, questo uguale a 0. Andiamo alla seconda equazione che proiettiamo lungo ī, lungo j e lungo k. Quindi Ωex, perché c'è questo contributo e questo, quindi - φ₂y h, questo è uguale a zero. E poi abbiamo Ωey, ci mettiamo quella lungo j e quest'altra lungo j + φ₂x h = 0, e infine abbiamo Ωez = 0. Abbiamo ottenuto un sistema di sei equazioni nelle sei incognite. Le sei incognite sono ϑ, poi c'è φ₁x, φ₁y, φ₁z, φ₂x, φ₂y. L'equazione dell'equilibrio è quella che non contiene le reazioni vincolari, la sesta, Ωez che è funzione di ϑ = 0. Questa è l'equazione dell'equilibrio. Questa equazione, come equazione dell'equilibrio, l'avremmo ottenuta comunque anche in presenza di un sistema iperstatico. Se io ci avessi aggiunto qui la φ₂z k, quando vado a moltiplicare k, vettor k, questa non dà contributo alla ѱe(O).

Quindi se io qui avessi avuto anche la φ₂z k, è vero che la φ₂z l'avrei avuta qui, quindi non sarei riuscita a determinare univocamente le reazioni vincolari scalari, ma l'equazione dell'equilibrio si ottiene comunque. Poi questa equazione si risolve e tutte le ϑ* per le quali Ωez è uguale a 0, sono configurazioni di equilibrio. Si può ricavare dalla quinta equazione, la φ₂x, che vale - Ωey diviso h e questa va calcolata in ϑ*. Dalla quarta equazione, si ricava la φ₂y che invece vale Ωex, calcolata nella ϑ* e divisa per h. Poi dalla terza equazione si ricava φ₁z, che è uguale a - Fez. Se ci sono 6 configurazioni di equilibrio, ciascuna di queste φ va calcolata nella opportuna configurazione. Infine avremo che φ₁y, dalla seconda, vale - φ₂y, dove la φ₂y è questa, quindi vale - Ωex, in ϑ*, diviso h, - Fey, sempre calcolata nella ϑ* e la prima equazione mi dà φ₁x, che calcoleremo sempre nella configurazione ϑ*, quindi sarà la - φ₂x, quindi Ωey di ϑ*, diviso h - Fex, calcolata in ϑ* e in questo modo abbiamo risolto il problema, che staticamente determinato, quindi siamo riusciti ad arrivare non solo alla determinazione delle configurazioni di equilibrio, che quelle le avremmo calcolate comunque, ma anche a determinare le 5 reazioni vincolari scalari nelle configurazioni di equilibrio.

Principio dei lavori virtuali

Abbiamo utilizzato le Equazioni cardinali della statica e adesso invece andiamo a utilizzare il Principio dei lavori virtuali per risolvere sempre questo problema.

Bisogna scrivere il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive, che agiscono sul corpo rigido, che conosciamo solo attraverso i vettori caratteristici. Siccome questo è un corpo rigido, ci ricordiamo come si scrive il δL, cioè il lavoro virtuale di un sistema di forze applicate ai punti di un corpo rigido. Fe scalare δO₁ + Ωe con polo in O₁, scalare aδϑ. Questi δO₁ e aδϑ sono quelli che danno lo spostamento virtuale δC del corpo rigido che è dato da una generica traslazione del punto O₁, δO₁ e una generica rotazione O₁, aδϑ, quindi attorno all'asse O₁ a d’istantanea rotazione e di ampiezza δϑ. Questo δL, per il principio dei lavori virtuali, deve essere minore o uguale di zero per ogni δC a partire da C₀. Gli spostamenti virtuali δC a partire da C₀ devono essere spostamenti virtuali, quindi compatibili con i vincoli supposti fissi all’istante considerato, ma tanto il vincolo è fisso, è scleronomo, così come dev’essere in statica e quindi il problema non si pone.

Il punto O₁ è questo, prendiamo l’origine, possiamo fare una traslazione infinitesima di O₁? No, perché O₁, siccome deve essere compatibile con il vincolo che è di asse fisso, O₁ è un punto fisso. Quindi non possiamo scegliere nessuna traslazione, questa sarà per forza uguale a 0. Se dev’essere compatibile con i vincoli, l'unica possibilità che abbiamo è quella di una rotazione attorno all'asse O₁ e non attorno a un asse qualunque, di versore a, ma a dev’essere di versore k, quindi come si declina il nostro δC? Sarà una rotazione infinitesima attorno all'asse O₁, k e di ampiezza δϑ. E questa è sicuramente invertibile, perché così come c'è il + δϑ, c'è anche la rotazione opposta - δϑ. Ma se prendiamo gli spostamenti virtuali invertibili, allora il δL vale con segno di uguaglianza. Quindi avremo che Fe scalare δO₁, con δO₁ uguale a 0, questo non dà contributo, rimane solo Ωe con polo in O₁, scalare k δϑ e questo deve essere uguale a 0, qualunque sia lo spostamento virtuale. Questo è k, deve essere fissato, questo è O₁ ed è fissato, l'unica cosa che varia è δϑ, quindi per ogni δϑ diverso da 0. Avremo che δL sarà uguale ad Ωex ī + Ωey j + Ωez k, scalare δϑ k, sempre uguale a 0 per ogni δϑ diverso dal 0 e da questi prodotti scalari, ī scalare k fa 0, j scalare k fa 0, k scalare k fa 1. Ωez per δϑ, che dev'essere uguale a 0 per ogni δϑ non nullo e questo, se deve essere questo prodotto uguale a 0, qualunque sia questo diverso da 0, implica Ωez, che sappiamo essere una funzione di ϑ, uguale a 0. E in questo modo, abbiamo riottenuto l'equazione dell'equilibrio che avevamo ricavato qui con le equazioni cardinali della statica, Ωez di ϑ = 0 l'abbiamo ottenuta con il Principio dei lavori virtuali, con molti meno passaggi.

Metodo dello svincolamento

Per vedere a livello esemplificativo come si può utilizzare il Principio dei lavori virtuali anche per la determinazione delle reazioni vincolari scalari, ancorché non sia nato per questo utilizzo. Come si fa a utilizzare il Principio dei lavori virtuali per determinare le reazioni vincolari scalari all’equilibrio? Si liberano i vincoli ad uno ad uno; i vincoli vanno liberati ad uno ad uno e sostituiti con le opportune reazioni vincolari. Per esempio, prendiamo il vincolo in O₂, che sappiamo essere questo, ci mettiamo l'opportuna reazione vincolare e mettiamo questa reazione vincolare assieme alle forze attive. E poi ricalcoliamo di nuovo il Principio dei lavori virtuali, tenendo presente che, avendo liberato questo vincolo, adesso è come se avessimo un corpo rigido con solo un punto fisso.

Prendo il sistema di forze attive che ha vettore risultante Fe, momento risultante Ωe(O) e ad essi aggiungo la reazione vincolare, la considero come se fosse una forza attiva, perché ho liberato il vincolo in O₂ e l'ho sostituito con l'opportuna reazione vincolare.

Adesso scrivo il δL, che sarà Fe + φ₂, δO₁ + Ωe(O) e poi ci devo mettere il momento della reazione vincolare, quindi quello che avevo già calcolato qui, la ѱe(O), c'è il contributo che è questo, quindi φ₂x h j - φ₂y h ī, scalare a δϑ. Qui gli spostamenti virtuali sono tutti invertibili, quindi il Principio dei lavori virtuali vale sempre con il segno di uguaglianza, per ogni δC che sarà dato da O₁, quindi la traslazione infinitesima e dalla rotazione infinitesima attorno all'asse di istantanea rotazione O₁ a e di ampiezza δϑ. Ora che abbiamo liberato il vincolo qui in O₂ e mi è rimasto solo il punto fisso O₁, la traslazione infinitesima del punto O₁ non la posso fare, ma la rotazione infinitesima attorno ad un qualunque asse che passa per O₁, visto che ora il punto O₂ è svincolato, la posso fare, quindi l'asse d’istantanea rotazione, δO₁ è comunque 0 e non la consideriamo, ma negli spostamenti infinitesimi compatibili coi vincoli che mi sono rimasti c'è una qualunque rotazione attorno all'asse O₁a e di ampiezza δϑ. Il δL diventa, questo termine non c’è, perché il δO₁ è 0.

È rimasto soltanto Ωe(O) + φ₂x h j - φ₂y h ī e questo scalare a δϑ che deve essere uguale a 0, qualunque sia a e qualunque sia δϑ non nullo, perché ciò che è variabile non è soltanto δϑ, ma è anche a. Se un prodotto scalare tra due vettori deve essere 0, qualunque sia il secondo vettore, questo implica che sia questo vettore a dover essere uguale a zero. Dire che questo vettore deve essere uguale a zero, implica di nuovo le equazioni che abbiamo chiamato 4, 5 e 6, nelle equazioni cardinali della statica. Per terminare il metodo dello svincolamento e determinare anche le altre tre equazioni che ci servono, la 1, la 2, la 3. La 6 la riotteniamo di nuovo, perché comunque l'Ωez uguale a 0 ce l'abbiamo ancora. E invece per ottenere le equazioni 1, 2, 3 libero anche il vincolo nel punto O₁ e quindi in O₁ ho liberato un punto con una reazione vincolare che è data da φ₁x ī + φ₁y y + φ₁z k.

Ho anche sempre che ho anche sempre Fe, Ωe(O) e la reazione vincolare in O₂ che avevo prima, la φ₂x ī + φ₂y y + φ₂z. Adesso le metto tutte assieme, solo che questa volta ho un corpo rigido libero, perché ho tolto tutti i vincoli e li ho sostituiti con le reazioni vincolari.

Quando scrivo il δL, sarà dato da Fe + φ₁ + φ₂, scalare δO₁  e poi c'è + Ωe(O), + la reazione vincolare in O₁, quando il polo è proprio nello stesso punto, non dà contributo, quindi c'è di nuovo il φ₂x h j - φ₂y h ī, scalare a δϑ. Gli spostamenti virtuali anche in questo caso sono tutti invertibili, questo è uguale a 0 per ogni δC.

Quale sarà il δC che prendo questa volta? Ho un corpo rigido libero, come δC mi conviene prendere la traslazione infinitesima δO₁ che sarà fatta da un generico δx ī + δy j + δz k. Quindi la rotazione la prendo nulla, quindi questo termine se ne va, non c'è, perché prendo solo una traslazione infinitesima. Quindi avrò δL = Fe + φ₁ + φ₂, scalare δx ī + δy j + δz k, che deve essere uguale a 0, qualunque sia il δO₁. Allora questo implica che, dovendo essere questo prodotto scalare tra due vettori di cui 1 deve essere qualunque, deve essere uguale a zero il primo fattore, quindi si ottengono le equazioni 1, 2, 3, cioè queste. Si riottengono quelle che abbiamo ottenuto prima. Quindi in questo modo abbiamo visto come si risolve il problema dell'equilibrio per il corpo rigido con asse fisso.

Diamo la definizione di momento, in questo caso per il punto materiale, lo chiameremo momento della quantità di moto, perché c'è un punto solo.

Dato un punto materiale P di massa m, si definisce il momento della quantità di moto del punto materiale con polo del punto O₁, il prodotto vettoriale della quantità di moto del punto P, vettor O₁ - il punto P. O₁ è il polo,  è un punto qualunque dello spazio rispetto al quale si va a calcolare questo momento della quantità di moto.

v è il vettore velocità del punto P, misurato rispetto ad un osservatore Oxyz, che è l'osservatore che sta misurando queste grandezze.

Se anziché avere un punto materiale solo, abbiamo un sistema materiale di punti, quindi un insieme di punti Ps di massa ms, con s che va da 1 a N, il momento delle quantità di moto con polo in O₁, che indichiamo con K di O₁ è la somma del momento delle quantità di moto dei singoli punti, quindi sommatoria per s che va da 1 ad N di ms, massa del punto Ps per il vettore velocità del punto Ps, misurato sempre dall'osservatore Oxyz vettor polo O₁ - Ps, punto del sistema materiale.

Se per caso, anziché avere un sistema materiale discreto di punti come in questo caso, oppure un’infinità numerabile, si avrebbe la sommatoria per s che vada 1 ad infinito, quindi la sommatoria diventerebbe una serie, se avessimo un continuo di punti materiali, allora la definizione di momento delle quantità di moto con polo in O₁, sarebbe dello stesso tipo di questa, con al posto della sommatoria, l'integrale, come avviene in tutte le definizioni che abbiamo dato.

Questa definizione è funzionale a quello che introdurremo tra poco, cioè il secondo dei metodi per lo studio dell'equilibrio, che è il Metodo del potenziale. Ricordiamo la definizione di sistema meccanico conservativo, quindi un sistema meccanico, quindi un sistema materiale, soggetto ad un certo sistema di forze attive di reazioni vincolari si dice conservativo se è:

• Olonomo

• Scleronomo

• A vincoli perfetti

• Soggetto ad un sistema conservativo di forze attive. Le forze attive devono essere tutte posizionali, inoltre deve esistere una funzione potenziale tale che o il δL è uguale ad dU, o le Qk sono le derivate parziali prime della funzione potenziale per k che va da 1 ad n.

Avremo un sistema di riferimento Oxyz e questo corpo rigido 𝒞, che abbiamo disegnato in arancio, che si sta muovendo con velocità v. Questo è l'unico caso in cui ha senso parlare di velocità del corpo rigido. Quando abbiamo parlato della velocità dei punti di un corpo rigido, il corpo rigido è formato da tanti punti, ciascun punto ha la propria velocità, quindi non ha senso parlare di una velocità comune del corpo rigido, quando il corpo rigido è formato da più di due punti e quindi ciascuno avrà la propria velocità. Ma nel caso in cui il corpo rigido stia traslando, allora tutti i punti hanno la stessa velocità e quindi si può parlare della velocità del corpo rigido. Consideriamo un sistema materiale che sia appunto un corpo rigido di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N. Scriviamo come è fatta l'energia cinetica, quindi per calcolare T usiamo la definizione e diciamo che T vale la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs², dove i vs² sono le velocità dei punti del corpo rigido. Siccome in questo caso il corpo rigido sta traslando con velocità v, tutti i punti hanno la stessa velocità e quindi al posto dei vs metteremo v². Siccome poi questo v non dipende dall'indice s di sommatoria, lo possiamo raccogliere a fattor comune e la sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms la indichiamo con M, di conseguenza ½, massa totale del sistema per il vettore velocità v² è l’energia cinetica del corpo rigido traslante con velocità v, quindi come se fosse un unico punto di massa M e velocità v.

Adesso vediamo invece come si calcola il momento delle quantità di moto del corpo rigido, supponiamo per esempio rispetto a un polo O₁ qualunque. In virtù della formula che abbiamo dimostrato e ricavato, che lega i momenti delle quantità di moto rispetto a poli distinti, colleghiamo il momento delle quantità di moto con polo in O₁, al momento delle quantità di moto con polo in G e diciamo che K di O₁ è uguale a K di G + la massa totale del sistema per la velocità del baricentro vettor O₁ - G. Perché abbiamo scelto proprio K di G? Sappiamo che il momento delle quantità di voto assoluto per il corpo rigido con polo in G, non solo per il corpo rigido, per tutti i sistemi, il momento assoluto delle quantità di moto con polo in G è uguale al momento relativo delle quantità di moto con polo in G. E siccome il corpo rigido in questione sta traslando con velocità v, il fatto che stia traslando ci dice che ω, il vettore velocità angolare, è 0, in quanto il corpo rigido 𝒞 trasla e quindi le velocità, quelle che entrano in gioco nella definizione del momento relativo delle quantità di moto, cioè le v’s, sono tutte 0, sono tutti i vettori nulli e di conseguenza K’(G) è 0, quindi anche il K(G) è 0, questo termine si annulla, di conseguenza K di O₁ sarà dato da M, massa totale del sistema per v, perché anche il baricentro avrà la stessa velocità di tutti gli altri punti, cioè v, vettor O₁ - G. In questo modo abbiamo calcolato anche il momento delle quantità di moto del corpo rigido traslante con velocità v, M per v, vettor O₁ - G.

Questa parte non sarà richiesta in sede d’esame. Vediamo solo come si scrive l’energia cinetica per il corpo rigido con un punto fisso. Consideriamo il corpo rigido che abbiamo rappresentato in arancio che ha un punto fisso O₁. Prendiamo un sistema di riferimento fisso con origine in O₁, quindi O₁xyz, e poi prendiamo un sistema di riferimento solidale al corpo rigido, sempre con origine in O₁, che indicheremo con O₁x₁y₁z₁. Il corpo rigido con un punto fisso ha 3 gradi di libertà e come parametri lagrangiani possiamo scegliere gli angoli di Eulero, quindi ѱ, 𝜑 e ϑ. Supponiamo inoltre che questo sistema di riferimento solidale sia principale d’inerzia e quindi che i momenti di deviazione A’, B’ e C' ci primo siano nulli.

Ricordandoci l'espressione dell'energia cinetica che avevamo calcolato per la TG, siccome O₁ è un punto fisso, si può scrivere un'espressione analoga a quella che avevamo visto qui per la TG, dove però ci si è riferiti non al baricentro, ma a un punto fisso. Nel nostro caso A’, B’ e C’ sono nulli, quindi resta soltanto questa prima parte, dove p, q ed r sono le componenti del vettore velocità angolare rispetto al sistema di riferimento solidale e p, q ed r saranno legati ai parametri lagrangiani ѱ, 𝜑 e ϑ da queste relazioni.

Infine, siccome O₁ è un punto fisso, il momento delle quantità di moto assoluto coincide con il momento relativo delle quantità di moto e quindi, tenendo presente che la terna che abbiamo scelto è principale d’inerzia, questa sarà l'espressione del momento delle quantità di moto assoluto, con polo in O₁, che coincide con il momento relativo delle quantità di moto. E questa invece era l'energia cinetica.

Un altro esempio è il caso del corpo rigido piano in moto nel suo piano, piano che indichiamo con Oxy. Quindi il corpo rigido 𝒞 è questo che abbiamo indicato in arancio. Si sta muovendo nel piano Oxy che è un piano fisso. E allora consideriamo un sistema di riferimento Oxyz in cui l’asse z sia perpendicolare a questo piano, nel quale si muove il corpo rigido. Ora consideriamo un secondo sistema di riferimento che ha origine nel baricentro G, quindi Gx’y’z' e che si ha traslante. Quindi l'asse Gz’ è parallelo, istante per istante, all'asse O,z e così Gx’ è parallelo ad Ox, Gy’ è parallelo ad Oy. Poi consideriamo un altro sistema di riferimento solidale al corpo rigido, Gx₁y₁z₁, quindi con origine in G, l'asse Gz₁ lo prendiamo coincidente con l'asse Gz' e a questo punto possiamo vedere che questo problema ha 3 gradi di libertà. Possiamo scegliere come parametri lagrangiani la x del baricentro G, come secondo parametro la y del baricentro G, come terzo parametro l'angolo ϑ di rotazione, che l'asse fisso nel corpo, l'asse x₁, forma con l'asse traslante Gx’. Quindi tre sono i gradi di libertà, e adesso vediamo di calcolare l'energia cinetica.

Usiamo il teorema di König, ½, massa totale del sistema, per la velocità di G al quadrato, quindi l'energia cinetica del baricentro, più la TG, cioè più l'energia cinetica rispetto al baricentro. Partiamo dal calcolo della vG, quindi avremo che G - O è xG versore ī + yG versore j. Quando dobbiamo calcolare la velocità di G, il vettore velocità sarà xG versore ī + yG versore j. La velocità di G al quadrato sarà xG² + yG². Quindi qui avremo ½,  massa totale del sistema, per la xG² punto + la yG² punto + più la TG. Dobbiamo calcolare quanto vale la TG. L'energia cinetica rispetto al baricentro è l'energia cinetica che il corpo rigido 𝒞 ha rispetto ad un sistema di riferimento baricentrico e traslante, quindi rispetto a questo sistema di riferimento Gx’y’z’ e volendo usare la formula per l'energia cinetica del corpo rigido scritta con la matrice di inerzia e le componenti del vettore velocità angolare ω, possiamo dire che vale ½ A p ² + B q² + C r² - 2A’ pq - 2B’ pr - 2 C’qr. Siccome il vettore velocità angolare ω si scrive come p ī₁ + q j₁ + r k₁. Nel nostro caso, il vettore velocità angolare ω vale ϑ punto K o K₁, quindi p e q sono 0 e r vale ϑ punto. In questo caso, Gz₁ è un asse principale di inerzia perché il corpo rigido è piano e l'asse Gz₁ è perpendicolare al corpo rigido e al piano a cui appartiene il corpo rigido. Di conseguenza B’ e C’ sono nulli. Pertanto, questi termini non ci saranno, sono tutti nulli e l'energia cinetica TG varrà ½, C è il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all'asse Gz₁ e r vale ϑ punto, quindi ϑ² punto.

Allo stesso risultato potevamo arrivare pensando al significato fisico e vedere che il corpo rigido 𝒞 rispetto al sistema di riferimento Gx’y’z’, istante per istante, ruota con velocità angolare ϑ punto k, attorno a quest'asse che risulta fisso in questo moto, rispetto al sistema di riferimento verde. Di conseguenza, la TG sarebbe l'energia cinetica di un corpo rigido con asse Gz₁ o Gz’ fisso, e quindi, come abbiamo visto nel caso precedente dell'energia cinetica per un corpo rigido con asse fisso, l'espressione è questa. Quindi l'energia cinetica del corpo rigido piano in moto nel suo piano vale ½ M xG² punto + yG² punto + ½, momento di inerzia rispetto all'asse Gz₁ per il corpo rigido 𝒞 per ϑ² punto.

Adesso ci resta da calcolare il momento delle quantità di moto. Lo possiamo calcolare con polo in O. K di O lo scriviamo come K di G più massa totale del sistema per vG vettor O - G. Il momento assoluto con polo in G è uguale al momento relativo con polo in G. E per il momento relativo abbiamo una formula che ci permette di calcolare in maniera semplice il momento relativo, utilizzando la matrice di inerzia e le componenti del vettore ω. Quindi nel nostro caso, in virtù del fatto che B’ e C’ sono 0 e che p e q sono 0, rimane soltanto r che vale ϑ punto, K' di G vale C, cioè il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse Gz₁ per il vettore velocità ω che è ϑ punto k. Quindi andando a sostituire questa espressione qui dentro, vG ce l'abbiamo perché l'abbiamo calcolata qui sopra, il vettore O - G è questo vettore cambiato di segno, si fanno i calcoli e si ottiene l'espressione di K di O.

Oggi vedremo quali sono gli strumenti per studiare il moto dei sistemi meccanici. Se si ha un punto materiale, per studiare il moto di un punto materiale, soggetto a un certo sistema di forze attive e di reazioni vincolari, quindi vincolato in un qualche modo, c'è la legge di Newton, che abbiamo visto valere rispetto ad un qualunque osservatore. Ma cosa succede quando invece di punti non ce n'è sono solo, ma siamo in presenza di un sistema meccanico, quindi di un sistema materiale di punti, soggetto ad un generico sistema di forze attive esterne e interne e vincolato con un opportuno sistema di reazioni vincolari esterne e reazioni vincolari interne? Questo è un generico sistema meccanico, supponiamo che sia ad n gradi di libertà, con parametri lagrangiani q₁, …, qn.

