Mathe - Geometrie

Strecke

Gerade

Strahlen

Werden zwei Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so stehen die dadurch auf den beiden Parallelen erzeugten Abschnitte im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden (und bis zum Schnittpunkt gemessenen!) Abschnitte auf den Strahlen.

zehntel

hunderstel

tausendstel

millionstel

milliardstel

Satz von Thales

Wenn zwei Strahlen aaa und bbb von einem Punkt PPP aus durch zwei parallele Linien lll und mmm schneiden, dann gilt das Verhältnis der Längen der Abschnitte auf aaa und bbb gleich dem Verhältnis der Längen der Abschnitte auf den parallelen Linien:

(A1 x A2)/(B1 x B2) = (A1 x P)/(B1 x P)

Wenn zwei Strahlen aaa und bbb von einem Punkt PPP aus durch zwei parallele Linien lll und mmm schneiden, dann sind die Verhältnisse der Längen der Abschnitte auf den Strahlen aaa und bbb gleich dem Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf den parallelen Linien

(A1 x A2)/(A2 x P) = (B1 x B2)/(B2 x P)

• Wählen Sie einen Ansatz, in dem Sie möglichst wenige Größen verwenden müssen, die in einem vorangegangenen Schritt berechnet wurden. Die unvermeidlichen Rundungsungenauigkeiten pflanzen sich sonst in die Ergebnisse fort.

• Vermeiden Sie Ansätze, in denen die gesuchte Größe innerhalb einer Summe auftaucht. Diese Ansätze sind sehr viel schwieriger aufzulösen.

• Achten Sie auf die begrenzte Gültigkeit des „verkürzten“ Ersten Strahlensatzes und darauf, dass Sie beim Zweiten Strahlensatz die ins Verhältnis gesetzten Abschnitte auf den Strahlen immer bis zum Schnittpunkt der Strahlen messen müssen

Sind zwei Dreiecke ähnlich zueinander, so sind die sich entsprechenden Seitenlängen der Dreiecke um jeweils den gleichen Faktor verändert (verdoppelt, halbiert, verdreifacht,…).

Faktor

s2 = Faktor · s1

• Um den Zusammenhang zweier Größen zu beschreiben, kann man das Verhältnis der beiden Größen bilden.

• Dieses Verhältnis ist eine Zahl und durch den Wert des Bruchs bestimmt, der sich aus der Division der einen durch die andere Größe ergibt. Dabei fallen die (gleichen!) Maßeinheiten durch Kürzen weg.

• Vertauscht man in diesem Bruch Zähler und Nenner, so ergibt sich der Kehrwert des vorigen Zahlenwerts.

• Besonders bei nicht ganzzahligen Verhältnissen ist die Angabe einer Verhältnisgleichung sinnvoll. Diese lässt sich z.B. aus einer Zeichnung sofort ablesen.

Grundlage der so genannten Strahlensätze ist die Situation, in der zwei von einem gemeinsamen Punkt ausgehende Strahlen von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten werden.

Die durch zwei Parallelen erzeugten und sich entsprechenden Abschnitte auf zwei Strahlen stehen immer im gleichen Verhältnis. Diesen Satz bezeichnet man als den Ersten Strahlensatz.

In Dreiecke aufteilen und dann die Fläche der Dreiecke ausrechnen. Die Leerräume außen in Dreiecke aufteilen und dann von den Kästchenabziehen

Meter

Die an den Doppelpfeilen angegebenen Zahlen geben an, um wie viele Stellen man ein Komma verschieben (oder entsprechend viele Nullen anhängen) müsste, um zwischen den Einheiten umzurechnen.

• Die Umrechnung zwischen nicht benachbarten Längeneinheiten erfolgt durch Addieren dieser Zahlen. Das Komma wird dann um diese Anzahl von Stellen verschoben.

