Monotonie
Funktion mit:
wachsendem x immer größer werden oder konstant bleiben, heißt monoton wachsend
monoton fallend, wenn die Funktionswerte mit wachsendem x immer kleiner werden oder konstant bleiben
streng monoton wachsend sind Funktionen, deren Funktionswerte mit wachsendem x größer bzw. kleiner werden (streng monoton fallend), aber nirgends konstant sind
Lokale maximum und minmum
Hochpunkt Tiefpunkt
HP/TP:
1) Erste und zweite Ableitung bestimmen
2) Nullstellen der Ersten Ableitung
3) Nullstellen aus erste ableitung in zweite Ableitung einsetzen und dann
kann man hp und tp bestimmen. wenn zb 2 grösser als 0
dann ist es TP und wenn 0 kleiner ist als zb -2 dann HP
Zweite Ableitung (mit den Nullstellen aus der ersten Ableitung).
ist 0 größer als f (z.B. -6) dann lokales Maximum
ist 0 kleiner als f (z.B. 6) dann lokales Minimum
Wendepunkt berechnen UND Wendetangente
1) 1.2.3 Ableitung bestimmen
2) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen
3) Nullstellen in 3. Ableitung einsetzen (wenn f^^ = 0 Wendepunkt)
z.B. W(1/2)
DANN (Wendetangente):
y = m*x + b
1) 1 in erste Ableitung einsetzen
2) Ergebnis von (1) gleichsetzen mit y von Wendestelle plus +
2 = -3/4 * 1 + b
3) nach b auflösen
y = -3/4x + 2,75
LGS/Gauß-Verfahren
1) Dreieck einzeichnen
2) 2te und 3te Zeile mit der ersten Zeile plus oder minus rechnen nach möglichen 0
3) nach dem das Dreieck gebildet wurde
x1, x2,x3 bestimmen (nullen auslassen)
4) mit der Dritten Zeile beginnen und gleich x auflösen, usw
Nachweis Extrempunkt E(-1/4)
Normalform, erste und zweite Ableitung in -1 einsetzen
e funktion gleichung lösen ehoch-2x -5ehoch-x
ehoch-x = z
1) gleich null setzen
2) (ehoch-x)hoch2 -5ehoch-x = 0
3) zhoch1 - 5z
4) Ausklammern z * (z-5) = 0
5) Nullstellen bestimmen
6) x1 und x2 in ln einsetzen
Berechnen Gleichung der Tangente im Punkt P(2/4) am Schaubild der Funktion K mit k(x) = xhoch3 -2x.
MERKE: Steigung erhält man über erste Ableitung, Wir wissen, dass e0=1
1) Erste Ableitung
2) Berechnung der Tangensteigung
m: f^(2) = 3*2hoch2 - 2 = 10m
y einsetzen in m*x + c
4 = 10*2 + c auflösen
mit den erhaltenen werten y bestimmen
Interpretation
g(x) > 1 liefert informationen über y werte:
y werte der Punkte auf dem Schaubild von g sind größer als 1 oder Schaubild verläuft oberhalb der Gerade y = 1
g^(x) < 0 liefert Informationen über y werte
Steigungen der Tangente an das Schaubild von g sind negativ pder Funktionen sind monoton fallend
g^^(x) > 0 liefert Informationen zur Krümmung des Schaubildes, das Schaubild von g ist linksgekrümmt
Aufstellen eines Gleichungssystems; Schaubild einer Polonymfunktion 3 Grades hat an der Stelle x = 2 eine Tangente mit der Steigung 5, einen Tiefpunkt T(1/-1) und schneidet die y-achse bei -1.
1) Ansatz der Polonymfunktion: f(x) = axhoch3 + bxhoch2 +cx +d
2) Ableitung: f^(x) = 3axhoch2 + 2bx + c
Bedingungen:
An der Stelle x = 1 existiert die Steigung 5: f^(2) = 5 : 12a + 4b + c = 5
T(1/-1) ist ein Punkt auf dem Schaubild: f(1) = -1 : a + b +c + d = -1
An der Stelle x = 1 existiert die Steigung 0: f^(1) = 0: 3a + 2b + c = 0
Schnittpunkt der y-Achse bei -1: f(0) = 1: d = -1
e#
Wertebereich angeben
( Mittellage - Amplitude ; Mittellage + Amplitude)
Amplitude: Das war vor dem sin,cos steht
Mittellage: Das was am ende steht
Hilfe für Wertetabelle wenn es um richtig oder falsch geht
f(x) = gibt die y werte an
f^(x) = gibt die Tangentensteigungen an
f^^(x) = Kann die Krümmung des Schaubildes abgelesen
Berechnen sie den Wert Integral pi und 0 -sin(1/2x)dx
(1 / 1/2 cos(1/2x)) = 2cos(1/2x) = 2cos(1/2*pi) - 2cos(1/2 * 0) = -2
Merke: Bei trigonometrischen Funktionen immer 1 : b rechnen bei der Stammfunktion
Berechnen sie die Gleichung der Tangente an Kh an der Stelle x = 0 h(x) = 3ehoch-0,5x + 4
Ansatz: y = mx + b
h^(x) = 3 *(-0,5) * ehoch-0,5x = 1,5 * ehoch-0,5x
Steigung der Tangente: h^(0) = -1,5
y-wert des Berührpunktes: h(0) = 7
einsetzen der Steigung m = -1,5 und des
Punktes B(0/7) in den Ansatz:
7 = -1,5 * 0 + c
c = 7
Tangentengleichung: y = -1,5x + 7
Momentane Änderungsrate
Durchschnittliche Änderungsrate
Momentante Änderungsrate:
Die momentante Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente. Gesucht ist somit die Stelle, bei der die Tangensteigung -1 ist.
