Mathe - Funktionen und Gleichungen

• Termne,die aus einem bestimmten Grund nicht ausgerechnet wurden

• Terme, die nur dann ausgerechnet werden können, wenn für die in ihnen enthaltene Variable eine Zahl eingesetzt wird

1. Machen Sie sich anhand einer Vorüberlegung klar, von welcher Größe Sie das Extremum (den maximalen oder den minimalen Wert) bestimmen wollen und wovon der Wert dieser Größe abhängt. Hierbei können Zeichnungen oder die Berechnung einzelner Werte helfen.

2. Versuchen Sie, einen Term zur Berechnung dieser Größe anzugeben und legen Sie fest, welche Variablen Sie zur Berechnung brauchen. Hierzu können Sie zunächst auch mehrere Variable verwenden. 3

. Falls zur Formulierung dieses Terms mehrere Variablen verwendet wurden, müssen Zusammenhänge zwischen ihnen gesucht werden: Ziel ist die Angabe eines quadratischen Terms für die gesuchte Größe, die nur noch von einer Variablen abhängt! Ohne das Vorliegen eines Zusammenhangs in dieser Form ist eine weitere Lösung nicht möglich – hier liegt oftmals die entscheidende Schwierigkeit!

4. Bestimmen Sie den Definitionsbereich für die ausgewählte Variable: Welche Werte liefern sinnvolle Ergebnisse? So sind z. B. negative Werte einer Variablen immer dann sinnlos, wenn durch sie eine Länge beschrieben wird! 5. Betrachten Sie den in Punkt 3 gefundenen Term als Funktionsvorschrift einer quadratischen Funktion und bestimmen Sie den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel. Dieses Vorgehen ergibt ein Maximum, wenn die zu dieser Funktionsgleichung gehörende Parabel nach unten geöffnet ist; ist sie nach oben geöffnet, so beschreiben die Scheitelpunktskoordinaten ein Minimum. 6. Interpretieren Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes im Sinne der Aufgabenstellung: Die erste Koordinate gibt an, für welchen Wert der Variablen das Extremum auftaucht, die zweite Koordinate nennt den Wert dieses Extremums. Überprüfen Sie, ob die erste Koordinate des Scheitelpunktes innerhalb der in Schritt 4 festgelegten Grenzen für die gewählte Variable liegt!

Die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen findet man, indem man die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt.

y = m x + b beschrieben (allgemeine G

Dies ist eine so genannte Bruchgleichung, weil in ihr die Variable auch im Nenner eines Bruchs vorkommt1.

• Ziel der Umformung ist es ja, den Nenner x + 2 auf der linken Seite durch Kürzen zu beseitigen. Multipliziert man aber die ganze Gleichung mit diesem Term, so taucht er sowohl im Zähler1 des Bruchs auf der linken Seite, aber auch als Faktor auf der rechten Seite auf, weil man eine Gleichung immer auf beiden Seiten mit einer Zahl oder einem Term multiplizieren muss.

• Der hinzugefügte Term x + 2 muss auf beiden Seiten der Gleichung in Klammern gesetzt werden, weil er als Summe zusammengehalten werden muss. Bei dem im Nenner des Bruchs bereits vorliegenden Term x + 2 erfolgt dies durch den Bruchstrich: „Ein Bruchstrich ist ein Divisionszeichen mit eingebauter Klammer“.

• Auch wenn im Zähler des Bruchs ein Additionszeichen auftaucht, verletzt das Kürzen nicht die Regel: „Aus Summen darf nicht gekürzt werden“: Der Zähler x (x + 2) ist ein Produkt! Damit kann der Term x + 2 als Ganzes gekürzt werden! • Die vorliegende Bruchgleichung ergibt eine quadratische Gleichung. Dies muss nicht unbedingt sein: In vielen Fällen ergibt sich durch das anhand dieses und der folgenden Beispiele geschilderten Verfahrens eine lineare Gleichung, da der quadratische Term wegfällt. Dies soll hier aber nicht die Grundlage der Überlegungen sein – hier geht es ja gerade um den bisher nicht mehr bearbeitbaren Fall, dass das Quadrat der Unbekannten nicht wegfällt!

x1,2 = +/- Wurzel aus 2

Das Über-Kreuz-Multiplizieren lässt sich nur auf Gleichungen dieser Struktur anwenden!

