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Was ist die mittlere Änderungsrate?
Die mittlere Änderungsrate ist der durchschnittliche Anstieg oder Abfall einer Funktion in einem bestimmten Intervall.
f(b) - f(a)
b-a
Was ist die momentane Änderungsrate?
Der momentane Änderungsrate beschreibt den Anstieg bzw Fall einer Funktion an einer bestimmten Stelle. Sie wird mit der ersten Ableitung berechnet.
Was sind die notweige- und die hinreichende Bedingung?
Notwendige Bedingung: f(x)=0
Hinreichende Bedingung: f’(x)≠0
(Alternative zur Hinreichenden Bedingung ist das vorzeichenwechselkriterium)
Was ist eine mögliche Bedeutung der ersten Ableitung im Sachzusammenhang? (Besucher in einem Museum)
Der sachzusammenhang wäre hier z.B wie viele Menschen neu rein kommen zu einem Zeitpunkt x
Monotonieverhalten einer Funktion.
Wie verhält sich eine Funktion f, wenn gilt: f’(x) > 0 ?
f ist streng monoton steigend.
Monotonieverhalten einer Funktion
Wie verhält sich eine Funktion f, wenn gilt: f’(x) < 0 ?
f ist streng monoton fallend.
Wie bestimme ich ein Intervall, in dem eine Funktion streng monoton fällt, bzw. steigt?
1. Ableitung bilden
Nach Extremstellen suchen
Schauen wie sich die Funktion dazwischen verhält
Bedeutung der 2. Ableitung:
Es gilt: f’’(x) > 0
Warum kann ich die 2. Ableitung zur Überprüfung von Extremwerten, in Form der hinreichenden Bedingung benutzen?
Die Konkavität, also die links- bzw rechtswölbung des Graphen, die durch die zweite Ableitung beschrieben werden kann, ist klar, dass ein Minimum hier für einen hochpunkt und ein Maximum für einen Tiefpunkt steht. (Konkav)
Definition: Wendestelle
Die Stelle am Graphen an dem sich die krümmung ändert. Hier ist x und y Koordinate gefragt. -> f’’(x) = 0; f’’’(x) ≠ 0
Definition: Wendepunkt
Die Stelle am Graphen an dem sich die krümmung ändert. Hier ist nur die x Koordinate gefragt. -> f’’(x) = 0; f’’’(x) ≠ 0
Definition: Wendetangente
Eine gerade, die den Graphen f an der Wendestelle berührt und so die gleiche Steigung hat.
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