Bedingung: h^(x) = -1
für e-0,5x = z
Gleichsetzen und nach x auflösen
Durchschnittliche Änderungsrate:
Zeigen sie, dass die momentante Änderungsrate der Temperatur zum Zeitpunkt t = 5 kleiner ist als die durchschnittliche Änderungsrate der Temperatur in den ersten fünf Minuten
Momente Änderungsrate zum Zeitpunkt t: T^(t)
Durchschnittliche: T(b) - T(a) / b - a
T^(t) = -83 (-0,15) * ehoch-0,15t = 12,45ehoch-0,15t
Momentante Änderungsrate: t=5 : T^(5) = 5,88 celcius pro minute
Durchschnittliche Änderungsrate in den ersten 5 min:
T(5) - T(0) / 5-0 = 65,79 - 22 / 5 = 8,76 celcius proMinute
Bestimmen sie die Koordinaten des Berührpunktes von Kf und der Geraden mit der Gleichung y = 3x + 0,75, f(x)= -3xhoch2 + 12x - 6
1) Berechnung des Berührpunktes:
f(x) = -3xhoch2 + 12x - 6 und k(x) = 3x + 0,75
Daraus folgt f^(x) = -6x + 12 und k^(x) = 3
Bedingungen für Berührung: (1) f(x) = k(x) und (2) f^(x) = k^(x)
(1) -3xhoch2 + 12x - 6 = 3x + 0,75
(2) -6x + 12 = 3
Aus (2) folgt x = 1,5
Einsetzen von x = 1,5 ln (1) ergibt eine wahre Aussage: 5,25 = 5,25
Somit berühren sich die Schaubilder im Punkt B(1,5 / 5,25)
Gegeben ist die Funktion h mit h(x) = axhoch3 + bxhoch2 Kh hat im punkt H(2/6) einen Hochpunkt. Bestimmen sie einen Funktionsterm von h
h(x) = axhoch3 + bxhoch2
Punkt H(2/6) liegt auf dem Schaubild: h(2) = 6 (1)
An der Stelle x = 2 ist ein Hochpunkt: h^(2) = 0 (2)
Es gilt h^(x) = 3axhoch2 + 2bx
Gleichung zu (1): 8a + 4b = 6
Gleichung zu (2): 12a + 4b = 0
Aus (2) folgt b = -3a
Einsetzen in (1): 8a + 4 * (-3a) = 6
a = -1,5
Daraus folgt b = -3 * (-1,5) = 4,5
Damit gilt h(x) = -1,5xhoch3 + 4,5xhoch2
Kreisregel
bei f^(x): Sin > cos > -sin > -cos
Stammfunktion: sin(x) > -cos(x) > -sin(x) > cos(x) > sin(x)
Optimierung: Berechnen sie für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird. f(x) = -3xhoch2 + 12x - 6. Punkte O(0/0), P(u/0) und Q(u/f(u)) bilden für 1 u 3 das Dreieck OPQ. Zeichnen sie das Dreieck für u = 2 in das nebenstehende Schaubild ein.
1) Zielfunktion aufstellen:
A(u) = 1/2u * f(u)
A(u) = 1/2u * (-3uhoch2 + 12x - 6)
A(u) = 1,5uhoch3 + 6uhoch2 - 3u mit 1<u<3
2) Extremstellen berechnen:
1 und 2 Ableitung bilden
Erste Ableitung gleich 0 setzen und u stellen bestimmen
3) U stellen mit zweiter Ableitung prüfen und lokales Maximum/Minimum bestimmen
1 > 0 dann lokales Minimum
0 > -1 dann Lokales Maximum
4) Lokales Maximum in Zielfunktion einsetzen
5) Randwertuntersuchung
Randwert u = 1: A(1) = 1,5
Randwert u = 3: A(3) = 4,5
6) Antwortsatz
Das Lokale Maximum von 4) ist die Lösung und die dazugehörige Nullstelle u auch
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