D = (x ist Element der rationale Zahlen I x ist nicht gleich - 2)

„Die Definitionsmenge D enthält alle Elemente der Menge der reellen Zahlen mit der Eigenschaft, dass x ungleich – 2 ist.“

Die Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen ohne die Menge mit dem Element – 2.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist: ax2+bx+c= 0

Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied (b=0b = 0b=0) ist eine rein quadratische Gleichung

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c. Die Scheitelpunktsform ist f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x - h)^2 + kf(x)=a(x−h)2+k, wobei (h,k)(h, k)(h,k) der Scheitelpunkt des Parabelgraphen ist.

Um die allgemeine Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c in die Scheitelpunktsform f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x - h)^2 + kf(x)=a(x−h)2+k umzuwandeln, verwendet man das Verfahren des quadratischen Ergänzens:

1. Zuerst den Faktor aaa ausklammern: f(x)=a(x2+bax)+cf(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + cf(x)=a(x2+ab​x)+c

2. Die quadratische Ergänzung hinzufügen und subtrahieren: f(x)=a(x2+bax+(b2a)2−(b2a)2)+cf(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + cf(x)=a(x2+ab​x+(2ab​)2−(2ab​)2)+c

3. Die Ergänzung in eine binomische Formel umwandeln: f(x)=a((x+b2a)2−(b2a)2)+cf(x) = a((x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + cf(x)=a((x+2ab​)2−(2ab​)2)+c

4. Die Form vereinfachen: f(x)=a(x+b2a)2−a(b2a)2+cf(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + cf(x)=a(x+2ab​)2−a(2ab​)2+c

5. Die Scheitelpunkte hhh und kkk identifizieren: f(x)=a(x+b2a)2+(c−b24a)f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 + (c - \frac{b^2}{4a})f(x)=a(x+2ab​)2+(c−4ab2​)

1. Den Scheitelpunkt (h,k)(h, k)(h,k) bestimmen.

2. Die Parabel zeichnen, die durch diesen Punkt verläuft.

3. Den Öffnungsfaktor aaa beachten:

   • Wenn a>0a > 0a>0, öffnet die Parabel nach oben.

   • Wenn a<0a < 0a<0, öffnet die Parabel nach unten.

4. Weitere Punkte auf der Parabel berechnen, um die Form zu verdeutlichen.

Die Anzahl der Nullstellen hängt vom Wert des Scheitelpunkts kkk und dem Öffnungsfaktor aaa ab:

• Wenn k=0k = 0k=0, hat die Funktion eine Nullstelle bei x=hx = hx=h.

• Wenn k>0k > 0k>0 und a>0a > 0a>0 oder k<0k < 0k<0 und a<0a < 0a<0, hat die Funktion keine reellen Nullstellen.

• Wenn k<0k < 0k<0 und a>0a > 0a>0 oder k>0k > 0k>0 und a<0a < 0a<0, hat die Funktion zwei Nullstellen.

1. Rein-quadratische Gleichungen (ax2+c=0ax^2 + c = 0ax2+c=0): Lösungsverfahren: Wurzelziehen. x2=−ca→x=±−cax^2 = -\frac{c}{a} \rightarrow x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}x2=−ac​→x=±−ac​​

2. Gemischt-quadratische Gleichungen (ax2+bx=0ax^2 + bx = 0ax2+bx=0): Lösungsverfahren: Faktorisierung. x(ax+b)=0→x=0 oder x=−bax(ax + b) = 0 \rightarrow x = 0 \text{ oder } x = -\frac{b}{a}x(ax+b)=0→x=0 oder x=−ab​

3. Allgemein-quadratische Gleichungen (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0): Lösungsverfahren: Quadratische Ergänzung oder Mitternachtsformel (pq-Formel). x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

1. Gleichung normieren (wenn a≠1a \neq 1a=1): ax2+bx+c=0→x2+bax+ca=0ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0ax2+bx+c=0→x2+ab​x+ac​=0

2. Quadratische Ergänzung vornehmen: x2+bax=−ca→x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−cax^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}x2+ab​x=−ac​→x2+ab​x+(2ab​)2=(2ab​)2−ac​

3. Umwandeln in binomische Form: (x+b2a)2=b2−4ac4a2(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}(x+2ab​)2=4a2b2−4ac​

4. Wurzel ziehen: x+b2a=±b2−4ac4a2→x=−b2a±b2−4ac2ax + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \rightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x+2ab​=±4a2b2−4ac​​→x=−2ab​±2ab2−4ac​​

Diese Karten sollen Ihnen helfen, die verschiedenen Aspekte quadratischer Gleichungen und Funktionen zu verstehen und anzuwenden.

