3. Lagemaße & Streuung

Abbildung

biomodol-asymmetrisch: nicht spiegelbar

Mittelwert kann in irre führen

rechtsschied-asymmetrisch “linkssteil”

Bsp. EInkommen (viele haben wenig, wenig haben viel)

oinks viel, rechts wenig (Mittelwert sehr empfindlich für Verzerrungen)

linksschief-asymmetrisch “rechtssteil”

Bsp: Renteneinstigsalter

links wenig, rechts viel

Zeichnen Sie eine Verteilung der Variablen (welche Ausprägungen, welche Form der Verteilung, ...) und beschreiben Sie die Verteilung mit den entsprechenden Begriffen von oben

• X1: Die Haarlänge der Teilnehmer:innen der Veranstaltung

= bimodal (vermutlich)

• X2: Geburtsgewicht der weiblichen Neugeborenen in Köln im Jahr 2019

= unimodal

• X3: Anzahl der Geschwister der Teilnehmer:innen der Veranstaltung

= rechtsschief asymmetrisch

Die wichtigsten Lagemaße

• Modus: Der häufigste Wert

• Median: Der Wert „in der Mitte“

• Arithmetisches Mittel: Der „Durchschnitt"

Lagemaße sollen durch einen numerischen Wert charakterisieren, wo das „Zentrum“ oder der „Schwerpunkt“ einer Verteilung von Datenwerten liegt

—> sinnvoll interpretierbar nur dann, wenn die Verteilung ein solches Zentrum/Schwerpunkt besitzt

Formel des arithmetisches Mittels

Abbildung:

• Beispiel: Bruttoeinkommen von neun Personen

2000, 1900, 2100, 6700, 2500, 2200, 2300, 1900, 2500 (n=9)

Abbildung:

(2000+1900+2100+6700+2500+2200+2300+1900+2500)=

Hinweis:

∑ "Summenzeichen"

• Sinnvoll für metrische Daten, also mindestens Intervallskalenniveau

• Beachte: Häufig eine Zahl, die nicht in den Daten beobachtet wurde, z.B. durchschnittliche Kinderzahl pro Frau in Deutschland im Jahr 2019: 1,54

• Arithmetisches Mittel nicht sinnvoll interpretierbar bei bi- oder mehrgipfligen Verteilung

• Mit den Werten einer ordinalskalierten Variablen kann man nicht 'rechnen', da sie nur eine Rangordnung kennzeichnen!

Lösung:

• Einzeldaten werden der Größe nach geordnet

• Der Wert, der bei den nach Größe geordneten Daten genau in der Mitte liegt, heißt Median

Beispiel: Bruttoeinkommen von n = 9 Personen

1. Werte sortieren

2. 'Mitte' berechnen

𝑥- = 𝑥 (5) = 𝑥 (n +1) / 2

—> Median ist der Wert x(5) in der nach Größe geordneten Datenreihe

Also: Median lautet 𝑥- = 2200

Abbildung:

Abbildung Übung

Beispiel_ Bruttoeinkommen von n = 10 Personen

1. Werte sortieren

2. “Mitte” berechnen

Abbildung

Median lautet x strich = 2250

Abbildung:

1. Möglichkeit:

Tabelle anzeigen lassen und Wert suchen, bei dem die kumulierte Häufigkeit von 50% überschritten wird

tab variable

2. Möglichkeit:

Durch den sum-Befehl das 50%-Quantil anzeigen lassen

sum variable, detail

Beispiel:

Zustimmung zur Aussage "Sozialleistungen führen zu einer gerechteren Gesellschaft"

Abbilfung:

"Das Nettogesamtvermögen der Personen in Privathaushalten in Deutschland summiert sich 2017 auf 10,3 Billionen Euro. Legt man dieses auf alle Personen ab 17 Jahren um, so kommt man auf ein durchschnittliches individuelles Nettovermögen von rund 139.000 Euro. Der Median, also der Wert, der die reichere von der ärmeren Hälfte der Bevölkerung trennt, liegt bei 22.800 Euro. Bei etwa sechs Prozent der Bevölkerung ist das Nettovermögen negativ, dies bedeutet, dass die Verbindlichkeiten – hierbei insbesondere Konsumentenkredite – höher ausfallen als das Bruttovermögen.

