Spieltheorie

-> Teil der positiven Analyse, Verhaltensvorhersage

=> Betrachtung von “strategischer Interaktion”

Jeder Spieler…

… Überlegt, was die anderen sich überlegen und tun werden,

… Und versucht, seine Interaktion darauf zu optimieren (= bestmöglich verbessern)

=> Eigennütziges Handeln

• Spieler

• Handlungsmöglichkeiten (≠ „Strategien“ = „Handlung X wenn A“)

  • Strategie ➜ Zusammenhang zwischen Beobachtung und Handlung

• Auszahlungen als Funktion der Handlung

• (Informationsmengen: was weiß welcher Spieler wann?)

Alle handeln gleichzeitig, d.h. ohne zu wissen, was die anderen tun (kein: wenn-dann)

• Darstellen in Matrixform

• Strategieraum = Handlungsraum

• Beispiel: Stein, Schere, Papier

=> Dominante Strategie

=> Strategie zur Entscheidung

Strategie A "dominiert" Strategie B, wenn

A nie (d.h. egal was der andere macht) schlechter ist als B, aber wenigstens bei manchen Strategien des anderen Spielers besser ist als B.

Dominierte Strategie ⇒ eine Strategie, die von einer anderen Strategie dominiert wird ➤ wird rational nie gewählt

Dominante Strategie⇒ eine Strategie, die alle anderen Strategien dominiert ➤ wird rational immer gewählt

=> auf Wiederholung beruhend

Jeder verhält sich so, dass er eine "beste Antwort" auf das Verhalten des / der anderen gewählt hat.

=> Niemand kann allein von der GG-Verhaltenskombination abweichen, ohne sich zu verschlechtern

Auffinden: Pfeile gehen nur rein in dieses Feld

Wie werden sich REM-Spieler (rationale, eigennutzenmaximierende) verhalten, wenn Sie das Spiel kennen und wisse, dass alle anderen Spieler es kennen und das voneinander auch wissen etc. (common knowlegde)?

=> jeder Spieler wählt genau eine Verhaltensweise/Strategie

=> Spieler wählt zufällig (mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten) zwischen Verhaltensweisen

-> jeder wählt beste Antwort auf gemischte Strategie der anderen

mindestens zwei Spieler wählen jeweils mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten eine von mehreren Verhaltensweisen/Strategien

Spieler wählen zufällig (mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten) zwsichen Verhaltensweisen

Was wäre, wenn sich der andere stochastisch verhielte?

→jeder Spieler verhält sich „mal so, mal so“, nicht vorhersehbar, allerdings mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten 

z.B.:

• Matching Pennies: Spieler werfen Münze, statt zu entscheiden

• Stein-Schere-Papier: Spieler wählen zufällig St–Sch–Pa

• enforcement game: „Täter“ „entscheidet“ spontan ob er‘s tut, Polizist kontrolliert „unvorhersehbar“ (=zufällig)

• Ständig wiederholendes "random matching" von Paaren

• Verhaltensroutinen, die jeder selten ändern kann

• Wenn Möglichkeit zur Änderung, dann beste Antwort

• Aussagen über Stabilität von Nash-GG in gemischten Strategien (und damit Relevanz von Verhaltensvorhersagen)

  • Nash-GG ist „stabil“,

    wenn die Dynamik, die sich daraus ergibt,

    dass Strategien mit höheren erwarteten Payoffs mit

    höherer Wahrscheinlichkeit als Routine gewählt werden,

    bei kleinen Abweichungen vom GG zu diesem zurück führt.

  • Nash-GG ist „instabil“,

    wenn diese Dynamik

    bei kleinen Abweichungen vom GG immer weiter weg führt.

    
    

    
    

    => Vorstellung von Entwicklungen von Gesellschaften und deren Verhalten im Zeitverlauf und abseits von Gleichgewichten.

     

Mindestens ein Spieler kennt vor einer Entscheidung mindestens eine Entscheidung eines anderen Spielers (wenn-dann)

• Reaktion auf das Beobachtete handeln des anderen

• Darstellung in Baumform

• Strategieraum viel komplizierter als Handlungsraum

• Beispiel: Schach, Skat, Poker, Mensch ärgere dich nicht

genau 1 Quelle / Ursprung / Anfangsknoten

= Entscheidungspunkt des ersten Spielers (evtl. Natur)

weitere Knoten

= weitere Entscheidungspunkte von Spielern

und dazwischen Äste

= Verbindungen zwischen Knoten

= Entscheidungsmöglichkeiten

Endknoten mit Auszahlungen

= Enden des Spiels

Verbindungslinien

= Knoten innerhalb einer Informationsmenge

=> durch Beobachtung vorherigen Verhaltens bedinigte Handlungsanweisung, also z.B.:

“Wenn X gespielt wurde, dann mache ich R.

Wenn Y gespielt wurde, dann mache ich Q.

Wenn etc….”

=> Nash-GG ist „teilspielperfekt“ wenn das Nash-GG in jedem Teilspiel (= das Spiel ab einem bestimmten Knoten) wieder ein Nash-GG ist

=> leicht zu finden durch „Rückwärts-Induktion“:

1. was ist die beste letzte Entscheidung?

2. was ist die beste vorletzte Entscheidung, wenn unterstellt wird, dass jeweils die beste letzte Entscheidung gewählt wird?

3. …

• Nächste Wiederholung immer mit einer ausreichend großen

Wahrscheinlichkeit  > 0,  ≤ 1

• „Schatten der Zukunft“ bleibt immer (gleich) groß

⇒ Angst vor Bestrafung in der Zukunft kann kooperatives Verhalten fördern

• sogar im Gefangenen-Dilemma

  • Folk-Theorem: jeder Grad an Kooperation kann langfristig erreicht werden

  • Bsp: „grimmige Kooperation“

    • Eine symmetrische Gleichgewichtsstrategie ist die "grimmige Kooperation":

      • Kooperiere, solange niemand defektiert hat; danach defektiere immer.

Bei ausreichend hoher Bewertung der Zukunft und ausreichend hoher Fortsetzungswahrscheinlichkeit sind alle durchschnittlichen Rundenauszahlungen erreichbar, die…

• Bei ausreichend hoher Bewertung der Zukunft und ausreichend hoher Fortsetzungswahrscheinlichkeit wird Kooperation selbst im Gefangenen-Dilemma zu einem Nash-Gleichgewicht.

• Problem: es gibt dann viele Nash-Gleichgewichte, in denen beide einigermaßen oft kooperieren, und manche sind für den einen Spieler besser und andere für den anderen.

• Mögliche Lösung für das Problem: Recht gibt Hinweise, was zu tun ist.

➥ Menschen kooperieren bei wiederholten Gefangenendilemmata am Anfang doch, erst in den letzten Runden setzt sich die Defektion durch.

Beachte: das ist kein Nash-Gleichgewicht, denn mindestens ein Spieler kann bei jeder noch so komplizierten Strategie etwas früher anfangen zu defektieren, ohne etwas zu verlieren, aber mit einem Gewinn aus der ersten Defektion.