Die pq-Formel ist eine vereinfachte Version der allgemeinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen, die speziell für quadratische Gleichungen der Form x2+px+q=0x^2 + px + q = 0x2+px+q=0 verwendet wird. Hier ist die pq-Formel:

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

• einen Summanden mit dem Quadrat der Variablen (ax2)

• einen Summanden mit der Variablen ohne Potenz (bx)

• einen dritten Summanden ohne die Variable (c)

ax2 + bx + c = 0

Fehlt der die Variable enthaltende Summand bx, so bleibt die Gleichung ax2 + c = 0. Diese Gleichungsform bezeichnet man als rein-quadratische Gleichung

Fehlt der die Variable nicht enthaltende Summand c, so bleibt die Gleichung ax² + bx = 0. Diese Gleichungsform bezeichnet man als gemischt-quadratische Gleichung

Hat eine quadratische Gleichung zwei Lösungen, so werden diese unter Verwendung des ODER-Zeichens aufgezählt. So gilt z. B. 1. Da mit a und b zwei verschiedene Zahlen bezeichnet werden („gleiche Platzhalter, gleiche Zahlen“), ist der Fall, dass beide Faktoren gleich Null sind, von vornherein ausgeschlossen. 2 2 x 9 x 3 x 3 oder = ⇔ = ∨ =− = ⇔ =± x 9 x 3

Zu einer Lösung dieser Art einer quadratischen Gleichung gelangt man, indem sie durch Anwenden der bekannten Äquivalenzumformungen so umgestellt wird, dass x2 alleine steht. Auf der anderen Seite der Gleichung steht dann nur noch eine Zahl. Diese Umformung erfordert in der Regel zwei Schritte: Zunächst wird der Summand ohne die Variable auf die andere Seite des Gleichheitszeichens gebracht, anschließend wird die so entstandene Gleichung durch den Koeffizienten von x2 geteilt.

• Eine gemischt-quadratische Gleichung der Form ax2 + bx = 0 wird durch Ausklammern der Variablen x gelöst.

• In jeder gemischt-quadratischen Gleichung ist x = 0 eine der Lösungen. Die andere Lösung der Gleichung ist derjenige x-Wert, durch den die Klammer, die beim Ausklammern entstanden ist, den Wert Null annimmt.

• Beim Ausklammern sollte nicht nur die Variable selbst, sondern auch andere gemeinsame Faktoren der beiden Summanden ax2 und bx berücksichtigt werden.

• Jede gemischt-quadratische Gleichung hat zwei Lösungen

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: x2 + px + q = 0 mit p, q ∈ R

Lässt sich ein lineares Gleichungssystem durch Verändern einera) der beiden Gleichungen so umformen, dass das gleiche Vielfache einer Variablen entsteht, so kann dies sowohl durch Dividieren der einen als auch durch Multiplizieren der anderen Gleichung erfolgen. Wenn sich durch das Multiplizieren das Entstehen neuer Brüche vermeiden lässt, ist diese Möglichkeit sinnvoller.

Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger

• So ist die Subtraktion 14 – 6 innerhalb des Bereichs der natürlichen Zahlen ohne Weiteres durchzuführen, das Ergebnis ist 8, was ebenfalls eine natürliche Zahl ist. Die Subtraktion 34 – 67 hat allerdings im Bereich der natürlichen Zahlen keine Lösung!

• Auch viele Divisionen lassen sich innerhalb dieses Zahlbereichs durchführen: 45 : 9 ergibt das Ergebnis 5; auch die Rechnung 36 : 6 = 6 hat als Ergebnis eine natürliche Zahl. Die Division 16 : 7 ist jedoch innerhalb des Bereichs der natürlichen Zahlen nicht durchführbar – in der Grundschule helfen sich Lehrer und Schüler z. B. mit der Aussage: „16 geteilt durch 7 ist 2 Rest 2“. Auf die Dauer ist dies jedoch natürlich nicht ausreichend!

Eine solche mathematische Struktur bezeichnet man als lineares Gleichungssystem.