Potremo usare la legge di Newton, ma la legge di Newton scritta per ciascuno di questi punti, per ciascun punto Ps, ms. Quindi attraverso poi una rielaborazione di queste leggi di Newton, arriviamo a formulare le equazioni cardinali della dinamica per studiare il moto dei sistemi meccanici. L'altro metodo sarà dato dalle equazioni di Lagrange. Ci mettiamo nell'ipotesi di avere questo generico sistema meccanico. Se il sistema meccanico è in moto, ciascun punto si muoverà obbedendo alla legge di Newton. Quindi ms as, dove as è l'accelerazione del generico punto Ps, sarà uguale ad Fes, vettore risultante delle forze attive esterne, + Fis, vettore risultante delle forze attive interne + φes, vettore risultante delle reazioni vincolari esterne, + φis, vettore risultante delle reazioni vincolari interne. Questa è la legge di Newton scritta per l’s-esimo punto e s viaggerà tra 1 e N. Siccome il primo membro di questa legge di Newton ha il prodotto della massa, per l'accelerazione as. L'accelerazione per definizione è la derivata del vettore vs fatta rispetto al tempo e quindi ms dvs in dt è ms as. La massa del punto Ps è costante, quindi si può portare dentro al segno di derivata e quindi avrò che la derivata di ms vs fatta rispetto al tempo è proprio uguale a questo prodotto. ms vs è la quantità di moto del punto Ps. Ecco allora che leggendo la prima e l'ultima di questa catena di uguaglianze, otteniamo che dQs in dt è uguale ad Fes + Fis + φes + φis e di queste equazioni ne abbiamo sempre una per ogni punto materiale, quindi s va da 1 ad N.

Adesso sommo tutte queste equazioni membro a membro. Quindi faccio la somma membro a membro di queste n grande equazioni. La sommatoria per s che va da 1 ad N delle derivate di Qs fatte rispetto al tempo, sarà uguale alla sommatoria per s che va da 1 ad N di Fes + Fis + φes + φis. Al primo membro abbiamo una somma di derivate e la somma di derivate è uguale alla derivata della somma, quindi la derivata temporale della sommatoria in s dQs e questo sarà uguale, adesso applichiamo la proprietà associativa, sommatoria per s che va da 1 ad N di Fes + la sommatoria per s che va da 1 ad N di Fis + la sommatoria per s che va da 1 ad N di φes + la sommatoria per s che va da 1 ad N di φis. Al primo membro, questa quantità tra parentesi, la sommatoria che va da 1 ad N dei Qs, cioè degli ms vs è la quantità di moto e quindi avrò che la derivata della quantità di moto del sistema meccanico è uguale alla sommatoria in s degli Fes è il vettore risultante delle forze attive esterne. Poi c'è il vettore risultante delle forze attive interne, questa sommatoria in s degli Fis. Questo è il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne e infine questo è il vettore risultante delle reazioni vincolari interne.

Il vettore risultante delle forze attive interne, così come il vettore risultante delle reazioni vincolari interne, sono zero per il principio di azione e reazione. Infatti, per il principio di azione e reazione, le forze di tipo interno siano esse forze attive o reazioni vincolari, compaiono a due a due come coppie di braccio nullo e come tali avranno nulli il vettore risultante. Quindi questo è 0 e anche questo è 0. Non è che questo è 0, perché sommiamo dei vettori nulli. Questi sono diversi da 0, anche questi, ma a due a due questi Fis compaiono come coppie di braccio nullo e quindi quando si sommano danno come risultato 0.

Otteniamo che la derivata temporale della quantità di moto di un qualunque sistema meccanico è uguale ad Fe + φe. Questa che abbiamo scritto è la prima equazione cardinale della dinamica nella prima formulazione. E questa è nota anche con il nome di teorema della quantità di moto.

Quindi questa equazione, che è la prima equazione cardinale della dinamica nella prima formulazione, ci dice che la derivata temporale della quantità di moto di un qualunque sistema meccanico è uguale al vettore risultante delle forze attive esterne + il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne.

Questo teorema ci dice che la quantità di moto rispetto al baricentro, quindi quella che abbiamo chiamato QG, di un qualunque sistema materiale è sempre 0, cioè il vettore nullo.

Dimostrazione

Supponiamo di avere un sistema materiale di punti Ps, ms, con s che va da 1 ad N e supponiamo di volere dimostrare che la quantità di moto rispetto al baricentro vale 0. Scriviamo com’è fatta la QG, che vale la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms , v’s. Siamo nella situazione in cui c'è un sistema di riferimento fisso, un sistema di riferimento mobile traslante, cioè con origine nel baricentro e traslante e un sistema di punti che si sta muovendo rispetto a entrambi i sistemi di riferimento. Se considero la velocità del punto Ps, misurata dall'osservatore Oxyz, per il teorema di composizione delle velocità della cinematica relativa, questo vale v’s + la v𝛕s. La v𝛕s è la velocità di trascinamento del punto Ps che è la velocità che il punto P avrebbe se pensato rigidamente connesso al sistema di riferimento mobile, in questo caso sistema di riferimento baricentrico e traslante. In formula, la v𝛕s vale la velocità dell'origine del sistema di riferimento, in questo caso velocità di G + ω, vettor Ps - G. ω è il vettore velocità angolare del sistema di riferimento mobile. Ma il sistema di riferimento l'abbiamo definito come traslante.

Di conseguenza, questo sistema di riferimento mobile, essendo traslante, ha la velocità angolare che è 0, perché Gx'y'z' è traslante e quindi questo termine non c'è, quindi la velocità di trascinamento del punto Ps è esattamente la velocità del baricentro G. Quindi qui andiamo a sostituire e diciamo che vs è uguale a v’s + vG. In virtù di questa formula (*), possiamo dire che la v’s, questa velocità del punto Ps misurata dall'osservatore azzurro, la possiamo scrivere come la vs - il vettore velocità del baricentro G. Possiamo ricavare la v’s che vale vs - vG.

Andiamo a sostituire, sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs - vG, adesso separando le due sommatorie, avremo sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs e poi - la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vG. La sommatoria in s di ms vs è la quantità di moto Q del sistema materiale. vG non dipende dall'indice s di sommatoria, quindi lo posso raccogliere a fattor comune, e mi accorgo che questa è la massa M del sistema.  Quindi ho Q - M per vG, ma nel teorema precedente ho dimostrato che la quantità di moto di un qualunque sistema meccanico è uguale alla quantità di moto del baricentro, pensando concentrata in esso tutta la massa del sistema, quindi questa è esattamente ancora Q, e Q - Q fa 0, quindi ho dimostrato che la quantità di moto di un sistema materiale qualunque rispetto al baricentro è sempre 0.

Abbiamo dimostrato che la QG, quantità di moto del sistema materiale di punti qualunque è sempre uguale a 0, abbiamo applicato il teorema di composizione delle velocità e siamo riusciti a dimostrare questa uguaglianza a zero.

Siccome la quantità di moto di un qualunque sistema meccanico è uguale alla quantità di moto del suo baricentro, pensando concentrata in esso tutta la massa del sistema, cioè M è la sommatoria per s che va da 1 ad N degli ms, possiamo andare a sostituire in questa prima equazione cardinale e otteniamo che la derivata di M per vG fatta rispetto al tempo, è uguale ad Fe + φe.

La massa è costante, quindi può uscire dal segno di derivata, quindi otteniamo che la massa per la derivata del vettore velocità vG, fatta rispetto al tempo è uguale ad Fe + φe e siccome la derivata di vG fatta rispetto al tempo si può anche scrivere come derivata seconda del baricentro, allora abbiamo che M per la derivata seconda di G fatta rispetto a t due volte, è uguale ad Fe + φe e questa invece è la prima equazione cardinale della dinamica nella sua seconda formulazione. Cioè nella seconda formulazione che è quella che va sotto il nome di teorema del moto del baricentro.

Questa equazione ci dice come si muove il baricentro di un qualunque sistema meccanico. Cioè se leggiamo la formula, così come prima quando leggevamo la prima formulazione della prima equazione, la derivata temporale della quantità di moto è uguale ad Fe + φe, quindi il vettore risultante delle forze attive esterne + il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne, quando leggiamo questa seconda formulazione, possiamo dire che leggendola così con il significato dei vettori, la massa totale del sistema per l'accelerazione del baricentro G è uguale alla somma del vettore risultante delle forze attive esterne e delle reazioni vincolari esterne.

Il baricentro G di un qualunque sistema meccanico si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema e ad esso fossero applicati il vettore risultante delle forze attive esterne, cioè Fe e il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne φe.

Quindi, come se qui avessimo il punto, un baricentro, massa per accelerazione, uguale alla somma di questi due vettori. Questo ci dice che sul moto del baricentro non influiscono le forze di tipo interno, compaiono solo le forze di tipo esterno. Non sul moto dell'intero sistema, ma sul moto del baricentro, le forze di tipo interno non hanno influenza.

Per ottenere la seconda equazione cardinale della dinamica, dobbiamo partire dalla definizione del momento delle quantità di moto per il punto materiale Ps con polo in O₁, quindi Ks(O₁) vale ms vs vettor O₁ - Ps. E questo è vero per s che va da 1 ad N. Se io adesso considero un osservatore, così come c'era anche prima, chi è che misurava questo moto? Era l'osservatore Oxyz, un osservatore fisso nello spazio, che è quello che ha scritto l'equazione di Newton.

Adesso questo osservatore fa la derivata membro a membro di questa espressione, quindi derivata di Ks(O₁) fatta rispetto al tempo, allora adesso dobbiamo derivare al secondo membro. Cosa c'è che dipende dal tempo al secondo membro? La massa è costante, vs è il vettore velocità e dipende dal tempo. O₁ è un polo qualunque, quindi dipende dal tempo. E Ps è un punto che si muove, quindi dipende dal tempo.

E allora avremo ms, abbiamo da fare la derivata di un prodotto, quindi dvs in dt, vettor O₁ - Ps non derivato. Poi avremo + ms vs, vettor la derivata di O₁ - Ps, la derivata di vs fatta rispetto al tempo.

ms, la derivata di vs fatta rispetto al tempo è l'accelerazione as, vettor O₁ - Ps. + ms vs vettor dO₁ in dt e - ms vs vettor dPs in dt.

ms as, se andiamo a rivedere la legge di Newton, è uguale a questo secondo membro, cioè ms as  possiamo scriverlo come Fes + Fis + φes + φis vettor O₁ - Ps. Poi c'è + ms vs, vettor dO₁ in dt. Infine, questo d Ps  in dt è vs. E siccome qui facciamo il prodotto vettoriale tra un vettore e uno ad esso parallelo, cioè ms vs, è parallelo a vs, allora questo termine si annulla.

Abbiamo, sempre per s che va da 1 ad N, la derivata temporale di Ks(O₁) che è uguale a questo secondo membro. Allora adesso sommiamo membro a membro per s che va da 1 ad N la derivata di Ks(O₁) fatta rispetto a tempo, che è uguale alla sommatoria per s che va da 1 a N; spezziamo già nelle due sommatorie. Quindi sommatoria Fes + Fis + φes + φis vettor O₁ - Ps  + la sommatoria per s che va da 1 ad N di ms vs vettor dO₁ in dt.

Di nuovo, la somma di derivate è uguale alla derivata della somma e al secondo membro possiamo spezzare nelle singole, cioè sommatoria in s di Fes vettor O₁ - Ps, applicando prima la proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto alla somma e dopodiché riconoscere che Fes, vettor O₁ - Ps è il momento s-esimo delle forze attive esterne. Quindi avremo sommatoria per s che va da 1 ad N di Ωes con polo in O₁ - Ps, + la sommatoria per s che va da 1 ad N di Ωis, cioè il momento delle forze attive interne con polo in O₁, Fis vettor O₁ - Ps + la sommatoria per s che va da 1 ad N di ѱes con polo in O₁ + la sommatoria per s che va da 1 ad N di ѱis cioè il momento s-esimo delle forze attive interne, +, infine, c'è questo termine. Siccome dO₁ in dt non dipende dall'indice s di sommatoria, lo possiamo raccogliere a fattore comune.

La sommatoria in s di ms vs è la quantità di moto del sistema di punti. Al primo membro la derivata temporale di questa sommatoria per definizione è la derivata temporale del momento delle quantità di moto con polo in O₁. La sommatoria in s di Ωes con polo in O₁ sarà il momento risultante delle forze attive esterne con polo in O₁. Poi c'è il momento risultante delle forze attive interne con polo in O₁, poi il momento risultante delle reazioni vincolari esterne con polo in O₁, ѱe di O₁, infine il momento risultante delle reazioni vincolari interne con polo in O₁, che viene da qui.

La quantità di moto si può sempre scrivere come la massa totale del sistema per la velocità del baricentro G. Andiamo ad aggiungere + M, la derivata di G fatta rispetto al tempo, vettor dO₁ in dt. Per il principio di azione e reazione le forze di tipo interno compaiono sempre a due a due come coppie di braccio nullo e quindi sono equivalenti al sistema nullo. In particolare avranno nulli il vettore risultante e il momento risultante. Quindi anche questi Ωi e ѱi sono zero.

E finalmente abbiamo la seconda equazione cardinale della dinamica, derivata temporale del momento delle quantità di moto con polo in O₁, è uguale a Ωe di O₁, cioè il momento risultante delle forze attive esterne con polo in O₁ + il momento risultante delle reazioni vincolari esterne con polo in O₁, + la massa totale del sistema per la velocità del baricentro G vettor la velocità del polo O₁ che abbiamo scelto per il calcolo dei momenti.

La seconda equazione cardinale della dinamica prende anche il nome di teorema del momento delle quantità di moto.

Il teorema del momento delle quantità di moto si enuncia dicendo che la derivata temporale del momento delle quantità di moto con polo in O₁ è uguale al momento risultante delle forze attive esterne con polo in O₁ + il momento risultante delle reazioni vincolari esterne con polo O₁ + la massa totale del sistema di punti moltiplicato per la velocità del baricentro G vettor la velocità del polo O₁.

• Se O₁ è un punto fisso, quindi se il polo scelto è un punto fisso

• Oppure se il baricentro G è un punto fisso

• Oppure ancora se il polo che abbiamo scelto per il calcolo dei momenti coincide con il baricentro

• O infine se il polo che abbiamo scelto è tale per cui la sua velocità è parallela a quella del baricentro, istante per istante

Questo ultimo termine si annulla in ciascuno di questi casi e quindi la seconda equazione della dinamica è esattamente quella che abbiamo scritto qui, cioè la derivata di K di O₁ fatta rispetto al tempo è uguale ad Ωe di O₁ + ѱe di O₁.

Le equazioni cardinali della dinamica sono due e sono una condizione necessaria per il moto di un qualunque sistema meccanico. Cioè se abbiamo un qualunque sistema meccanico in moto e il moto è dato da Q₁(t), Q₂(t), …, Qn(t), allora queste funzioni soddisfano le equazioni cardinali della dinamica, derivata temporale della quantità di moto uguale a Fe + φe, oppure nell'altra formulazione, il teorema del moto del baricentro che dice che il baricentro di un qualunque sistema meccanico si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema e ad esso fossero applicati il vettore risultante delle forze attive esterne e il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne, oppure massa per accelerazione del baricentro G uguale ad Fe + φe, quindi la prima equazione cardinale o in questa formulazione o in quest'altra, e la seconda che ci dice che la derivata di K di O₁ è uguale ad Ωe di O₁ + ѱe di O₁ + M vG, velocità del baricentro G, vettor la velocità del polo O₁. Queste sono le equazioni cardinali della dinamica, che sono una condizione necessaria per il moto di un qualunque sistema meccanico.

Diventano anche una condizione sufficiente per il moto, se abbiamo un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti. Vuol dire che se per un corpo rigido, soggetto a vincoli perfetti, scrivo la prima e la seconda equazione cardinale della dinamica e le risolvo, quel Q₁(t), Q₂(t), …, Qn(t) che risolve queste equazioni, è un possibile moto del sistema. Se poi associamo le condizioni iniziali e troviamo anche il sistema di reazioni vincolari scalari dinamiche, cioè che valgono durante il moto, allora avremo determinato il moto del sistema.

I teoremi dell'energia sono due:

1. Un primo teorema che è il teorema delle forze vive, detto anche teorema dell'energia cinetica.

2. Un secondo teorema, che è il teorema di conservazione dell'energia meccanica totale.

   
   

1) Teorema delle forze vive

Partiamo dal primo teorema, il teorema delle forze vive o dell'energia cinetica e questo teorema lo enunceremo prima per il punto materiale (a) e poi lo enunceremo per i sistemi materiali (b).

Il lavoro infinitesimo o finito, compiuto da tutte le forze che agiscono sul punto materiale (a), quindi sia le forze attive, sia le reazioni vincolari, questo lavoro infinitesimo o finito è uguale alla variazione infinitesima, se è il lavoro è infinitesimo, o finita, se è il lavoro finito, di energia cinetica durante il moto.

Dobbiamo dimostrare che il dℒ, lavoro infinitesimo compiuto da tutte le forze agenti sul punto materiale, è uguale al dT, alla variazione infinitesima di energia cinetica durante il moto.

Non c'è un'ipotesi restrittiva di applicabilità di questo teorema. Questo teorema vale per un qualsiasi punto materiale, che però deve avere la caratteristica di essere in moto. Cominciamo dalla definizione di dℒ, cioè la somma del lavoro infinitesimo compiuto dalle forze attive dL, + il lavoro infinitesimo reale compiuto dalle reazioni vincolari dρ.

Il nostro sistema è un punto materiale, quindi per definizione se F è il vettore delle forze attive che agiscono sul punto, F scalare dP è esattamente il lavoro infinitesimo reale compiuto dalle forze attive. Il dρ, il lavoro infinitesimo reale compiuto dalle reazioni vincolari, varrà φ, vettore risultante delle reazioni vincolari agenti sul punto, scalare dP. Siccome il dP è comune, posso raccoglierlo a fattore comune e ottengo F + φ, scalare dP. Se il punto si sta muovendo, cioè se il punto è in moto, allora per la legge di Newton, F + φ lo possiamo scrivere come m per a, dove m è la massa del punto e a è l'accelerazione del punto. Avremo m per a, scalare dP. dP è lo spostamento reale infinitesimo del punto P e quindi questo lo scriveremo come v per dt e per definizione il vettore accelerazione è la derivata del vettore velocità fatta rispetto al tempo. Quindi m per a diventa m per dv in dt, scalare v per dt, cioè il prodotto del vettore velocità del punto per il differenziale della variabile indipendente.

Concentriamoci per un attimo su questo prodotto scalare, che  è la derivata temporale di ½, il vettore velocità al quadrato. Se faccio la derivata temporale di ½ v², che significa derivata fatta rispetto al tempo di ½, v scalare v, allora questo mi dice che siccome devo fare la derivata temporale di un prodotto, ottengo ½, la derivata di v fatta rispetto al tempo, scalare il secondo vettore non derivato, + ½ il primo vettore non derivato per la derivata del secondo vettore. E siccome il prodotto scalare è commutativo, posso invertire l'ordine di questi due fattori e quello che ottengo è esattamente quello che mi aspettavo, dv in dt, scalare v.

Possiamo procedere e vediamo che si ottiene m per la derivata temporale di ½ v² in dt. La massa però è una quantità costante che non dipende dal tempo, quindi la possiamo prendere e portare qui dentro.

Otterremo derivata temporale di ½ mv² in dt. ½ mv² è per definizione l'energia cinetica del punto P, quindi derivata temporale dell'energia cinetica per il differenziale della variabile indipendente. Questo per definizione è la definizione di differenziale, la variazione infinitesima dell'energia cinetica.

Guardando la prima e l'ultima di questa catena di uguaglianze, abbiamo dimostrato che dℒ è uguale al dT. Questa era la versione infinitesima.

Questa versione finita prevede che il lavoro finito, compiuto dal sistema di tutte le forze agenti sul punto, per andare dal punto P₁, cioè dalla posizione di P all'istante t₁, al punto P₂, posizione di P all'istante t₂, è la differenza, quindi la variazione finita, tra t₂ e t₂, dove T₂ è l'energia cinetica del punto all'istante t₂ e T₁ è l'energia cinetica del punto materiale durante il moto, all'istante t₁. Quindi questa è la versione finita, sempre per il punto materiale.

Dimostrazione (versione finita)

Dalla versione infinitesima il dℒ, il lavoro infinitesimo compiuto da tutte le forze agenti sul punto materiale, è uguale al dT. Integro membro a membro questa uguaglianza e quindi avrò l'integrale tra P₁ e P₂ del lavoro infinitesimo compiuto da tutte le forze agenti sul sistema, in questo caso la variabile è la t nel tempo, l'integrale tra t₁ e t₂ del dt. Quello che si ottiene è che al primo membro questa è la definizione di lavoro finito. Cioè l'integrale fatto sulla curva che congiunge P₁ con P₂ del dℒ, del lavoro reale infinitesimo, è il lavoro finito, compiuto dal sistema di forze per portare il punto da P₁ a P₂. Questo secondo membro, invece, siccome dT è un differenziale esatto di una funzione, sarà la T calcolata all'istante t₂, - la t calcolata all'istante t₁, per il teorema fondamentale del calcolo integrale. In questo modo abbiamo scritto il teorema delle forze vive nella sua versione finita.

Questo per definizione non è una differenza di lavoro, questo è il lavoro finito, perché dℒ non è un differenziale esatto, mentre quando integriamo questo, che è il differenziale di una funzione e quindi è un differenziale esatto, ci viene la differenza tra i due valori dell'energia cinetica, questa variazione finita.

L'enunciato di questo teorema è esattamente analogo a quello che abbiamo visto per il punto materiale, dove però al posto di punto materiale, si sostituisce ‘sistema materiale di punti’.

Quindi l'enunciato dice questo, che il lavoro infinitesimo o finito compiuto da tutte le forze agenti sui punti di un sistema materiale Ps, ms, con s che va da 1 ad N, è uguale alla variazione infinitesima o finita di energia cinetica durante il moto.

Adesso abbiamo la versione infinitesima del caso sistema di punti materiali. Abbiamo un sistema di punti materiali, Ps, ms, con s che va da 1 ad N, che si sta muovendo. Questa dimostrazione non può prescindere dalla dimostrazione del fatto che per ciascun punto vale tutto quello che abbiamo visto qui. Quindi bisognerebbe rifare tutta questa dimostrazione, dove però bisognerebbe aggiungere il pedice s. Si arriva a dimostrare che dLs è uguale a dTs.

Quindi non la riscriviamo, ma se fosse richiesta la dimostrazione della versione infinitesima del sistema di punti materiali, dobbiamo dimostrare che dLs è uguale a dTs e questo per s che va da 1 ad N.

Se di queste uguaglianze ne ho N, posso sommare membro a membro tutte queste uguaglianze e quindi ottengo che la sommatoria per s che va da 1 a N dei dLs è uguale alla sommatoria per s che va da 1 a N dei dTs. Per definizione questo è il lavoro infinitesimo reale compiuto da tutte le forze agenti sul sistema materiale, quindi è il dℒ, uguale, per definizione, questa sommatoria è il dT e quindi ho ritrovato la versione infinitesima, che dal punto di vista formale, nel caso del sistema materiale e nel caso del punto materiale, formalmente è esattamente uguale. Questo vuol dire solo F scalar dP + φ scalar dP e questo dT è il differenziale di ½ mv².

Questo invece è la sommatoria di tutti gli infinitesimi compiuti dai singoli punti e questa è la sommatoria di tutte le variazioni infinitesime di energia cinetica dei singoli punti.

