Abstandsformel im Raum
d(A;B)=√(b1-a1)²+(b2-a2)²+(b3-a3)²
Verschiebungsvektoren
Betrag eines Spaltenvektors
—>
|a|=√x²+y²+z²
Kollineare Vektoren
a=rb oder b=r*a
Komplanare Vektoren
a, b und c heißen komplanar, wenn einer der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellbar ist:
a=r*b+r*s oder b=r*a+s*c oder c=r*a+s*b
Komplanare Vektoren liegen in einer Ebene
Geradengleichung
g:x=a+r*m
a: Stützvektor
m: Richtungsvektor
r: Geradenparameter
Wenn die Richtungsvektoren kollinear sind, was überprüft man als nächstes und was bedeuten die Ergebnisse?
Liegt g=h?
—>g=h identisch
—>g/=h echt parallel
Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, was überprüft man als nächstes und was bedeuten die Ergebnisse?
Schneiden sich g und h?
—>g geschnitten h schneidend
—> g und h ungleich: windschief
Schnittwinkel von Geraden
cos(y)=|m¹*m|/(|m¹|*|m|)
Vektorprodukt
(a2b3-a3b2)
a×b=(a3b1-a1b3)
(a1b2-a2b1)
Wie bestimmt man die Lagebeziehung von Punkt und Ebene?
Punktprobe
Welche Lagebeziehungen können Ebenen und Geraden haben?
Parallelität: keine gemeinsamen Punkte, Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene oder Richtungsvektoren beider komplanar
Gerade in Ebene: Gerade parallel zur Ebene und Stützvektor der Geraden in der Ebene
Einen Schnittpunkt: ein gemeinsamer Punkt
Wie bestimmt man die Lage von Gerade und Ebene
Gerade in Ebene (am besten Koordinatengleichung) einsetzen
Wie bestimmt man die Lage zweier Ebenen?
Setzt sie ineinander ein, am besten Parameter- und Koordinatenform
Wenn sie sich schneiden, gibt es eine Schnittgerade. Diese erhält man durch das Einsetzen des vorherigen Ergebnisses in die Parameterform und das Zusammenfassen davon.
Schnittwinkel zweier Geraden
Schnittwinkel Gerade und Ebene
Schnittwinkel zweier Ebenen
Parametergleichung—>Normalengleichung
Normalenvektor beider Richtungsvektoren durch Vektorprodukt bestimmen
Stützvektor übernehmen
Normalgleichung—>Parametergleichung
Richtungsvektoren durch ausprobieren bestimmen
Normalengleichung—>Koordinatengleichung
Klammer auflösen
Mit Skalarprodukt zusammenfassen
Vektor x durch Vektor (xyz) ersetzen und ausmultipilzieren
Koordinatengleichung—>Normalengleichung
Klammern bilden
Und dann weiter 💀
Abstand Punkt/Ebene
Lotfußpunktverfahren:
Lotgerade: g:x=p+rn (p: Ortsvektor des Punktes, n: Normalvektor der Ebene)
Schnittpunkt von Lotgerade und Ebene
Abstand von Schnittpunkt und Abstandspunkt berechnen
Hesse’sche Normalform
Hessische Normalenform der Ebene aufstellen mit Normaleneinheitsvektor
Punkt statt x einsetzen
Abstand einer Geraden bzw parallelen Ebene zu einer anderen Ebene
Wie Punkt-Ebene
Abstand Punkt/Gerade
Normalengleichung der Hilfsebene H, die senkrecht zu g ist und P enthält
Schnittpunkte F von Hilfsebene H und g
Abstand PF berechnen
Abstand paralleler Geraden
Wie Punkt Gerade
Abstand windschiefer Geraden1.
Gemeinsamen Normalenvektor zu beiden Geraden finden
Normaleneinheitsvektor bestimmt
HNF style Abstand berechnen
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