5. Assoziation & Korrelation

Abbildung

Randverteilung (Total) = Bedingungslose (univariate) Verteilung

Bedimgte Verteilung: Wie sind die Werte einer Variable verteilt, unter der Bedingung, dass der Wert einer anderen Variable k ist?

Abbildung:

Abbildung:

tab var1 var 2

—> Y in Zeilen , X in Spalten

Mit Spaltenprozenten: tab var1 var2, col

Mit Zeilenprozenten: tab var1 var2, row

Beides: tab var1 var2, row col

Beides übersichtlicher ohne Häufigkeiten:

tab var1 var2, nofreq row col

Abbildung:

Meist haben wir eine These, was wovon abhängt/bedingt ist

•Abhängige Variable (aV) ,Y: Die, die wir erklären wollen und von der wir glauben,dass sie von der anderen abhängt/bedingt ist (auch: Outcome-Variable)

• Unabhängige Variable (uV) ,X: Die,die die andere Variable vorhersagt (auch: Prädiktor, erklärende Variable)

• Konvention:AbhängigeVariablewirdindenZeilenabgetragen

—> Spaltenprozent zum Vergleich der bedingten Verteilungen unter X

• Ein einfaches Maß zur Beschreibung von Gruppenunterschieden ist die Prozentsatzdifferenz

Abbilfung:

• Besonders gut anwendbar auf 2*2 Tabellen

• Einheit: Prozentpunkte (PP)!

Avvildung:

Interpretation

• Die Bildung der Eltern hat einen Einfluss auf das Erreichen eines Hochschulab- schlusses, denn:

• Haben die Eltern keinen Hochschulabschluss, ist der Anteil der Personen mit Hochschulabschluss 26 Prozentpunkte geringer

• Zeilenprozente geben Auskunft über die Zusammensetzung einer Kategorie der Y-Variablen

—> aussagekräftig nur relativ zur Randverteilung!!

• Spaltenprozente geben die konditionale Verteilung der Y-Variablen für unterschiedliche Ausprägungen der X-Variablen an

—> werden zum Vergleich von verschiedenen Gruppen der X-Variablen verwendet

Bei der Interpretation der Prozentsatzdifferenz muss man die Ausgangswerte berücksichtigen! Beispiel:

• Erhöhung von 3 Prozent auf 6 Prozent

= + 3 Prozentpunkte

= Verdopplung

= Steigerung um 100%

• Erhöhung von 93 Prozent auf 96 Prozent = + 3 Prozentpunkte

= minimaler Zuwachs

= Steigerung um 3,2%

• Daher: Alternative Maßzahlen

Abbildung

• Relatives Risiko: Verhältnis zweier interessierender Anteilswerte

• Im Beispiel: Das „Risiko“ von Befragten aus Akademikerfamilien einen Hochschulabschluss zu erreichen ist 47,37% / 20,97% = 2,26 mal so groß (= mehr als doppelt so groß) wie das für Befragte, die nicht aus einer Akademikerfamilie stammen.

• Odds Ratio: Verhältnis des Verhältnis von Anteilswerten

• Berechnung des ORs

Abbildung:

Beispiel: Verhältnis der "Chancen" von Befragten aus Nicht-Akademikerfamilien keinen Hochschulabschluss zu erreichen zu den "Chancen" von Befragten aus Akademiker- familien keinen Hochschulabschluss zu erwerben

Abbildungen:

Die relative Chance von Personen aus Nicht-Akademikerfamilien, keinen Hochschul- abschluss zu erwerben, beträgt das 3,4-fache der Chance der Personen aus Akademiker- familien (um 3,4-fach größer!).

Umgekehrt haben Sie nur eine 0,32-fache Chance für einen Hochschulabschluss.

Abbildung:

Abbildung:

• Bisherige Maße gut anwendbar bei 2*2 Tabellen

• Für größere Tabellen: andere Maßzahlen besser, z.B. Chi2 (c2) und c2-basierte Maßzahlen

1. Erwartete Häufigkeiten: Angenommen, Bildung der Eltern und eigene Bildung wären unabhängig, also: Befragten aus Akademikerfamilien und Nicht-Akademikerfamilien würden sich

nicht unterscheiden, wie würde die Kreuztabelle in diesem Fall aussehen? Aka "Indifferenztabelle"

Abbildung

q2. Berechne c2 (Chi2): Sind die tatsächlich beobachteten Häufigkeiten sooo unterschiedlich von den erwarteten Häufigkeiten, dass wir schlussfolgern können, dass ein Zusammenhang besteht?

—> Berechne X2

(Wie stark weiche beobachtetet Werte von erwarteten ab?)

ABBILDUNG:

Abbildung (Formel)

• Chi2 = 0 , wenn es keinen Zusammenhang von X und Y gibt, denn dann ist nij = eij

Abbildungen:

• Bei Unabhängigkeit ist Chi2 min= 0

• Bei maximaler Abhängigkeit (perfekter Zusammenhang) ist CHi2 max= n*(k-1)

(Enthält die Tabelle weniger Zeilen als Spalten, bezeichnet k die Anzahl der Zeilen, ansonsten die Anzahl der Spalten.)

—> Chi2 max hängt von der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der Tabelle ab

3. Berechne Cramér's V: "Normiere" c2 in eine Maßzahl zwischen 0 und 1

Cramér's V = Abbildung:

(Enthält die Tabelle weniger Zeilen als Spalten, bezeichnet k die Anzahl der Zeilen, ansonsten die Anzahl der Spalten.)

—> Maßzahl für die Stärke der Assoziation: Je näher Cramer's V an 1 , desto stärker ist der Zusammenhang der beiden Variablen

Abbildung:

Biepspiel Abbildung:

Vier wesentliche Aspekte zur Beschreibung eines Streudiagramms

• Richtung: positiv/negativ

• Form: linear/nicht-linear

• Verteilung: dicht/weit gestreut

• Ausreißer: ja/nein

Abbildung:

Drei Schritte zur Berechnung der Kovarianz sxy aka Cov(Y,X)

1. Berechne die beiden arithmetischen Mittelwerte p𝒙 and p𝒚

2. Berechne die Abweichungen der Beobachtungen vom Mittelwert 𝒙𝒊 − p𝒙 und 𝒚𝒊 − p𝒚

3. Berechne den Mittelwert der Produkte (𝑥< − 𝑥̅)(𝑦< − 𝑦v)

Abbildung:

• Für Punkte in I and III : (𝑥< − 𝑥̅)(𝑦< − 𝑦v) positiv.

• Für Punkte in II and IV: (𝑥< − 𝑥̅)(𝑦< − 𝑦v) negativ.

• Je mehr positiv/negativ das jeweilige Produkt

(𝑥< − 𝑥̅)(𝑦< − 𝑦v) ist , desto mehr trägt der Datenpunkt

(xi,yi) zur Kovarianz bei

• Wenn man die Produkte (𝑥< − 𝑥̅)(𝑦< − 𝑦v)aufsummiert,

sieht man, ob/wie stark die positiven bzw. negativen überwiegen

ABbildung:

beschreibt die Richtung des Zusammenhangs / anhand der Kovarianz erkennt. man Zusammenhang

Abbildung Tutorium:

• Da die Kovarianz von den Einheiten von X und Y abhängt:

"Normiere" sXY in eine Maßzahl zwischen -1 (negativer Zus.hang) und 1 (positiver Zus.hang)

• Dividiere die Kovarianz durch die Standardabweichungen von X und Y —>

Pearsons's Korrelationskoeffizient aka Korrelation

Abbildung:

Abbildung:

correlate var1 var2

Abkürtzung: cor

Abbildungen:

Abbildung:

Abbildungen_

Anbbildung:

Abbildung: