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FEM: Numerisches Verfahren zur Lösung ingeneurwissenschaftlicher Probleme, die durch sogenannte partielle Differentialgleichungen beschrieben werden (Bsp.: Euler-Bernoulli-Balken)

Vorgehen: Einteilen des Volumens in kleine, einfache geometrische Elemente (Bsp.: Dreiecke, Vierecke,…)

1. Beschreiben des Rechtecks

2. durch das Vierteln der Bereiche Rechtecke erzeugen, in denen nur noch ein Punkt (Knoten) enthalten ist

3. ausgehend von den Rändern Dreiecke erzeugen und im Inneren Vierecke erzeugen

• Menge von Punkten so durch Geradenstücke zu verbinden, dass ein Dreiecksnetz entsteht, welches eine bestimmte Eigenschaft aufweist

• Eigenschaft ist, dass in dem entstehenden Dreiecksnetz in jedem Umkreis eines Dreiecks kein weiterer Punkt liegen darf

• Triangulation von Punktemengen, sodass Dreiecke entstehen, bei denen kein weiterer Punkt im Umkreis der Dreieckspunkte liegt.

• Wird zur Vernetzung in der FEM verwendet.

• Watson-Algorithmus als Beispiel dargestellt:

  • a) Ausgangsnetz

  • b) Ein neuer Knoten wird eingebracht

  • c) Darstellung der Umkreise aller Dreiecke

  • d) Löschen der Dreiecke, in deren Umkreis der neue Knoten liegt

  • e) Verbinden der Knoten zu neuen Dreiecken

Bei dieser Methode geht man wiederum von einer Einteilung der Randkurven (dies können innere und äußere Ränder sein) aus. Die Vernetzungsalgorithmen bei dieser Methode vernetzen zunächst eine Lage z.B. durch Drei- oder Vierecke der Randkurve, um dann in Richtung des Inneren des zu vernetzenden Bereiches fortzuschreiten.

Eine Möglichkeit, möglichst viele Vierecke zu erhalten, ist die Aufteilung von Dreiecken in Vierecke. Im linken Teil des Bildes ist ein Netz dargestellt, das aus einem Dreieck und zwei Vierecken besteht. Im rechten Teil erkennt man eine Möglichkeit, dieses in ein reines Vierecksnetz zu überführen.

Um ein Gebiet in ein reines Rechtecknetz zu überführen, wird es zunächst in rechteckähnliche Teilgebiete aufgeteilt. Jedes Teilgebiet wird dann mit gleichmäßig verteilten horizontalen und vertikalen Linien in ein regelmäßiges Rechteckgitter unterteilt. Schließlich werden die Gitter an den gemeinsamen Rändern angepasst, um ein nahtloses, zusammenhängendes Rechtecknetz für das gesamte Gebiet zu erzeugen.

Durch die Wahl von Ansatzfunktionen höherer Ordnung erreicht man zwei Ziele. Zum einen steigt die Approximationsgüte zum anderen passen sich die Elemente mit höheren Ansatzfunktionen gekrümmter Geometrie besser an.

• Dreieck: TRIA3 (lineare Ansatzfunktion) und TRIA6 (quadratische Ansatzfunktion)

• Viereck: QUAD4 (lineare Ansatzfunktion) und QUAD8 (quadratische Ansatzfunktion)

Ein QUAD8-Element wird durch acht Knoten (Punkte) beschrieben.

Ein QUAD9-Element wird durch neun Knoten (Punkte) beschrieben.

• 4 Eckpunkte

• 4 Punkte zwischen den Eckpunkten

• 1 Punkt in der Mitte

Dreieckselemente besitzen zum einen den Vorteil, dass auch komplexe geometrische Flächen mit Hilfe automatischer Vernetzungsprogramme in Dreiecke eingeteilt werden können und dass zum anderen die Umsetzung in Computerprogramme recht einfach ist.

Ein Beispiel für ein Viereckselement höherer Ordnung ist das Hermite-Element. Hermite-Elemente verwenden nicht nur die Knotenpunkte, sondern auch die Ableitungen (Gradienten) an den Knotenpunkten, um die Formfunktionen zu definieren. Dies erlaubt eine höhere Genauigkeit und Glattheit im Vergleich zu Serendipity- und Lagrange-Elementen, die nur die Werte der Funktion an den Knotenpunkten berücksichtigen.

Man benötigt für ein QUAD8-Element acht Ansatzfunktionen.

Jede Ansatzfunktion ist an genau einem Knoten Eins und an den anderen beiden Knoten Null.

• Quadtree

• Mapping

• Quad

• numerische Methode zur Approximation des Wertes eines bestimmten Integrals durch eine gewichtete Summe der Funktionswerte an bestimmten Punkten innerhalb des Integrationsbereichs

Vollständige Integration beinhaltet die Integration der Materialmatrix über das gesamte Element, was zu einer genauen Berechnung der Spannungen führt, aber mit dem Risiko von Steifigkeitssperren verbunden sein kann. Reduzierte Integration hingegen integriert die Materialmatrix nur über das Zentrum des Elements, was das Risiko von Steifigkeitssperren reduziert, aber potenziell zu ungenauen Ergebnissen bei stark gekrümmten oder dünnen Elementen führen kann.

Null-Energie-Moden sind unphysikalische Schwingungsmoden in einem Finite-Elemente-Modell, die keine kinetische oder potenzielle Energie besitzen und daher keine Arbeit leisten. Diese Moden treten häufig auf, wenn ein System übermäßig starr modelliert wird, was zu redundanter oder unnatürlicher Steifigkeit führt. Die Präsenz von Null-Energie-Moden kann zu ungenauen Ergebnissen führen und sollte vermieden werden, indem das Modell korrekt parametrisiert und stabilisiert wird.

Der Locking-Effekt tritt in der Finite-Elemente-Analyse auf, wenn steife Elemente (z. B. Dickbleche oder Balken) mit linearen Elementen modelliert werden, was zu unphysikalisch hohen Steifigkeiten oder unnatürlichen Verformungen führen kann. Dies geschieht, weil die linearen Elemente Schwierigkeiten haben, die Steifigkeit des Materials richtig zu erfassen, was zu inkorrekten Ergebnissen führen kann.

Für die Spannungsberechnung sollten Elementtypen verwendet werden, die eine ausreichende Freiheitsgradanzahl besitzen und die Spannungen korrekt erfassen können. Dazu gehören Elemente mit ausreichender Flexibilität, wie zum Beispiel Viereckselemente (QUAD4), Dreieckselemente (TRIA3), und hochwertige Elemente höherer Ordnung wie das bilineare Viereckselement (QUAD9) oder das quadratische Dreieckselement (TRIA6).

Elementtypen mit starken Einschränkungen in Bezug auf die Spannungsberechnung sind solche mit unzureichender Freiheitsgradanzahl wie das Mindlin-Element (MITC) oder Biegebalken-Elemente. Diese sind nicht für die Spannungsberechnung geeignet, da sie die Biege- und Scherbeanspruchungen nicht korrekt erfassen können und zu inkorrekten oder unrealistischen Ergebnissen führen können.

• aspect ratio

• skew angle

• taper

• warping (dreidimensional)

• aspect ratio: Seitenverhältnis des Rechtecks (möglichst Eins)

• skew angle: Abweichung von 90° Winkel (langgestrecktes Element)

• taper: Gegenüberliegende Elementkanten unterscheiden sich deutlich

• warping (3D): maximaler Winkel zwischen (gedachten) Dreiecksnormalen

Dreieckselemente spielen in der Finite-Elemente-Methode eine wichtige Rolle, da sie flexibel einsetzbar sind und sich besonders gut zur Diskretisierung komplexer Geometrien und unregelmäßiger Bereiche eignen. Ihre Fähigkeit, sich an nahezu jede Form anzupassen, ermöglicht eine einfache und effiziente Vernetzung selbst bei komplizierten Randbedingungen und Geometrien.

Ein wichtiger Unterschied zwischen Vier- und Dreieckselementen in Bezug auf die Spannungsberechnung ist, dass Vierknotenelemente (wie Viereckselemente) häufig eine bessere Spannungsverteilung und Genauigkeit bieten, während Dreieckselemente tendenziell weniger genau sein können, insbesondere bei groben Netzen oder unregelmäßigen Formen.

Eigenfrequenzen:

• Genauigkeit: Feinere Netze → genauere und höhere Eigenfrequenzen.

Steifigkeit:

• Konvergenz: Feinere Netze → exaktere Erfassung der Struktursteifigkeit.

• Numerische Verzerrungen: Reduziert bei feineren Netzen.

Maximale Spannungen:

• Lokale Spannungsgradienten: Feinere Netze → präzisere Erfassung von Spannungsspitzen.

• Spannungsspitzen: Gröbere Netze glätten, feinere Netze erfassen genauer.

• Feinere Netze: Höhere Genauigkeit, höherer Rechenaufwand.

Für eine vollständige Integration eines QUAD4-Elements (lineares Viereckselement) sind mindestens 4 Integrationspunkte notwendig.