Anche qui la dimostrazione si fa molto velocemente, si suppone di voler portare il sistema dalla configurazione C₁, che è la configurazione del sistema all'istante t₁. Alla configurazione C₂, che è la configurazione del sistema all'istante t₂, allora avendo a disposizione la versione infinitesima, quindi da dℒ uguale ad dT, si fa l’integrale e si ottiene l'integrale tra C₁ e C₂ del dℒ, che è uguale all'integrale tra t₁ e t₂ del dT.

Al primo membro abbiamo il lavoro finito, compiuto dal sistema delle forze attive delle reazioni vincolari, agenti sul sistema meccanico per andare da C₁ a C₂, quindi un lavoro finito, che uguaglia, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, l'integrale di un differenziale è la differenza finita tra l'energia cinetica T all'istante t₂ e l'energia cinetica T all'istante t₁, istante finale , meno l’istante iniziale.

Nel caso precedente, l'enunciato del caso del punto e nel caso dei sistemi materiali era molto simile, cioè aveva una piccolissima variazione, bastava sostituire ‘sistema materiale’ a ‘punto materiale’, in questo caso l’enunciato è abbastanza diverso tra il caso del punto e il caso dei sistemi materiali, mentre la dimostrazione è veramente uguale, poi il significato varierà tra punto e sistemi di punti.

Il teorema di conservazione dell'energia meccanica totale dice che l'energia meccanica totale, che indichiamo con E, di un punto materiale P, di massa m, libero oppure vincolato con vincolo scleronomo liscio e soggetto ad una forza attiva risultante — (Qui si può parlare di forza attiva risultante perché c'è un punto solo) — conservativa, resta costantedurante il moto.

In formule è T + V, cioè l'energia cinetica T, + l'energia potenziale V, resta costante durante il moto, è uguale ad E, dove E è l'energia meccanica totale che non aveva delle ipotesi dipende dalle condizioni iniziali e quindi questa la si calcola come T₀ + V₀.

Mentre il teorema delle forze vive era un teorema che non aveva delle ipotesi restrittive, si può applicare a un qualunque punto materiale o sistema materiale purché si stia muovendo. Il teorema di conservazione dell'energia meccanica totale riguarda o il punto materiale libero oppure vincolato con vincolo scleronomo liscio, quindi questa è una questione sui vincoli, e poi deve essere soggetto ad una forza attiva risultante conservativa. Questo perché deve esistere la funzione potenziale e quindi l'energia potenziale e quindi l’energia potenziale. Per un punto materiale così fatto, l'energia meccanica totale si conserva, da cui teorema di conservazione dell'energia meccanica totale. Cioè, l'energia meccanica totale all'inizio, all'istante iniziale, ha un certo valore che non cambia durante tutto il moto. Quindi varierà la T, varierà la V in funzione del tempo, ma la loro somma nel punto materiale libero o vincolato con vincolo scleronomo liscio e soggetto a una forza attiva risultante e conservativa, resta costante.

Per il teorema delle forze vive nella versione infinitesima, dT, cioè la variazione infinitesima di energia cinetica è uguale a dℒ, al lavoro infinitesimo compiuto da tutte le forze agenti sul punto materiale, cioè è uguale a dℒ, lavoro infinitesimo compiuto dalle forze attive, + il dρ, lavoro infinitesimo compiuto dalle reazioni vincolari.

Le ipotesi sono che il punto materiale o è libero, allora se è libero, la reazione vincolare non c'è e quindi il lavoro infinitesimo reale compiuto dalle reazioni vincolari è 0, perché le reazioni vincolari non ci sono. E se invece è vincolato con vincolo scleronomo liscio, quando abbiamo parlato del lavoro infinitesimo reale nel caso in cui il punto materiale sia soggetto a un vincolo scleronomo liscio, il dρ è uguale a zero, perché se il vincolo è scleronomo e liscio, la reazione vincolare si esplica in direzione normale al vincolo e quindi φ scalare dP è sicuramente zero, perché φ e dP sono perpendicolari tra loro.

Quindi quello che rimane è soltanto il lavoro reale infinitesimo compiuto dalle forze attive. Ma c'è un'altra ipotesi che dobbiamo usare, l'ipotesi che il punto materiale è soggetto ad una forza attiva risultante conservativa. Se la forza attiva risultante che agisce sul punto è conservativa, esiste una funzione detta potenziale, tale che il suo differenziale dU è esattamente uguale al lavoro reale infinitesimo, cioè dL è uguale a dU. Adesso siamo in grado di leggere questa catena di uguaglianze dalla prima, dT, all’ultima, cioè che dT è uguale a dU e possiamo anche scrivere che il differenziale di T, meno il differenziale di U fa 0, da cui si può ottenere che il differenziale di T - U è uguale a 0. Ma noi sappiamo che U è uguale a - V , cioè la funzione potenziale è uguale all'opposto dell'energia potenziale, quindi qui avremo che il differenziale di T + V è uguale a zero, e questo è sufficiente per dire che la funzione T + V è uguale a costante. Ma siccome per definizione T + V è l'energia meccanica totale, e allora abbiamo dimostrato che l'energia meccanica totale resta costante durante il moto. E questa energia meccanica totale si calcola attraverso le condizioni iniziali, cioè la T all'istante T₀ più la V, l'energia potenziale, all'istante T₀ iniziale. E questo permette di dire che la dimostrazione è fatta.

Vogliamo dimostrare il caso per i sistemi materiali, quindi Ps, ms, con s che va da 1 ad N. L'energia meccanica totale E di un sistema meccanico conservativo resta costante durante il moto.

Il caso del punto materiale libero e soggetto a una forza attiva risultante conservativa e il caso del punto materiale vincolato con vincolo scleronomo liscio e soggetto ad una forza attiva risultante conservativa è un caso in particolare di questo sistema meccanico conservativo, di questa ipotesi, quindi quello potrebbe rientrare anche dentro a questo teorema.

Quella che rimane uguale è la dimostrazione, che si fa esattamente nello stesso modo, perché per il teorema delle forze vive, c'è una versione infinitesima anche per i sistemi meccanici, quindi dT è uguale a dℒ, dove però questo dT non è il differenziale di ½ m², ma è la sommatoria per s che va da 1 ad N dei dTs, dove ciascun dTs vale ½ ms vs² e questa è la somma dei dℒs, però a parte questa cosa, formalmente vale lo stesso questo lavoro infinitesimo reale, che è la somma di questi due termini, è dato dal dL + il dρ, ma il dρ, visto che il sistema meccanico è conservativo, che significa che è un sistema meccanico olonomo, scleronomo, a vincoli perfetti e soggetto a un sistema conservativo di forze attive, ma adesso non ci serve, il fatto che sia a vincoli scleronomi e perfetti, mi dice che il dρ è uguale a zero, cioè il lavoro infinitesimo reale compiuto dalle reazioni vincolari per un sistema meccanico scleronomo e a vincoli perfetti è zero, poi qui è uguale a dL, poi si frutta il fatto che il sistema delle forze attive è conservativo e quindi dL uguale a dU. E quindi la dimostrazione procede esattamente nello stesso modo.

Quindi se dobbiamo fare la dimostrazione anche in questo caso, la ripercorriamo esattamente in questo modo, dove di nuovo l'energia meccanica totale è costante ed è la somma dell'energia cinetica all'istante iniziale + energia potenziale all'istante iniziale.

Si definisce integrale primo del moto di un generico sistema meccanico Ps, ms, con s che va da 1 ad N, e ad n gradi di libertà, dove possiamo indicare con q₁, …, qn, i parametri lagrangiani, si definisce integrale primo del moto una funzione che dipende dai parametri lagrangiani q₁, …, qn, dalle velocità generalizzate q₁, …, qn punto e in generale dal tempo che durante il moto resta costante.

Questa costante dipenderà sempre dalle condizioni iniziali, quindi da quello che succede all'istante iniziale, cioè dalla configurazione del sistema meccanico all'istante iniziale e dalle velocità generalizzate che ha il sistema meccanico all'istante iniziale, quindi dalle condizioni iniziali.

Un integrale primo del moto è in qualche modo un'equazione differenziale del primo ordine che rimane costante, una grandezza, quindi una funzione, che rimane costante durante il moto.

a) Integrale primo di conservazione dell’energia meccanica totale

Un primo esempio di integrale primo del moto è l'integrale di conservazione dell'energia meccanica totale. Abbiamo già visto, nel caso in cui un sistema meccanico sia conservativo, la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale rimane costante durante il moto.

Gli integrali primi si possono avere a seconda delle ipotesi che si hanno sul sistema meccanico. Quindi per avere un integrale primo di conservazione dell'energia meccanica totale, bisogna che il sistema meccanico sia conservativo. Quindi se il sistema meccanico è conservativo, allora sicuramente esiste l'integrale primo di conservazione dell'energia meccanica totale. Non è detto però che, per un qualunque sistema meccanico, esista sempre un integrale primo del moto. Cioè gli integrali primi del moto, quando abbiamo un sistema meccanico che si sta muovendo, non è detto che ci siano sempre.

Se, come in questo caso, abbiamo un sistema meccanico conservativo, allora esiste l’integrale primo di conservazione dell'energia meccanica totale. Abbiamo che T, l'energia cinetica, che è una funzione dei parametri lagrangiani e delle velocità generalizzate, se il sistema meccanico è conservativo, vuol dire che il sistema meccanico è olonomo, scleronomo, a vincoli perfetti e soggetto ad un sistema conservativo di forze attive. L'energia cinetica dipende solo dai parametri lagrangiani, dalle velocità generalizzate e non dal tempo, cioè il tempo non c'è perché il sistema meccanico è scleronomo e V dipende solo dai parametri lagrangiani e questo è uguale ad E. Qui compaiono le derivate delle q solo al primo ordine, quindi queste sono delle equazioni differenziali del primo ordine.

b) Equazioni cardinali della dinamica

Gli integrali primi del moto possono venire dalle equazioni cardinali della dinamica. Mettiamo sia il teorema del moto del baricentro, quindi massa totale del sistema per l'accelerazione del baricentro del baricentro G = Fe + φe, oppure anche nella prima formulazione che è quella della teorema della quantità di moto, quindi derivata di Q fatta rispetto al tempo uguale a Fe + φe, e poi consideriamo anche la seconda equazione cardinale e la scriviamo con polo in G, G è il baricentro del sistema meccanico, in modo tale che il termine aggiuntivo al secondo membro della seconda equazione, cioè il teorema della derivata del momento delle quantità di moto, quel termine aggiuntivo + m vG vettor v(O₁), se come O₁ abbiamo preso G, questo termine aggiuntivo non c'è. Quindi abbiamo scritto le equazioni cardinali della dinamica e guardando un attimo le equazioni cardinali della dinamica, si possono ottenere degli integrali primi del moto.

Se si ha che il secondo membro della prima equazione, se si verifica che Fe + φe  ha una componente nulla lungo una qualche direzione, quindi Fe + φe scalare k è 0, quindi ha una componente nulla lungo la direzione del versore k, questo ci permette di concludere che, se questo scalare k è uguale a 0, significa che la derivata del momento delle quantità di moto fatta rispetto al tempo, scalare k è uguale a 0. Vuol dire che la componente di questo vettore lungo l'asse z, derivata rispetto al tempo è 0, cioè la derivata di Qz fatta rispetto al tempo vale 0. Questo significa che, se la derivata temporale della componente lungo questo asse è 0, vuol dire che quella componente del vettore quantità di moto del sistema è costante. Quindi la Qz è una costante. La Qz, che è la componente lungo l’asse z della quantità di moto, è una funzione che dipende dai parametri lagrangiani e dalle velocità generalizzate, perché la quantità di moto per il singolo punto vale massa per la velocità, per un sistema di punti, è la sommatoria in s degli ms, vs, quindi contengono le velocità. Questo è l'integrale primo di conservazione della quantità di moto lungo l'asse z.

Come ci accorgiamo se esiste un integrale primo di conservazione della quantità di moto lungo l'asse z? Se si verifica che il sistema delle forze attive esterne e delle reazioni vincolari esterne manca di una componente lungo una qualche direzione, per esempio, lungo la direzione k e allora questo ci dice che c'è la conservazione della quantità di moto lungo l'asse z.

c) Equazioni cardinali della dinamica

Altro caso, sempre guardando le equazioni cardinali della dinamica, se si verifica che se si verifica che il secondo membro delle equazioni cardinali della dinamica ha componente nulla lungo una qualche direzione. Facciamo l'esempio dell'asse z, ma non è vincolante, cioè se si ha che Ωe con polo in G + ѱe con polo in G, quando lo moltiplico scalarmente per il versore dell'asse z mi dà 0, vuol dire che la Ωe + ѱe non ha componenti lungo quella direzione, allora da questa equazione si vede che quando moltiplico scalarmente, membro a membro, questa equazione per il versore k, si ottiene che la derivata temporale del momento delle quantità di moto con polo in G, scalare il versore k, quindi questo moltiplicato scalarmente per k è uguale a 0.

Allora questo vuol dire che quando faccio la derivata temporale della componente lungo z della K di G, questa è uguale a 0 e questo mi permette di concludere che la componente scalare lungo l'asse z del momento delle quantità di moto con polo in G è costante. Se fosse stato Ωe + ѱe di G, mancante di una componente lungo l'asse delle x, quindi scalare ī sarebbe stato uguale a 0, qui avremmo avuto K lungo l'asse x di G, uguale a costante, costante che si determina sempre attraverso le condizioni iniziali e questo rappresenta un integrale primo di conservazione del momento delle quantità di moto del nostro sistema, sempre lungo l'asse z. Perché questa è una funzione, la Kz di G, è una funzione dei parametri lagrangiani, delle velocità generalizzate e in generale del tempo. che è costante durante il moto.

d) Sistema meccanica isolato

Se abbiamo a che fare con un sistema meccanico isolato. Isolato significa che sul sistema meccanico non agiscono né forze attive esterne, né reazioni vincolari esterne, quindi se il sistema meccanico isolato vuol dire che Fe + φe è uguale a zero e anche Ωe con polo in G + ѱe con polo in G, supponiamo che sia uguale a 0. Se un sistema meccanico è isolato, andiamo a prendere di nuovo l'equazione cardinale della dinamica, questo è tutto nullo, questo secondo membro, questo è tutto nullo, allora possiamo concludere che la derivata della quantità di moto, fatta rispetto al tempo, è il vettore nullo e la derivata del momento delle quantità di moto con polo in G è uguale a 0.

Dalla prima equazione si evince che l'intera quantità di moto è costante, quindi la quantità di moto del sistema è costante e siccome la quantità di moto si può scrivere sempre per un qualunque sistema meccanico come M per vG, questo M è la massa totale del sistema per la velocità del baricentro, questa è una costante. Dire che istante per istante, cioè dall'istante iniziale, il prodotto della massa per la velocità del baricentro non varia, questo ci dice che il baricentro G si muove di moto rettilineo e uniforme. Quindi questo è un primo integrale primo che ci dà un'informazione molto importante sui sistemi isolati. I sistemi isolati sono tali per cui il baricentro del sistema meccanico isolato si muove di moto rettilineo uniforme.

Pensiamo per esempio al sistema solare, che in buona approssimazione può essere considerato un sistema isolato, cioè non è soggetto a forze esterne, allora il moto del suo baricentro è un moto che possiamo dire rettilineo uniforme. Poi dalla seconda equazione, la derivata temporale del momento delle quantità di moto con polo in G, questo ci dice che dice che il K di G, cioè il momento angolare, ossia il momento delle quantità di moto con polo in G è costante. Chiamiamo questa costante con K₀ con polo in G, questo è un altro integrale primo. Questo ci dice che il piano che passa per il baricentro G è perpendicolare a K₀ di G, cioè a questo vettore che è costante, ha una giacitura costante. Quindi se consideriamo il piano che passa per il baricentro G e si mantiene perpendicolare a questo vettore costante, ha una giacitura costante. Quindi sempre costante rispetto a sistemi di riferimento inerziali, cioè per esempio al sistema delle stelle fisse.

Quindi un esempio, il sistema solare ha questa caratteristica, cioè ha la caratteristica di essere in buona approssimazione un sistema isolato e quindi si può dire che per il sistema solare il baricentro G si muove di moto rettilineo uniforme e il piano che passa per il baricentro e perpendicolare a questo, che è il momento delle quantità di moto con polo in G, quindi che è costante, che dipende dalle condizioni iniziali, ha una giacitura costante.

e) Ballerina ∼ moto di un corpo rigido con asse fisso

La ballerina la possiamo considerare come un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso Oz verticale. Cioè la ballerina è soggetta alla forza peso. Siccome la forza peso e anche la reazione vincolare che tiene l'asse fisso, hanno un momento rispetto all'asse z che è nullo, allora quello che si può evincere, cioè è un caso come questo, allora possiamo dire che Kz è costante e siccome la costante dipende sempre dalle condizioni iniziali, e siccome Kz la possiamo scrivere come il momento di inerzia della ballerina, quindi del nostro corpo rigido, rispetto all'asse fisso Oz per il vettore velocità angolare scalare che è ϑ punto, se questo rimane costante, allora questo significa che quando la ballerina che sta piroettando attorno al proprio asse fisso, allarga le braccia, il momento d’inerzia, allargando le braccia, aumenta e di necessità, siccome il prodotto il momento di inerzia rispetto all'asse fisso e ϑ punto devono rimanere costanti, si ha che ϑ punto diminuisce. Quindi la ballerina sa che per poter far diminuire la sua velocità di rotazione attorno al suo asse fisso, deve allargare le braccia per aumentare il suo momento di inerzia.

Viceversa, quando la ballerina avvicina le braccia al proprio corpo, questo è sempre il ϑ punto di rotazione, avvicinare le braccia al corpo fa sì che il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione Oz diminuisce. E quindi, perché c'è questo integrale primo di conservazione del momento delle quantità di moto lungo l'asse z, fa sì che questo deve rimanere costante quel prodotto e quindi la ϑ punto aumenta. Allora la ballerina che raccoglie le braccia al petto fa diminuire il momento d’inerzia rispetto all'asse di rotazione e quindi aumentare la rotazione. E questo è dovuto al fatto che la sua forza peso e la reazione vincolare hanno un momento assiale nullo lungo l'asse z.

Supponiamo che questo corpo rigido abbia un asse fisso, quindi il corpo rigido è il corpo rigido 𝒞 e l'asse fisso è quello rappresentato in nero. Per studiare il moto, v bisogna fissare un sistema di riferimento Oxyz fisso, in cui supponiamo di prendere l'asse Oz coincidente con l'asse fisso. Se poi consideriamo un punto qualunque dell'asse fisso O, allora prendiamo anche gli assi Oz e Oy del sistema di riferimento fisso in questo modo. Ora consideriamo poi un sistema di riferimento solidale, quello che solitamente mettiamo in evidenza in rosso.

Quindi prendiamo un sistema di riferimento solidale al corpo rigido, quindi O₁x₁y₁z₁ solidale al corpo rigido 𝒞 e lo prendiamo con l’origine O₁ coincidente con O. L'asse O₁z₁ coincidente con Oz, oppure con l'asse fisso, che tanto sono la stessa cosa. E poi prendiamo, come abbiamo già visto nel caso dell'energia cinetica del corpo rigido, con l'asse fisso, prendiamo l'asse y₁, in modo tale che il baricentro G sia contenuto nel piano O₁y₁z₁, questo per una questione di comodità, così riusciremo a scrivere in maniera più semplice le coordinate del baricentro rispetto al sistema di riferimento solidale. L'asse x₁ e l'asse y₁ stanno nel piano Oxy e il baricentro G del corpo, supponiamo che si trovi in questa posizione e allora le coordinate del baricentro le possiamo indicare in questo modo, cioè possiamo scrivere il vettore G - O o G - O₁, usando i versori del sistema di riferimento solidale. Questo è b, questo è h, e allora scriveremo che b lungo j₁ + h lungo k₁ è proprio il vettore G - O o G - O₁. Quello che vogliamo fare è studiare il moto del corpo rigido con asse fisso.

Le equazioni cardinali della dinamica sono una condizione necessaria per il moto di un qualunque sistema meccanico, ma diventano anche sufficienti per il moto di un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti, qui siamo nell’ipotesi di avere un corpo rigido, il vincolo che possiamo considerare come un vincolo liscio, abbiamo visto come si fa a vincolare un asse fisso in un corpo rigido, cioè si mette un punto fisso in una posizione dell'asse, quindi si fissa per esempio il punto O o il punto O₁ e poi si mette un anello nel punto O₂, in modo tale da limitare tutti gli spostamenti in direzione perpendicolare all'asse fisso. Corpo rigido con asse fisso è un corpo rigido soggetto a vincoli perfetti e quindi possiamo utilizzare le equazioni cardinali della dinamica per studiare nel moto.

Quindi teorema del moto del baricentro, che dice che la massa totale del sistema del corpo rigido per l'accelerazione del suo baricentro G, è uguale ad Fe + φe, Fe è il vettore risultante delle forze attive esterne che agiscono sul corpo rigido, e φe è il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne, e la seconda equazione è quella dei momenti, che dice che la derivata del momento delle quantità di moto, calcolata con un certo polo, che adesso vedremo quale sarà quello che ci fa più comodo, è uguale ad Ωe, sempre al calcolato rispetto al polo, + ѱe, poi ci sarebbe + la massa totale del sistema per la velocità del baricentro G, vettor la velocità del polo. Se come polo scegliamo per esempio l'origine del sistema di riferimento fisso o del sistema solidale, insomma comunque un punto dell’asse, allora la velocità di questo punto, che è tanto un punto fisso, è zero, quindi questo termine non ci sarà.

Per cui scegliamo un punto fisso e così eliminiamo la presenza di questo termine e quindi possiamo scegliere O come polo per la seconda equazione, quella dei momenti. Diciamo che su questo corpo rigido agisca un certo sistema di forze, per esempio un sistema di forze attive di cui conosciamo il vettore risultante. Per questioni di comodità, in questo caso del dinamico, cioè nello studio del moto, conviene scrivere i vettori tutti rappresentati nella base del sistema di riferimento solidale, perché diventa più comodo scrivere l'accelerazione di G e scrivere anche tutti questi vettori K di O, Ωe di O e ѱe di O. Quindi rappresentiamo il vettore risultante delle forze attive esterne, lo scriviamo con le sue componenti lungo l'asse x₁, lungo l'asse y₁, lungo l'asse e z₁. Per non appesantire troppo la notazione, non scrivo Fe x₁, Fe y₁, Fe z₁, però sono le componenti lungo ī₁, j₁ e k₁. Inoltre, il corrispondente momento Ωe con polo in O sarà Ωex lungo ī₁ + Ωey lungo j₁ + Ωez lungo k₁, dove per non appesantire la notazione, questi x, y, z vogliono dire semplicemente lungo l'asse delle x₁, y₁ e z₁.

Abbiamo sistemato questi due termini, Fe e Ωe di O, che andranno dentro alle equazioni cardinali della dinamica. Ci manca l'accelerazione di G, ci manca la φe, ci manca K di O, momento delle quantità di moto con polo in O, e ci manca ѱe di O. Per calcolarci ѱe di O ci vogliono sicuramente le reazioni vincolari e partiamo dalle reazioni vincolari, che le possiamo scrivere anche in questo caso, come nel caso del problema statico. Possiamo realizzare il vincolo di asse fisso, fissando anche un numero elevatissimo di punti, quindi mettendo reazioni vincolari totalmente incognite in intensità, direzione e verso su M punti dell'asse. Ma questo creerebbe una situazione in cui l'asse fisso si realizza, ma in maniera eccessiva, cioè metteremmo troppe reazioni vincolari scalari per realizzare il vincolo, quindi non in numero minimo a realizzare il vincolo.

Come nel caso statico in cui il sistema è staticamente determinato, se realizziamo il vincolo con il numero minimo di reazioni vincolari scalari, in questo caso dinamiche, riusciremo non solo a determinare il moto, che comunque determineremmo anche realizzando il vincolo in maniera eccessiva, sovrabbondante. Il moto lo troveremo comunque. Ma se realizziamo il vincolo con il numero minimo di reazioni vincolari, scalari e dinamiche, oltre all'equazione differenziale del moto, troveremo anche le componenti delle reazioni vincolari dinamiche, quindi le componenti scalari dei vettori delle reazioni vincolari dinamiche, quindi durante il moto.

In O₁ mettiamo la reazione vincolare φ₁ di punto fisso, quindi una φ₁x ī₁ + φ₁y j₁ + φ₁z k₁, così impediamo tutti i movimenti possibili per questo punto. Per O₂, in virtù della rigidità del corpo e del fatto che l'asse è fisso, O₂ si troverà ad avere impediti già i movimenti lungo l'asse z o z₁. Quindi basterà impedire i movimenti lungo l'asse x₁ e lungo l'asse y₁. Quindi basterà mettere in O₂ un anello, quindi un φ₂x lungo ī₁, + φ₂y lungo j₁. In questo modo abbiamo realizzato il vincolo di asse fisso con il numero minimo di reazioni vincolari scalari. Così abbiamo sistemato Fe, abbiamo sistemato anche φe, perché φe sarà la somma di φ₁ + φ₂.

E allora veniamo al calcolo della derivata seconda di G. La derivata prima di G l’abbiamo già calcolata, cioè la velocità di G, derivando rispetto al tempo, quando abbiamo calcolato l'energia cinetica, abbiamo visto che dG in dt, siccome questo secondo membro ha di quantità che dipendono dal tempo, solo questo versore j₁, perché b è costante, h è costante in virtù del fatto che il corpo è rigido e che il sistema di riferimento è solidale al corpo rigido. k₁ è il versore dell'asse fisso, quindi non varia rispetto al tempo, quindi cambia soltanto j₁ e la derivazione porta - bϑ lungo ī₁. Adesso per calcolare invece l'accelerazione del baricentro, dobbiamo fare la derivata seconda di G -  O, quindi la derivata prima della velocità del baricentro G.

In questo vettore cos'è che dipende dal tempo? b è una costante, perché il corpo è rigido e il sistema di riferimento O₁x₁y₁z₁ è solidale. Il numero di gradi di libertà di questo problema è 1 e come parametro lagrangiano possiamo scegliere l'angolo ϑ di rotazione che l'asse x₁ fisso nel corpo, forma con l'asse x, fisso nello spazio. Il verso è quello positivo in verso antiorario, in modo tale che il vettore velocità angolare del corpo rigido, ω, sia ϑ punto versore k.

Torniamo alla derivazione, quindi ϑ punto è in generale una funzione del tempo, quindi ϑ punto dipende dal tempo e ī₁ è un versore di un asse che si muove, quindi varia nel tempo. Allora dobbiamo derivare un prodotto, quindi - b, ϑ due punti e ī₁ non derivato, e poi abbiamo - b, ϑ punto, che non va derivato, e poi dobbiamo fare la derivata di ī₁ fatta rispetto al tempo. Per le formule di Poisson, vale ω vettor ī₁ e siccome ω è ϑ punto k₁ vettor ī₁, avremo che - b, ϑ due punti lungo ī₁ è il primo termine, e poi qui c'è di nuovo - b, poi siccome k₁ vettor ī₁ fa j₁ e poi c'è l'aggiunta del ϑ punto, allora avremo - bϑ² punto quadro, versore j₁. E quindi questo è il vettore accelerazione. Ci mancano ѱe di O e K di O. Calcoliamoci ѱe di O, il momento risultante delle reazioni vincolari esterne.

La reazione vincolare ₁ ha come punto di applicazione O₁, che coincide con O. Quindi per la reazione vincolare φ₁, il polo e il punto d'applicazione coincidono, quindi questa sarebbe φ₁, vettor O₁ - O, ma O₁ e O sono lo stesso punto, quindi questa non dà contributo. Allora rimane solo il contributo di φ₂, che sarà φ₂x ī₁ + φ₂y j₁, vettor polo O - O₂, punto di applicazione. La coordinata di O₂ la possiamo indicare con a. Allora O - O₂ è - a lungo k o k₁. E allora qui dobbiamo fare un prodotto vettoriale tra ī₁, vettor k₁, anche fa - j₁ e quindi qui ci viene - per - che fa +, quindi a φ₂x lungo j₁. Poi adesso dobbiamo fare j₁, vettor k₁ e siccome j₁ vettor k₁ fa ī₁, il - rimane, quindi viene - a φ₂y lungo il versore ī₁.

In questo modo abbiamo calcolato anche ѱe di O e adesso ci manca soltanto il momento delle quantità di moto o momento angolare K di O. Il momento delle quantità di moto di un corpo rigido con asse fisso, essendo O un punto fisso, K di O era uguale a K' di O, e quindi valeva -B’ϑ punto lungo il versore ī₁, - C'ϑ punto lungo il versore j₁ e infine + Cϑ punto lungo il versore k₁. Adesso dobbiamo però calcolarne la derivata temporale. O si fa la derivata pensando a quali sono le componenti che dipendono dal tempo, ma qui dipende dal tempo ϑ punto, ī₁, di nuovo ϑ punto, j₁ e qui di nuovo ϑ punto. In cinematica, abbiamo visto che la derivata di un vettore, in questo caso per noi sarebbe K di O, fatta rispetto al tempo, se viene calcolata da un osservatore, per esempio, come nel nostro caso Oxyz, questa è uguale alla derivata di quel vettore, derivata temporale, però fatta dall'osservatore mobile O₁x₁y₁z₁ e poi si deve aggiungere + ω, vettore velocità angolare, vettore K, il vettore che vogliamo derivare. Così facendo si risparmiano un po' di calcoli. La derivata del vettore K di O, derivata fatta dall'osservatore solidale.

Per l'osservatore solidale, ī₁, j₁ e k₁ non variano nel tempo. B', C' e C sono il momento d’inerzia rispetto all'asse z e i due momenti di deviazione rispetto a un sistema di riferimento solidale al corpo rigido, quindi non dipendono dal tempo, quindi questa derivata consiste solo delle derivate dei ϑ punto, per cui avremo - B’ϑ due punti lungo ī₁, poi - C’ ϑ due punti lungo j₁ e poi + C ϑ due punti lungo k₁. E poi dobbiamo sommare ω vettor K di O. Usiamo la matrice, quindi qua ci mettiamo ī₁, j₁ e k₁ nella prima riga, nella seconda riga ci mettiamo le componenti di ω che sono 0, 0 e ϑ punto, e nell'ultima riga le componenti di K di O, quindi - B’ ϑ punto, - C’ ϑ punto e C ϑ punto. Andiamo a mettere assieme già le componenti lungo ī₁, una l'abbiamo qui e l'altra la troveremo sviluppando questo prodotto vettoriale. Quindi avremo - B’ ϑ due punti e poi la componente qui lungo ī₁ sarà 0 per C ϑ punto che fa zero, - per - +, C’ ϑ² punto. Questa lungo ī₁. Poi adesso abbiamo la componente lungo j₁, quindi - C’ ϑ due punti e poi abbiamo la componente lungo j₁ che è data da ϑ punto per - B’ ϑ punto, quindi - B’ ϑ². Infine la componente lungo k₁, lungo k₁ qui non dà contributo, rimane soltanto questa. Quindi rimane + C ϑ due punti lungo il versore k₁. Abbiamo calcolato tutto, abbiamo tutto quello che ci serve per scrivere la prima equazione vettoriale e poi questa va proiettata lungo le tre direzioni scalari ī₁, j₁ e k₁ e lo stesso questa lungo ī₁, j₁ e k₁ moltiplicata scalarmente.

Partiamo dalla prima equazione M, massa per l'accelerazione del barIcentro G uguale a Fe + φe e proiettata lungo ī₁. Quindi rimane la prima componente dell'accelerazione di G lungo ī₁, moltiplicata per M, quindi ci viene -M b ϑ due punti, uguale, allora la Fe lungo ī₁ ha la componente Fe x, poi ci va + φe lungo ī₁, quindi φ₁x + più φ₂x. Poi abbiamo la componente lungo j₁ moltiplicata per M e quindi ci viene - Mb ϑ² punto uguale, Fe y, + φ₁y + φ₂y, che vengono da questa componente questa e questa, Fe e φe. Infine, l'accelerazione del baricentro G non ha componente lungo k₁ di conseguenza ci viene uno 0 uguale, c'è rimasto solo Fe z + φ₁z, perché la componente di φ₁ lungo l'asse z c'è per fissare ī₁, quella lungo z di φ₂ non c’è, perché basta solo un anello. E così abbiamo proiettato la prima equazione cardinale della dinamica, adesso proiettiamo la seconda.

Questo è il vettore derivata di K di O, fatto rispetto al tempo, e quindi avremo - Bϑ due + C’ ϑ² punto e poi ci rimane l'Ωe x, che viene da questo vettore e nella componente di ψe di O lungo l'asse ī₁, c'è - a φ₂y. Poi andiamo lungo j₁, c'è questa componente al primo membro, quindi - C’ ϑ, - B’ ϑ² punto = Ωe y e poi ci va la componente di ψe di O lungo j₁, quindi + a φ₂x. E infine l'ultimo termine, qui c'è la derivata del momento delle quantità di moto ha componente Cϑ due punti, dove C è il momento di inerzia rispetto all'asse z, uguale ad Ωe z, ψe di O non ha componenti lungo k₁, mentre Ωe di O ha questa componente. Abbiamo ottenuto un sistema di sei equazioni nelle sei incognite che sono φ₁x, φ₁y, φ₁z, φ₂x, φ₂y e infine ϑ. La numero 6 è l'equazione differenziale del moto.

C è il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse di rotazione per ϑ due punti, uguale ad Ωe z, che dipende da ϑ, da ϑ punto e in generale dal tempo, e questa è l'equazione differenziale del moto del corpo rigido con asse fisso.

Queste erano le 6 equazioni nelle 6 incognite che sono la ϑ(t), φ₁x, φ₁y, φ₁z, φ₂x, φ₂y. Dalla 1 alla 5 permettono di ricavare le reazioni vincolari scalari dinamiche. Dalla 5 ottengo la φ₂x, dalla quattro ottengo la φ₂y che dipende da ϑ, ϑ punto, da ϑ due punti e così via.

La terza equazione mi fornisce la φ₁z che è uguale a - Fe z, anche questa di ϑ, ϑ punto e del tempo. La seconda mi dà la φ₁y, perché la φ₂y ce l’abbiamo già dalla 4 e infine la φ₁x che mi viene dalla prima equazione. Questa è la risoluzione del problema del moto del corpo rigido con asse fisso.

Collegato a questo problema del corpo rigido con asse fisso, c'è un problema che si chiama il problema dell'asse centrato. Mi posso chiedere sotto quali condizioni le reazioni vincolari di un corpo rigido che ha un asse fisso, quindi come nel caso che abbiamo appena considerato, dipendono solo dalle forze attive esterne e quindi siano indipendenti dal moto del corpo. Quindi qual è il problema dell'asse centrato? Il problema dell'asse centrato è di chiedersi sotto quali condizioni, cioè quali siano le condizioni in cui le reazioni vincolari di un corpo rigido con asse fisso, dipendono solo dalle forze attive esterne e quindi sono indipendenti dal moto del corpo rigido.

Dato un corpo rigido con asse fisso, le equazioni cardinali della dinamica sono queste, la derivata di K di O fatta rispetto al tempo, O in punto fisso, che è uguale a Ωe di O + ψe di O. Mi chiedo sotto quali condizioni le reazioni vincolari del corpo rigido con asse fisso dipendono soltanto dalle forze attive esterne. Per riuscire a vedere questo, riscrivo queste equazioni cardinali in questo modo, cioè ricavo φe dalla prima, che posso scrivere come - Fe + massa totale del sistema per l'accelerazione del baricentro G. E nella seconda equazione ricavo la ψe con polo in O, che sarà data da - Ωe di O + la derivata temporale del momento delle quantità di moto con polo in O. Quindi ho semplicemente riscritto le equazioni cardinali della dinamica. Scritte in questo modo, però, le equazioni cardinali della dinamica ci fanno vedere come il vettore risultante delle reazioni vincolari esterne, il momento risultante delle reazioni vincolari esterne, siano scritti come somma di questi due termini nella prima e di questi due nella seconda, cioè si scrivono come somma di due termini:

1. Un primo termine è - Fe

2. Nella seconda - Ωe

dove questi due termini sono dovuti alle forze esterne. La somma quindi di questi due termini con altri due termini che sono questo e questo, che sono invece dovuti al moto del corpo del corpo rigido.

Quindi abbiamo scritto il vettore risultante e il momento risultante delle reazioni vincolari esterne come somma di due termini, uno che è dovuto alle forze attive esterne, l'altro che è dovuto solo al moto del sistema. In meccanica, i termini dovuti al moto del sistema si chiamano cimenti vincolari. Quindi questi rossi che abbiamo scritto qui si chiamano anche cimenti vincolari. E allora il problema dell'asse centrato è quello di determinare le condizioni per cui i cimenti vincolari sono nulli, indipendentemente dal moto ϑ(t) del corpo rigido con asse fisso.

Andiamo a riprendere le equazioni che abbiamo scritto per il corpo rigido con asse fisso. Come facciamo a far sì che i cimenti vincolari siano nulli indipendentemente dal moto ϑ(t) del corpo? I cimenti vincolari vengono da qui e vengono da qui. Non possiamo dire che ϑ punto o che ϑ due punti siano 0, perché questo è un caso in cui il moto non c'è, il moto ci deve essere.

1. L’unica possibilità perché questo sia nullo è che b sia 0. Vuol dire che il baricentro dovrebbe appartenere all'asse. Quindi una prima ipotesi affinché sia soddisfatto il problema dell'asse centrato, G deve appartenere all'asse di rotazione, cioè b = 0. Questo è come dire l'asse di rotazione deve essere baricentrico.

2. Per rendere di nuovo anche i cimenti vincolari nulli e quindi far sì che le reazioni vincolari del corpo rigido con asse fisso dipendano solo dalle forze attive esterne, e quindi siano indipendenti dal moto del sistema, basterebbe far sì che si annullino questi primi membri e siccome non possiamo agire su ϑ punto e su ϑ due punti, se B’ e C’ sono 0, questi termini sono nulli, cioè l’asse fisso deve essere principale d’inerzia.

Se si verificano questa condizione 1) e condizione 2), allora si dice che l'asse è centrato. Quindi se il baricentro appartiene all'asse di rotazione, quindi se l'asse di rotazione è baricentrico e inoltre anche principale di inerzia, allora l'asse si dice centrato e questo significa che la rotazione del corpo rigido che ruota attorno all'asse fisso non produce effetti meccanici sull'asse e questo è molto importante, se per esempio si pensa al problema dell'equilibratura delle ruote dei veicoli. Dire che l'asse è centrato è come dire che la rotazione non produce effetti meccanici sull'asse. Quindi se l'asse è centrato, i cimenti vincolari sono nulli e la conseguenza pratica è che non ci sono effetti meccanici, dovuti alla rotazione, sull’asse.

Consideriamo il corpo rigido 𝒞 che ha un punto fisso O₁ e vogliamo studiare il moto di questo corpo rigido. Dobbiamo fissare un sistema di riferimento e quindi considero un sistema di riferimento con origine in O₁ e che sia fisso, quindi un sistema di riferimento inerziale che indichiamo con gli assi x y e z e questo è un sistema di riferimento fisso. Poi consideriamo un sistema di riferimento sempre con origine in O₁, O₁x₁y₁z₁ che sia solidale al corpo rigido 𝒞. E supponiamo di sceglierlo per comodità principale d’inerzia e quindi questa ipotesi ci dice che è A’, B’ e C’, cioè i momenti di deviazione del corpo rigido rispetto a questa terna, la terna solidale O₁x₁y₁z₁, dove abbiamo la linea nodale che è l'intersezione tra il piano O₁x₁y₁ solidale al corpo e quello O₁xy fisso nello spazio, questa azzurra è la linea nodale, allora diciamo che il numero di gradi di libertà del corpo rigido con punto fisso è 3 e come parametri lagrangiani scegliamo i tre angoli Eulero, quindi l’angolo ѱ, l’angolo φ e l’angolo ϑ.

Per studiare il motto del corpo rigido con punto fisso, è un corpo rigido, il punto fisso è un vincolo perfetto, allora possiamo applicare le equazioni cardinali della dinamica e quindi possiamo scrivere che la massa totale per l'accelerazione del baricentro G è uguale a Fe + φe, inoltre, la derivata del momento delle quantità di moto, derivata fatta rispetto al tempo e, calcolando il momento delle quantità di moto con polo nel punto fisso, vale Ωe di O₁ + ψe di O₁. Il fatto di avere il punto fisso, fa si che il termine aggiuntivo, che chiama in gioco la velocità del baricentro, quindi la quantità di moto del sistema e la velocità del polo, sia assente. Quindi queste sono le equazioni cardinali della dinamica.

Supponiamo che sul corpo rigido agisca un sistema di forze attive, che sia noto attraverso i vettori caratteristici Fe e Ωe, Ωe con polo nel punto O₁. Questi vettori per comodità li rappresentiamo nella base del sistema di riferimento solidale. Quindi scriveremo Fex versore ī₁ + Fey versore j₁ + Fez versore k₁ e analogamente il momento Ωe, con polo in O₁, sarà Ωex lungo il versore ī₁ + Ωey lungo il versore j₁ + Ωez lungo il versore k₁. In queste equazioni, Fe e Ωe di O₁ sono dati.

Vediamo il sistema delle reazioni vincolari. È un corpo rigido con un punto fisso, quindi l'unico vincolo è in O₁, per cui la reazione vincolare si avrà nel punto O₁ e sarà una reazione vincolare di punto fisso, quindi, un φ di O₁ che  sarà uguale a φ₁x lungo ī₁ + una φ₁y lungo j₁ + una φ₁z lungo k₁, reazione vincolare di punto fisso. Avendo un'unica reazione vincolare applicata nel punto O₁, il momento della reazione vincolare con polo in O₁ è di necessità 0, perché c'è un'unica reazione vincolare applicata proprio nel polo e di conseguenza questo termine non c'è, non dà contributo. La seconda equazione cardinale della dinamica, non contenendo le reazioni vincolari, darà luogo a tre equazioni scalari che, non contenendo le reazioni vincolari, ci danno direttamente le tre equazioni differenziali del moto del corpo rigido con punto fisso.

Quindi le equazioni differenziali del moto del corpo rigido con punto fisso si ottengono direttamente da questa equazione, proiettando lungo le tre direzioni scalari ī₁, j₁ e k₁.

K di O₁ sarà dato da A p versore ī₁, + B q versore j₁, + C r versore k₁, dove p, q ed r sono le componenti del vettore velocità angolare del corpo rigido, quindi ω è p ī₁ + q j₁ + r k₁ e A, B e C sono i momenti principali di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse x₁, y₁ e z₁, rispettivamente. La terna è principale di inerzia, quindi questi elementi sono nulli.

Ci serve la derivata di K di O₁ fatta rispetto al tempo e facciamo la derivata con la formuletta che abbiamo visto in cinematica, cioè la derivata di K di O₁ fatta rispetto al tempo, derivata dall'osservatore fisso,  la possiamo calcolare come la derivata temporale di K di O₁ fatta dall'osservatore mobile, quello solidale, e poi ci va + Il vettore velocità angolare ω, vettor il vettore stesso, K di O₁.

Se la derivata di questo vettore la fa l'osservatore mobile, per l'osservatore mobile ī₁, j₁ e k₁ non dipendono dal tempo. A, B e C non dipendono dal tempo comunque, perché sono i momenti di inerzia, i momenti principali di un corpo rigido rispetto a una terna solidale, l'unica cosa che dipende dal tempo sono le componenti del vettore velocità angolare. Quindi avremo a A p punto versore ī₁, + B q punto versore j₁, + C r punto versore k₁ e poi aggiungiamo il prodotto vettoriale, cioè ī, j₁, k₁. Nella seconda riga mettiamo p, q ed r, le componenti del vettore velocità angolare, ω, e nell'ultima riga le componenti di K di A p versore ī₁, + B q versore j₁, + C r versore k₁, quindi A p, B q e C r. Adesso mettiamo assieme tutte le componenti. Quella lungo ī₁, come primo contributo, c'è A p punto, poi adesso dobbiamo prendere il contributo del prodotto vettoriale lungo ī₁, quindi sarà C per r q - B per r q. Quindi questo è - C - B per q r e questa è la componente lungo ī₁.

Adesso andiamo avanti con la componente lungo j₁, cioè B q punto che viene da questo termine e poi dovremo prendere la componente lungo j₁ del prodotto vettoriale e siccome è di posto 1, 2 sarà r per A p -p per Cr e quindi avremo B q punto + A - C per p r e questo lungo j₁ e questo infine lungo k₁ avremo C r punto che viene da qui, + l'ultimo termine che viene da p per B q - q per A p. Quindi più, questo è B - A p per q lungo k₁. In questo modo abbiamo scritto la derivata, il primo membro, di questa seconda equazione, quella dei momenti.

Adesso proiettiamo dK₁ in dt uguale a Ωe di O₁, la proiettiamo lungo ī₁, j₁ e k₁ e quello che si ottiene sono le  equazioni di Eulero. Quindi A p punto + (C - B) qr =  Ωex (ѱ, 𝜑, ϑ, ѱ punto, 𝜑 punto, ϑ punto, t).

La seconda equazione sarà Bq punto + (A - C) pr = Ωey (ѱ, 𝜑, ϑ, ѱ punto, 𝜑 punto, ϑ punto, t), infine C r punto + (B - A) pr = Ωez (ѱ, 𝜑, ϑ, ѱ punto, 𝜑 punto, ϑ punto, t).  Queste queste sono le equazioni di Eulero e sono le equazioni del moto del corpo rigido con punto fisso.

Sono equazioni differenziali del secondo ordine nelle incognite che sono ѱ, 𝜑 e ϑ. Qui vediamo soltanto ѱ punto, 𝜑 punto, ϑ punto, il massimo ordine di derivazione e qui delle derivate seconde non ne vediamo.

Il vettore velocità angolare ω lo possiamo scrivere come ѱ punto lungo il versore k + 𝜑 punto lungo il versore k₁, perché è la composizione dei tre stati cinetici rotatori, + ϑ punto lungo il versore 𝓁. 𝓁 è il versore della linea nodale e lo si può scrivere con le sue componenti lungo i₁ e lungo j₁ e quindi cos𝜑 lungo il versore ī₁ - sin𝜑 lungo j₁ e p, q ed r , che invece sono le componenti del vettore velocità angolare lungo ī₁, j₁ e k₁, affinché ci sia questa uguaglianza anche tra i secondi membri di questa equazione e di questa, allora si avrà che p è uguale a ѱ punto sinϑ sin𝜑 + ϑ punto cos𝜑, q è ѱ punto sinϑ cos𝜑 - ϑ punto sin 𝜑 e infine la r vale ѱ punto cosϑ +  𝜑 punto e quindi questa è la relazione che c'è tra p, q e r e gli angoli Eulero e le loro derivante.

Le equazioni di Eulero non verranno richieste in sede di esame. Per il moto di un corpo rigido di un punto fisso si ottengono queste equazioni che vengono direttamente dalla seconda equazione cardinale della dinamica e si chiamano equazioni di Eulero.