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten besteht aus zwei Werten. Setzt man diese an den entsprechenden Stellen des Gleichungssystems ein, so werden beide Gleichungen zu einer wahren Aussage. Damit ist die Lösung immer ein Zahlen- bzw. Wertepaar.

• Ein lineares Gleichungssystem ist eine mathematische Struktur aus zwei Gleichungen, in der jeweils zwei Variablen vorkommen.

• Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist dasjenige Zahlen- oder Wertepaar, das bei Einsetzen in die Gleichungen beide Gleichungen erfüllt.

• Bei der Angabe der Lösung wird zwischen die beiden Werte für die jeweiligen Variablen das Zeichen = gesetzt. Die beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems werden so untereinander geschrieben, dass die beiden Gleichheitszeichen übereinander stehen.

• Trägt man einige Wertepaare, die eine der Gleichungen erfüllen, in ein Koordinatensystem ein, so liegen diese Punkte auf einer Geraden. Sind diese Geraden nicht parallel und besitzen somit einen Schnittpunkt, so geben die Koordinaten dieses Schnittpunktes die Lösung des linearen Gleichungssystems an. Dies ist die einzige Lösung des Gleichungssystems.

• • Das Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme beruht auf der Grundidee, die beiden Gleichungen eines Gleichungssystems nach der gleichen Variablen oder einem gleichen Vielfachen von ihr aufzulösen und sie dann gleichzusetzen.

• Hierdurch wird aus der Struktur „Zwei Gleichungen mit zwei Variablen“ die Form „Eine Gleichung mit einer Variablen“. Diese Veränderung ist der entscheidende Lösungsschritt. • Aus dieser einen Gleichung wird der Wert für die erste Variable berechnet. Danach wird der Wert in eine der beiden gleichgesetzten Gleichungen eingesetzt und berechnet. Zur Kontrolle empfiehlt es sich, diese Berechnung auch mit der anderen Gleichung durchzuführen.

• In manchen Fällen lässt sich eine der beiden Gleichungen durch Multiplizieren mit einer ganzen Zahl so umformen, dass das gleiche Vielfache einer Variablen entsteht. Diese Methode einer möglichen Division der anderen Gleichung durch diese Zahl vorzuziehen, falls dadurch Brüche entstehen.

• Sind in einem Gleichungssystem Brüche enthalten, so sollten diese vor Beginn der eigentlichen Rechnung durch Multiplizieren der jeweiligen Gleichung mit dem kgV der in ihr vorkommenden Nenner beseitigt werden.

y = mx + b

Einen Bruch verwandelt man in einen Dezimalbruch, indem man die durch den Bruchstrich bezeichnete Division ausführt. Dabei kann ein abbrechender oder ein periodischer Dezimalbruch entstehen.

Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist entweder abbrechend oder periodisch. Die maximale Periodenlänge eines zu einer rationalen Zahl gehörenden Dezimalbruchs ist um 1 geringer als der Nenner des zugehörigen (vollständig gekürzten) Bruchs

Zwischen je zwei rationalen Zahlen liegen auch unendlich viele weitere rationale Zahlen!

Die Zahl, deren Quadrat 2 ist, ist keine rationale Zahl!

Zur Erinnerung: Die Primzahlzerlegung einer Zahl ist das (eindeutige!) Produkt aus Primfaktoren, das diese Zahl ergibt. Beispiele: 15 = 3 · 5, 36 = 2 · 2 · 3 · 3; 288 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 Die Primzahlzerlegung einer Quadratzahl enthält die gleichen Faktoren wie die zu Grunde liegende Zahl, nur in doppelter Anzahl:

Zusammenfassend lässt sich sagen:

• Jede in einem Koordinatensystem gezeichnete Gerade besitzt eine bestimmte Steigung. Diese lässt sich beschreiben, indem man einen erst in waagrechter und dann in senkrechter Richtung verlaufenden Weg findet, auf dem man von einem beliebigen Punkt der Geraden zu einem anderen gelangt. Nach Möglichkeit sollte man hierbei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten verwenden.

• Für diese Beschreibung gibt es beliebig viele gleichwertige Formulierungen. So gilt z.B.: Verdoppelt man die Weglänge in x-Richtung, so verdoppelt sich auch die Weglänge in y-Richtung. Gleiches gilt für eine Verdreifachung, Halbierung o.ä..

• Zur Festlegung eines solchen Weges geht man in Gedanken zunächst immer von links nach rechts, weil dies unserer gewohnten Leserichtung entspricht.

• Steigt eine Gerade, so geht man anschließend nach oben, fällt sie, so verläuft der Weg nach rechts und danach nach unten.

• Besondere Bedeutung für die Lage einer Geraden haben auch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Die Verhältnisbildung zur Bestimmung der Steigung einer Geraden muss so erfolgen, dass die Länge des „y-Weges“ durch die Länge des „x-Weges“ geteilt wird. Nur so erhält man für eine steiler ansteigende Gerade (oder Straße) auch einen größeren Steigungswert!

Je stärker eine solche Gerade fällt, um so größer ist der Betrag der Steigunga). So fällt eine Gerade mit der Steigung -1 nicht so stark wie eine Gerade mit der Steigung -4.

Bitte beachten Sie hierbei Folgendes:

• Falls sich für die Steigung m kein ganzzahliger Wert ergibt, behalten Sie bitte immer die Bruchschreibweise bei. Dies verhindert das Entstehen von Dezimalbrüchen mit vielen Nachkommastellen oder, noch unangenehmer, von periodischen Dezimalbrüchen. Außerdem ergibt sich dadurch noch ein weiterer Vorteil, auf den später noch näher eingegangen wird.

• Fällt die Gerade, so steht im Zähler ein Minuszeichen. Bitte schreiben Sie dieses vor den Bruch (so wie in c)). Eine solche Steigung ist dann negativ. • Haben zwei Geraden die gleiche Steigung, so verlaufen sie parallel. Hier gilt das für die Geraden b) und d).

m

m= Differenz der x-Koordinate/Differenz der y-Koordinate

• Die Menge der reellen Zahlen enthält die Menge der rationalen Zahlen.

• Die Menge der rationalen Zahlen enthält die Menge der ganzen Zahlen.

• Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Menge der natürlichen Zahlen.

Die Quadratwurzel x aus einer Zahl a ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat die Zahl a ergibt. Für diese Wurzel ist ein besonderes Symbol geschaffen worden und es gilt: (lies: „Wurzel aus a gleich x“)

Die Quadratwurzel kann nur aus positiven Zahlen (oder Null) gezogen werden!

Zieht man die Wurzel aus einer (gekürzten) rationalen Zahl, deren Bruchdarstellung nicht sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Quadratzahl aufweist, so ist das Ergebnis eine irrationale Zahl!

Aus der Angabe zweier Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2) lässt sich die Steigung der durch sie festgelegten Geraden auch ohne Zeichnung berechnen

m = (y2-y1)/(x2-x1)

Eine Funktionsgleichung ist nicht direkt lösbar, sondern beschreibt den Zusammenhang von Zahlen- bzw. Wertepaaren.

Die rechnerische Bestimmung der Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus zwei gegebenen Punkten erfolgt in zwei Schritten:

• Im ersten Schritt wird die Steigung m der Geraden bestimmt, indem man die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte durch die Differenz der x-Werte dieser Punkte dividiert. Dabei muss man in Zähler und Nenner die gleiche Reihenfolge wählen, um den korrekten Steigungswert zu erhalten.

• Im zweiten Schritt errechnet man den y-Achsenabschnitt b aus dem nun bekannten Steigungswert m und den x- bzw. y- Koordinaten eines der gegebenen Punkte, indem man sie in die Grundgleichung

• y = mx + b

• einsetzt. Welchen der gegebenen Punkte man hier auswählt, ist einerlei. Zur Kontrolle empfiehlt es sich, die Berechnung mit beiden Punkten durchzuführen. Nur wenn sich der gleiche Wert für b ergibt, hat man richtig gerechnet.

• die rechnerische Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden.

• der Vergleich zwischen den Funktionswerten verschiedener linearer Funktionen.

• die Berechnung des Schnittpunktes einer Geraden mit der x-Achse.

Man setzt die Funktionsgleichung beider Gerade gleich und löst nach x auf

• Die Primzahlzerlegung von m und n enthalten beide eine oder mehrere Zweien: Dieser Fall kann nicht vorkommen, da man dann mit 2 kürzen könnte – im Widerspruch zur oben genannten Voraussetzung, dass der Bruch vollständig gekürzt ist!

• Die Primzahlzerlegung von m enthält eine oder mehrere Zweien, die von n aber nicht: Auch in diesem Fall lassen sich keine zwei natürlichen Zahlen m und n finden, die diese Bedingung erfüllen: Quadriert man m, so stehen danach auf der linken Seite der Gleichung m2 = 2n2 zwei bzw. eine geradzahlige Anzahl von Zweien, aber auf der rechten Seite nur eine Zwei – nämlich die, die bereits als Faktor in der Gleichung m2 = 2n2 auftaucht!

• Die Primzahlzerlegung von m enthält keine Zwei, von n aber eine oder mehrere Zweien: Hier gilt im Grunde das Gleiche wie im eben dargestellten Fall: Quadrieren erzeugt auf der linken Seite der Gleichung m2 = 2n2 keine Zwei (m enthält keine 2, also m² auch nicht!), auf der rechten Seite findet sich aber eine ungeradzahlige Anzahl von Zweien: Jede Zwei in der Primzahlzerlegung von n erzeugt ein „Zweierpärchen“, zusammen mit der 2 aus m2 = 2n2 ist dies eine ungerade Anzahl von Zweien!

• Weder n noch m enthält eine Zwei: Auch nach Quadrieren von m und n zu m2 und n2 enthalten die entsprechenden Primzahlzerlegungen keine Zwei – aber auf der rechten Seite der Gleichung m2 = 2n2 steht eine 2. Also führt auch dieser Fall zu einem Widerspruch in der Argumentation.

Dezimalbrüche, die nicht abbrechend und nicht periodisch sind, nennt man irrationale Zahlen.

Diese irrationalen Zahlen bilden mit den rationalen Zahlen zusammen eine (noch größere) Menge: Die so genannte Menge der reellen Zahlen

Eine Funktion ist eine zahlenmäßig erfassbare Zuordnung zwischen einer Definitions- und einer Wertemenge, die folgende Eigenschaften hat:

• dem Element der Definitionsmenge wird genau ein Element der Wertemenge zugeordnet.

• Unterschiedlichen Elementen der Definitionsmenge kann das gleiche Element der Wertemenge zugeordnet werden.

• Nicht möglich ist es, einem Element der Definitionsmenge zwei oder mehr Elemente der Wertemenge zuzuordnen

• Punkte in einem Koordinatensystem werden benannt, indem man zuerst den Wert auf der waagerechten, dann den zugehörigen Wert auf der senkrechten Achse angibt.

• Diese Angaben werden in eine Klammer geschrieben und durch einen senkrechten Strich getrennt. Die Verwendung eines Kommas oder eines Semikolons ist nicht sinnvoll, weil es sonst leicht zu Verwechslungen mit dem Komma in Dezimalbrüchen kommen kann.

• Mögliche „Geschäftsabschlüsse“ würden also beschrieben durch (0 kg|0 €); (1 kg|1,50 €); (2 kg|3 €); (3 kg|4,50 €);

Menge der Elemente x, die der Menge der Elemente y in einer Abbildung zugeordnet ist

• sprachliche Darstellung

• in einem Diagram

• Durch eine Funktionsgleichung

• komplizierte Darstellung

Auch von Menschen verstehbar, die keine mathematischen Kenntnisse haben

Schnell Übersichtlich

Eine Funktionsgleichung hat einen vollständig anderen Charakter als z.B. eine lineare Gleichung. Diese lässt sich lösen und hat in der Regel ein eindeutiges Ergebnisa). Eine Funktionsgleichung jedoch ist eine Rechenvorschrift, mit der sich aus einer bestimmten Ausgangsgröße die zugehörige Zielgröße berechnen lässt. Sie ist in diesem Sinn also nicht lösbar, sondern beschreibt den Zusammenhang von Zahlenbzw. Größenpaaren.

1 y = …

2 f(x) = …

3 f: x -> …

• x-Werte in der x-Achse (senkrecht)

• y-Werte in der y-Achse (waagerecht)

x-wert = Ausgangsgröße

y-wert = Zielgröße

Graph einer Funktion

Multipliziert man eine Gleichung auf beiden Seiten mit der gleichen Zahl oder dem gleichen Term, so ergibt sich eine zu ihr äquivalente Gleichung.

Taucht die Unbekannte nur im Nenner eines Bruchs auf, so multipliziert man die ganze Gleichung mit diesem Nenner, damit man ihn danach kürzen kann! Durch diese Multiplikation taucht der Nenner auf der anderen Seite der Gleichung als neuer Faktor auf.

Zu jeder Bruchgleichung ist eine Definitionsmenge anzugeben. In dieser wird beschrieben, welche rationalen Zahlen man in die Gleichung nicht einsetzen darf, weil sich dadurch unzulässige Divisionen ergäben.

• Muss eine Bruchgleichung durch mehrere Multiplikationen nennerfrei gemacht werden, so ist jeder Summand in der Gleichung zu berücksichtigen!

• Beim Multiplizieren müssen Summen eingeklammert werden!

• Das Zusammenfassen bzw. das Ausmultiplizieren sollte erst nach der vollständigen Beseitigung der Nenner erfolgen.

• Manche Bruchgleichungen lassen sich nur lösen, indem man die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erweitert. Dieser „Hauptnenner“ wird dann durch Multiplizieren der gesamten Gleichung mit diesem Nenner beseitigt.

• Einen Hinweis auf diese Möglichkeit bietet der Vergleich der aus der Definitionsmenge ausgeschlossenen Zahlen mit der Anzahl der voneinander verschiedenen Nenner.

• Man findet diesen Nenner durch Zerlegen der gegebenen Nenner und Konstruktion des kleinstmöglichen Produkts, das alle Nennerzerlegungen als Teilprodukte enthält.

• Um die Nenner zu zerlegen, kann man Ausklammern oder die binomischen Formeln anwenden.

• Alle Summanden in einer Gleichung müssen auf diesen Nenner erweitert werden.

Beim Auflösen einer Gleichung wird die „störende“ Rechenoperation durch Anwendung der entsprechenden Gegenoperation beseitigt. Dadurch taucht diese Gegenoperation aber auf der anderen Seite der Gleichung auf!

Punkt vor Strichrechung

Bevor mit der eigentlichen Lösung einer linearen Gleichung begonnen werden kann, sind alle Klammern aufzulösen.

Findet sich auf beiden Seiten einer Gleichung der gleiche Summand mit dem gleichen Rechenzeichen, so kann man ihn auf beiden Seiten aus der Gleichung herausstreichen

Ted White

Fällt beim Lösen einer Gleichung die Variable aus der Rechnung heraus, so besitzt diese Gleichung keine eindeutige Lösung. Zu unterscheiden sind dabei zwei Fälle:

• Ergibt sich am Ende der Rechnung ein Widerspruch (z.B. 2 = 3), so ist diese Gleichung nicht lösbar: Keine Zahl x ∈ ℚ erfüllt diese Gleichung.

• Ergibt sich am Ende der Rechnung eine Identität (z.B. 4 = 4 oder 0 = 0), so hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen: Jede Zahl x ∈ ℚ erfüllt diese Gleichung

• Eine Gleichung enthält als zentrales Element das Gleichheitszeichen.

• Eine Gleichung enthält (mindestens) einen Term mit einer (oder mehreren) Variablen.

• Nach dem Einsetzen eines bestimmten Wertes für die Variable(n) findet sich auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils eine Zahl. Sind diese Zahlen gleich, so gilt das Zeichen „=“. Ergeben sich durch das Einsetzen aber unterschiedliche Werte auf den beiden Seiten der Gleichung, so gilt das Zeichen „=“ nicht und muss durch das Ungleichheitszeichen („≠“) ersetzt werden.

Die Lösung bzw. die Lösungen einer Gleichung sind diejenigen Zahlen, die nach Einsetzen das Gleichheitszeichen gelten lassen. Man sagt auch: Eine Lösung erfüllt eine Gleichung.

Gleichungen mit nur einer und nicht als Potenz vorkommenden Variablen bezeichnet man als lineare Gleichung mit einer Variablen.

Ein Linearer Term hat immer eine Potenz von 1

Eine Äquivalenzumformung verändert die Lösung einer Gleichung nicht. Die einfachsten Äquivalenzumformungen sind das Addieren bzw. das Subtrahieren der gleichen Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung sowie die Multiplikation bzw. Division einer Gleichung mit einer Zahl. Die Äquivalenz von Gleichungen wird durch einen Äquivalenzpfeil (⇔) ausgedrückt.

Die Variable steht alleine auf einer Seite