• Wird die Maßeinheit größer, so wird die Maßzahl kleiner

• und umgekehrt. Dadurch ist die Richtung fest gelegt, in die das Komma verschoben werden muss (bzw. zusätzliche Nullen angehängt werden).

Quadratmeter

Bei der Umrechnung von Flächenmaßen werden die Rechenschritte zur Umrechnung von Längenmaßen doppelt durchgeführt.

Die Flächenmaße Ar (a) und Hektar (ha) entstehen aus der Betrachtung von Quadraten mit einer Kantenlänge von 10 m bzw. 100 m. Diese Flächenmaße schließen die Lücke zwischen den Flächenmaßen m2 und km2 .

A = a * b

A = a * a = a zum Quadrat

A = a h von a = b * bh

A = 1/2 x a x ha = 1/2 x b x hb = 1/2 x c x hc

A = ((a + b)/2) x h = 1/2 x (a+b) x h

A = 1/2 x e x f

halbierender Schnitt in der höhe

Schnitt von den Flügeln des Drachens

• Um einen einzelnen Punkt zu beschreiben, genügt alleine die Angabe, wo dieser Punkt gezeichnet werden soll. Im weitesten Sinn könnte man einen Punkt auch als ein „Eineck“ auffassen.

• Die Angabe einer Strecke erfordert aber bereits zwei Angaben: Man muss wissen, wie lang die Strecke ist und in welcher Richtung sie verläuft. Im übertragenen Sinn könnte man eine Strecke nun als eine Art „Zweieck“ verstehen.

• Aus der Fortsetzung dieser Überlegung folgt, dass man dann bei einem Dreieck grundsätzlich drei Größen benötigt, um diese Figur, unabhängig von ihrer speziellen Form, eindeutig festzulegen15

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die dritte Seitenlänge.

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in:

• allen drei Seitenlängen (s-s-s),

• in zwei Winkeln und der zwischen diesen Winkeln liegenden Seite (w-s-w),

• in zwei Seiten und dem zwischen diesen Seiten liegenden Winkel (s-w-s),

• in zwei Winkeln und einer nicht zwischen diesen Winkeln liegenden Seite (w-w-s und s-w-w),

• in zwei Seiten und demjenigen Winkel, der der größeren der beiden Seiten gegenüber liegt (s-s-w und w-s-s).

• Die Höhen in einem Dreieck sind die Lote von den Eckpunkten des Dreiecks auf die gegenüberliegenden Dreiecksseiten oder ihre Verlängerung.

• Die Höhen werden mit dem kleinen Buchstaben h bezeichnet und tragen die Bezeichnung der Seite, auf der sie senkrecht stehen, als Index.

• In einem spitzwinkligen Dreieck verlaufen alle Höhen innerhalb des Dreiecks, in einem stumpfwinkligen Dreieck liegt eine Höhe innerhalb und zwei Höhen außerhalb des Dreiecks.

• Alle Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

• Im rechtwinkligen Dreieck fallen zwei der Höhen mit den am rechten Winkel angrenzenden Seiten zusammen.

Der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt desjenigen Kreises, auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen. Diesen Kreis nennt man den Umkreis des Dreiecks. Man erhält ihn, indem man um M einen Kreis zeichnet, dessen Radius gleich dem Abstand zu den Eckpunkten des Dreiecks ist

Der Schnittpunkt W der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Inkreises dieses Dreiecks. Um diesen Kreis zu zeichnen, fällt man die Lote von W auf die drei Dreiecksseiten. Durch Zeichnen eines Kreises um W mit der Länge dieser Lote als Radius entsteht der Inkreis, der alle Dreiecksseiten berührt.

Der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden eines Dreiecks teilt jede der drei Seitenhalbierenden so, dass der zum Eckpunkt zeigende Teil dieser Seitenhalbierenden doppelt so lang ist wie der zur jeweiligen Dreiecksseite gerichtete Teil. Kurz: S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1.

billionstel

Zehnfaches

Hundertfaches

Tausendfaches

Millionenfaches

Milliardenfaches

Billionenfaches

• Der erste Faktor in der wissenschaftlichen Notation ist eine Zahl zwischen 1,000 und 9,999 (bei der hier üblichen Rundung auf vier gültige Ziffern). • Der die Größenordnung angebende zweite Faktor wird als Potenz der Zahl 10 geschrieben.

Wenn der Exponent der Zehnerpotenz um 1 sinkt, verringert sich die dadurch dargestellte Zahl auf ein Zehntel ihres Wertes. Steigt er um 1, so vergrößert sich die zugehörige Zahl auf das Zehnfache.

• Der Exponent der Zehnerpotenz gibt die Anzahl der Stellen an, um die das Komma verschoben werden muss, damit der „führende“ Faktor den Bereich zwischen 1,000 und 9,999 erreicht.

• Wird das Komma nach links verschoben, ist der Exponent der Zehnerpotenz positiv, wird es nach rechts verschoben, ist er negativ.

• primäre Geschlchtsorgane

• sekundäre Geschlechtsorgane

Diese Merkmale sind von Geburt an vorhanden. Zu ihnen zählen die weiblichen und die männlichen Geschlechtsorgane.

Sie entwickeln sich erst während der Pubertät.

achsensymmetrisch

punktsymmetrisch

Bei achsensymmetrischen Buchstaben (oder auch bei anderen geometrischen Figuren) existiert eine oder mehrere Symmetrie- oder Spiegelachsen. Diese Gerade(n) teilen das Objekt jeweils so in zwei Hälften, dass der eine Teil spiegelbildlich zum anderen liegt. Würde man die Figur auf ein Papier übertragen und dann entlang der (oder einer der) Symmetrieachsen umklappen, so würden die beiden Teile des Objekts wieder direkt aufeinander liegen

Eine zweite Art der Symmetrie ist Ihnen aus dem Alltag weniger bekannt als die Spiegelbildlichkeit der Achsensymmetrie. Bei dieser Symmetrieform handelt es sich um die sogenannte Punktsymmetrie. Auch in diesem Fall wird eine Figur in zwei Teile geteilt, diesmal aber durch die Angabe eines bestimmten Punktes, des Symmetriezentrums. Anders als bei der Achsensymmetrie passen die Teile des jeweiligen Objekts dann wieder aufeinander, wenn die Figur um einen Winkel von 180° um das jeweilige Symmetriezentrum gedreht wird. Für eine Veranschaulichung dieser Symmetrieform müssten Sie dann z.B. ein S ausschneiden und in der Mitte mit einem Nagel auf eine Unterlage heften. Drehen Sie nun das S um 180°, so sieht es genauso aus wie vorher!

Schritt 1: Legen Sie das Geo-Dreieck mit seiner Mittellinie auf die Spiegelgerade g und verschieben Sie es so weit, dass einer der Punkte (hier ist es B) an der Grundlinie des Geo-Dreiecks anliegt. Lesen Sie die Entfernung ab (die Null ist u.a. aus diesem Grund in der Mitte!) und markieren Sie einen Punkt B' in gleichem Abstand zu g auf der anderen Seite der Spiegelgeraden. Der Punkt B' ist nun der Bildpunkt von B.

Schritt 2: Wiederholen Sie dies mit den beiden anderen Punkten. Gezeigt ist hier die Konstruktion des Bildpunktes von C.

Schritt 3: Nach der noch verbliebenen Spiegelung von A werden die Punkte A', B' und C' entsprechend der Lage der Punkte A, B und C im Urbild miteinander verbunden:

Schritt 1: Der Punkt A' liegt auf „der anderen Seite“ von Z als sein Urbild A. Legen Sie also das Geo-Dreieck so an, dass die Mitte der Grundlinie auf Z und der Punkt A ebenfalls an der Grundlinie anliegt

Schritt 2: Ermitteln Sie die Lage eines weiteren Bildpunktes des Dreiecks. Hier wird dies an B und B' gezeigt.

Schritt 3: Nach der noch ausstehenden Spiegelung von C am Symmetriezentrum Z werden die Bildpunkte A', B' und C' entsprechend der Lage von A, B und C im Urbild miteinander verbunden

Eine Kongruenzabbildung erzeugt ein kongruentes (deckungsgleiches) Bild eines geometrischen Objekts. Eine Punktspiegelung ist eine solche Kongruenzabbildung

• Der Schnittwinkel

• der beiden Geraden g1 und g2 ist genau halb so groß wie der Winkel

• den z.B. die Strecken und bilden.

  • Entsprechende Aussagen gelten auch für die Punkte A und A'' sowie C und C''.a)

• Sie könnten durch den festgelegten Drehpunkt zwei Geraden legen, die sich unter dem halben Drehwinkel schneiden. Durch eine „doppelte Geradenspiegelung“ an diesen Geraden erhalten Sie dann die um den jeweiligen Winkel gedrehte Figur.

• Alternativ dazu könnten Sie um den Drehpunkt Kreisbögen schlagen, sodass alle Eckpunkte der Ausgangsfigur erfasst sind. Diese Kreisbögen müssen eine für den jeweiligen Drehwinkel ausreichende Länge haben. Zeichnen Sie nun die zum Ausgangsobjekt gehörenden Radien ein und tragen an diesen jeweils den Drehwinkel an. Auf diese Weise erhalten Sie die Eckpunkte der um diesen Winkel gedrehten Figur.

Scheitelpunkt (S)

Winkelmaß

alpha

beta

gamma

delta

epsilon

phi

• Winkelgrößen werden in der Maßeinheit Grad (abgekürzt durch einen kleinen hochgestellten Kreis) angegeben.

• Der kleinstmögliche Winkel in der Geometrie ist 0°. Dann liegen die beiden Schenkel des Winkels aufeinander. Dies gilt auch für den größtmöglichen Winkel von 360°. Ohne weitere Angaben kann man 0° und 360° nicht voneinander unterscheiden.

• Die Maße der zwischen diesen Grenzen liegenden Winkel steigen gleichmäßig zwischen 0° und 360°.

• Die Grundlinie des Dreiecks trägt die Null in der Mitte.

• Bei den auf einem Halbkreis angegebenen Winkelgrößen werden jeweils zwei Werte genannt.

• An den Parallellinien innerhalb des Dreiecks finden sich weitere cm-Angaben.

• Innerhalb des Dreiecks ist eine senkrecht zur Grundlinie stehende Mittellinie, manchmal auch noch zwei weitere Linien im 45°-Winkel zur Grundlinie eingezeichnet.

In diesem Fall ist die innere cm-Einteilung des Geo-Dreiecks sehr nützlich. Zeichnen Sie zwei zueinander parallele Linien z.B. im Abstand 2 cm in folgender Weise:

• Zeichnen Sie die erste Linie

• Legen Sie das Geo-Dreieck so auf, dass die Parallellinie im Abstand 2 cm auf dieser Linie liegt.

• Zeichnen Sie entlang der Grundlinie die gesuchte Linie ein.

0 bis 89 Grad

90 Grad

91 Grad bis 180 Grad

über 180 Grad

Mit den Ausführungen des vorigen Abschnitts lässt sich nun auch leicht beschreiben, wie man einen Winkel vorgegebener Größe zeichnet. Bitte gehen Sie hierzu folgendermaßen vor:

• Zeichnen Sie zunächst einen der Schenkel und legen Sie fest, auf welcher Seite der Strecke der Scheitelpunkt liegt.

• Legen Sie das Dreieck so an, dass sich der Scheitelpunkt des Winkels in der Mitte der Grundlinie befindet. Die Lage des Schenkels an der Grundlinie entscheidet darüber, welche Winkelskala zu verwenden ist.

• Legen Sie das Dreieck so an, dass sich der Scheitelpunkt des Winkels in der Mitte der Grundlinie befindet. Die Lage des Schenkels an der Grundlinie entscheidet darüber, welche Winkelskala zu verwenden ist.

• Verbinden Sie mithilfe der Grundlinie des Geo-Dreiecks den Scheitelpunkt des Winkels mit der Markierung (die hier übertrieben groß dargestellt ist!)

Der Komplementärwinkel zu einem überstumpfen Winkel zwischen 180° und 360° ist kleiner als 180° und lässt sich mit dem Geo-Dreieck zeichnen.

Scheitelwinkel sind gleich groß, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

Stufenwinkel

Wird ein paralleles Geradenpaar von einer dritten Gerade geschnitten, so bezeichnet man die vier Winkelpaare, die sich in gleicher Lage an den beiden Schnittpunkten befinden, als Stufenwinkel. Zueinander gehörende Stufenwinkel sind gleich groß

Wird ein paralleles Geradenpaar von einer dritten Gerade geschnitten, so bezeichnet man die vier Winkelpaare, die sich an den Schnittpunkten in zueinander entgegengesetzter Lage befinden, als Wechselwinkel. Es gilt auch: Tauscht man in einem Stufenwinkelpaar einen der beiden Winkel mit seinem Scheitelwinkel aus, entsteht ein Wechselwinkelpaar. Wechselwinkel sind gleich groß.

Durch diese Formulierung wird ausgedrückt, dass zu einer vorgegebenen Geraden4 eine senkrecht zu ihr verlaufende Gerade zu zeichnen ist. In manchen Fällen wird auch noch der Punkt genannt, durch den diese Senkrechte verlaufen soll.

Diese Grundkonstruktion lässt sich mit dem Geo-Dreieck schnell durchführen, indem man die Mittellinie des Dreiecks so auf die gegebene Gerade legt, dass der genannte Punkt an der Grundlinie anliegt. Entlang der Grundlinie lässt sich dann die Senkrechte zeichnen. Denken Sie bitte wieder daran, dass es immer „senkrecht zu …“ heißt!

Diese Konstruktion ist die Umkehrung zum Errichten einer Senkrechten und wird fast genauso durchgeführt: Wieder liegt die Mittellinie des Geo-Dreiecks auf der vorgegebenen Geraden und der gegebene Punkt an der Grundlinie. An ihr entlang kann dann das Lot gezeichnet werden. Auch hier gilt: Ein Lot verläuft nicht zwingend „von oben nach unten“, sondern ist immer senkrecht zu einer geraden Linie!

Vorgegeben ist hier eine Gerade und ein auf ihr liegender Punkt. Dieser bildet den Scheitelpunkt des zu zeichnenden Winkels, auf der vorgegebenen Geraden liegt dann der eine Schenkel des Winkels.

Mit der Anweisung „Antragen eines Winkels“ ist zunächst nicht festgelegt, in welche Richtung der andere Schenkel zeigt  in Abb. 1.28 könnte er ja auch nach unten zeigen und auch auf diese Weise mit der Geraden g den Winkel  einschließen. In der Praxis ist diese Zweideutigkeit aber meist kein Problem, da sich eine entsprechende Entscheidung aus dem jeweiligen Sachzusammenhang ableiten lässt.

Der Begriff "freier Schenkel eines Winkels" bezieht sich auf die Geometrie eines Winkels, speziell auf die Position der Schenkel des Winkels.

Ein Winkel besteht aus zwei Schenkeln, die von einem gemeinsamen Punkt, dem Scheitelpunkt, ausgehen. Diese Schenkel sind gerade Linien oder Strahlen, die sich von diesem Punkt aus in unterschiedliche Richtungen erstrecken.

• Scheitelpunkt: Der Punkt, von dem die beiden Schenkel ausgehen.

• Schenkel: Die beiden geraden Linien oder Strahlen, die den Winkel bilden.

Der "freie Schenkel" ist einer der beiden Schenkel eines Winkels und wird im Vergleich zum anderen Schenkel, der häufig als fester oder ursprünglicher Schenkel betrachtet wird, als "frei" bezeichnet. In der Praxis wird dieser Begriff oft verwendet, wenn man Bewegungen oder Drehungen von Winkeln beschreibt, insbesondere in der Geometrie und Trigonometrie.

Das gleichseitige Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Aufgrund dieser besonderen Form sind auch alle (Innen-)winkel dieses Dreiecks gleich groß und haben eine Größe von 60°.

Das gleichschenklige Dreieck hat nur zwei gleich lange Seiten. Diese nennt man in Anlehnung an die bei Winkeln verwendeten Bezeichnungen die Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks. Die gegenüber liegende Seite heißt dann Basis des Dreiecks. Die beiden an dieser Basis anliegenden Basiswinkel sind gleich groß. Ihnen gegenüber liegt der Spitzenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

Im rechtwinkligen Dreieck finden sich keine Besonderheiten bei den Seitenlängen, sondern bei den Winkeln: Einer der drei Dreieckswinkel ist hier ein rechter Winkel.

Alle Seiten sind gleich lang. Die Seiten stehen senkrecht zueinander

Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Die Seiten stehen senkrecht zueinander.

Es existieren zwei parallele Seitenpaare. Die Seiten müssen nicht senkrecht aufeinander stehen, aber es ist zulässig.

Alle Seiten sind gleich lang. Die Seiten müssen nicht senkrecht zueinander stehen.

Ein Viereck mit mindestens einem parallelen Seitenpaar.

Der Drachen hat zwei gleich lange, aneinander grenzende Seitenpaare. Keines der Seitenpaare muss zueinander parallel sein.

• Unendlich klein

• Wird mit einem Kreuzchen dargestellt

• gekennzeichnet mit Großbuchstaben

• Hat einen Anfang und ein Ende

• Eine Länge kann angegeben werden

• Endpunkte werden durch einen kleinen Strich angegeben

• Benennung durch kleinen Buchstaben oder durch die beiden Endpunkte mit einem kleinen Strich

• Hat keinen Anfangs- oder Endpunkt

• Angabe einer Länge ist nicht möglich

• Um die Unendlichkeit zeichnerisch darzustellen bleiben die Enden offengelassen und die Gerade wird einfach so weit gezeichnet, wie es nötig ist.

• Geraden werden mit g und einer großen Nummer bezeichnet

• Haben einen Anfang und kein Ende

• keine länge angebbar

• unendlich

• der Strahl wird mit einem kleinen Buchstaben gekennzeichnet

• der Enpunkt wird mit einem Großbuchstaben gekennzeichnet

Kreislinie

Alle Punkte, die auf einer solchen Kreislinie liegen, haben zu einem bestimmten Punkt M den gleichen Abstand, den man als Radius bezeichnet.

Alle Punkte, die auf einer solchen Kreislinie liegen, haben zu einem bestimmten Punkt M den gleichen Abstand, den man als Radius bezeichnet und beide Seiten sind geschlossen

Kreisbogen

Eine beliebige Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie

Großer Buchstabe

g2 Schnittmenge g3 = {B}

II

T das auf dem Kopf steht

Ein einzelner Winkel wird durch zwei von einem gemeinsamen Ausgangspunkt S ausgehende Strahlen dargestellt.

Zu jedem Satz gehört immer ein Beweis

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt immer genau 180°.

Die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen Vieleck mit der Eckenzahl n beträgt (n - 2) · 180°

Jedes Dreieck über dem Durchmesser eines Halbkreises ist rechtwinklig, wenn der dritte Eckpunkt des Dreiecks auf diesem Halbkreis liegt.

Der Mittelpunktswinkel über einer beliebigen Sekante eines Kreises ist doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel, der auf dieser Seite der Sekante liegt.