Abbildung

MEdian: gibt Werte, die weiter rechts liegen

Mittelwert: sehr aufällig für Ausreißer

Abbildung:

• xp ist das sognannten p-Quantil, also der Wert, der in einer der Größe nach geordneten Reihe des Umfangs n so liegt, dass ein Anteil p kleiner oder gleichen diesem Wert ist

Abbildung:

• Spezielle p-Quantile:

Abbildung:

Abbildung:

Beispiel:

• DemModus(=4,disagree)zufolge stimmen die meisten ESS-Befragten der Aussage "Sozialleistungen belasten zu sehr die Wirtschaft" nicht zu.

Abbildung

Bei einer symmetrischen unimodalen Verteilung sind Modus, Median und Mittel identisch.

Abbildung:

Bei schiefen (asymmetrischen) Verteilungen unterscheiden sich die drei Lagemaße.

• Die hier abgebildete Verteilung ist rechtsschief/linkssteil.

• Der Modus liegt auf dem Gipfel.

• Der Median teilt die Daten in der Mitte.Da das rechte Ende der Verteilung „ausufernder“ ist, liegt die Mitte rechts vom Gipfel.

• Der Mittelwert wird stärker als der Median von den extremen Werten am rechten Ende der Verteilung beeinflusst.

Abbildunng:

Abboldung

Formel Varianz: Abbildungen

Beachte: Zur Deskription einer Stichprobe wird (eigentlich) n im Nenner verwendet (sogenannte "empirische Varianz")

• Die meisten Programme (inkl. Stata) verwenden allerdings standardmäßig die obige Formel mit n-1 (!)

• Denn: In der Inferenzstatistik muss n-1 verwendet werden (sogenannte Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit, 𝜎2& )

Abbildung:

Abbildung:

Die mittlere Arbeitszeit (arithm. Mittel) beträgt 38.7 Stunden

• Die Varianz ("durchschnittliche Abweichung vom Durchschnitt") beträgt 209 Stunden hoch 2

• Die Standardabweichung der wöchentlichen Arbeitszeit beträgt rd. 14.5 Stunden

= Quadratwurzel der Varianz, damit die Skala wieder der ursprünglichen Variablen entspricht

Dementsprechend auch nur für metrische Variablen geeignet, durschnittliche Abweichung vom Mittelwert

Abbildung Formel:!

Abbildung:

Abbildung:

• Verschiedene Merkmale können unterschiedliche Größenordnungen aufweisen, so dass die SD nicht sinnvoll verglichen werden können

Abbildung:

Der Variationskoeffizient 𝑉𝑥 = 𝑥̅ drückt die

Standardabweichung als Anteil des Mittelwerts aus ("relative Standardabweichung") Bezeichnung in Stata: cv = coefficient of variation

Abbildung:

Der Interquartilsabstand IQR ist die Distanz zwischen dem 25%-Quantil („unteres Quartil“) und dem 75%-Quantil („oberes Quartil“), d.h. IQR = x0.75-x0.25

Werte_intervall einer Variablen, in dem die mittleren 50% der Fälle liegen

Abbildung:

IQR ist geeignet av ordinalskalierten Variablen

Die Spannweite R einer Verteilung ist der Abstand zwischen dem kleinstem und dem größtem Wert.

R = max - min

Beispiel: Arbeitsstunden pro Woche (wkhtot)

Abbildung:

Abbildung:

Abbildung (Tabelle)

Abbildung:

tabstat variable, s (mean, var, sd)

Abbildung

• Verschiedene Merkmale können unterschiedliche Größenordnungen aufweisen, so dass die SD nicht sinnvoll verglichen werden können

• Der Variationskoeffizient drückt die SD als Anteil des Mittelwerts aus ("relative Standardabweichung")

Abbildung:

= Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten Wert

R = max-min

Abbildung: