Worum geht es bei der MANOVA?
Bei der MANOVA geht es darum, auch Zusammenhänge (Korrelationen) zwischen mehreren abhängigen Variablen zu betrachten und diese für die Varianzschätzungen heranzuziehen. Dafür nutzen wir die Varianzschätzungen, welche wir aus den univariaten Fällen kennen und kombinieren diese. Es entstehen Varianzmatrizen. Mit Hilfe bestimmter Kennwerte aus diesen Matrizen wird die Teststatistik konstruiert.
Leite die Formel der totalen Gesamtvarianz für einen multifaktoriellen Fall her.
Erinnerung:
Wir bilden nun das Kreuzprodukt dieser beiden Formeln. Und erhalten dadurch eine Matrix – die sogenannte Cross Product Matrix der Gesamtvarianz (kurz CPtotal). Diese Matrix ist eine Art Korrelationsmatrix.
Das führt zu:
Wie sehen die Formel der Kreuzprodukte für die Modellvarianz und für die Fehlervarianz aus?
Modellvarianz:
Fehlervarianz:
Wie würde in einem multivariaten Fall mit zwei AVs diese Formel aussehen?
Was ist das Problem bei multivariaten Fällen?
Es gibt nicht nur einen Kennwert, sondern 4, wenn mehr 2 AVs aufgenommen werden, potenziert sich das schnell. Ziel ist es also, die Anzahl der Kennwerte zu reduzieren.
Wie viele Eigenwerte bleiben nach der Matrizenrechnung übrig?
Durch die Anwendung von Matrizenrechnung, bleiben so viele Werte (Eigenwerte genannt) wie AVs übrig.
Welche statistischen Tests gibt es, um die Signifikanz der Effekte von unabhängigen Variablen auf mehrere abhängige Variablen gleichzeitig zu beurteilen?
Pillai-Bartlett Trace (analog zum R2: SSM / SST)
Hotelling‘s T2 (analog zum F-Wert: SSM / SSE)
Wilks Lambda (analog zu SSE / SST)
Roy‘s largest root (analog zum F-Wert: SSM / SSE)
Welche Voraussetzungen müssen erfüllt werden und wie können sie getestet werden?
Multivariate Normalität: Residuen sind multivariat normalverteilt
-> Kann durch Shapiro-Wilk Test für Multivariate Normalverteilung getestet werden.
Homogenität der Kovarianzmatrizen: Homogenität der Varianzen für jede AV + Homogenität der Kovarianzen zwischen jeder Kombination aus zwei Avs
->Kann durch Box‘s Test getestet werden.
Warum sollten wir bei den Voraussetzungstest den Fehler zweiter Art besser kontrollieren?
Übersehen von Annahmeverletzungen (multivariate Normalität, Homogenität der Kovarianzmatrizen) kann zu fehlerhaften und unzuverlässigen Ergebnissen führen.
Ein höheres Alpha-Niveau kann helfen, diese Verletzungen zu entdecken und somit die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der multivariaten Analyse sicherzustellen (Bei einem höheren Alpha-Niveau erhöhen wir die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine Nullhypothese ablehnen, wenn sie falsch ist, und reduzieren somit die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art)
Interpretiere diese Ergebnisse bezogen auf die Hypothese "Die Einnahme von Alkohol führt zu keiner unterschiedlichen Einschätzung der Attraktivität oder Sympathie."
Der Intercept-Effekt in den Ergebnissen der MANOVA bezieht sich auf den durchschnittlichen Wert der abhängigen Variablen (Attraktivität und Sympathie) unabhängig von den unabhängigen Variablen (z.B. Alkoholeinnahme). Der signifikante Effekt des Intercepts bedeutet, dass die Durchschnittswerte der abhängigen Variablen insgesamt von null verschieden sind. Dies ist jedoch nicht direkt relevant für die Hypothese, die den Effekt der Alkoholeinnahme auf die Einschätzung der Attraktivität oder Sympathie untersucht.
Der p-Wert ist bei allen Tests größer als .05, was bedeutet, dass der Effekt der Alkoholeinnahme nicht signifikant ist.
Was wissen wir (nicht) durch eine MANOVA?
Wird eine MANOVA signifikant, wissen wir erstmal nur, dass sich die Mittelwertsvektoren „unterscheiden“.
Wir wissen nicht:
In welcher Richtung
auf welchen AVs
zwischen welchen Gruppen (bei mehr als 2 Faktorstufen)
die Unterschiede sind.
Welche Möglichkeiten gibt es, um die Unterschiede genauer zu beschreiben?
Wenn vorab keine spezifischen Hypothesen formuliert wurden: Post-hoc Tests.
Wenn vorab spezifischen Hypothesen formuliert wurden: Kontrasttests.
Was sind post-hoc Tests?
Post-hoc Tests im multivariaten Fall sind univariate ANVOVAs . Es gibt so viele univariate ANVOVAs wie es abhängige Variablen gibt
Was sind Einschränkungen von post-hoc Tests?
keine Alpha-Korrektur -> Kumulierung des Alpha-Fehlers
Zusammenhänge zwischen den AVs werden nicht beachtet -> wenn Korrelationsmuster betrachtet werden sollen, wird dieses nicht abgebildet
Deswegen kann es passieren, dass multivariate Analyse signifikant wird, die entsprechenden univariaten Analysen allerdings nicht.
Keine Spezifischen Tests für die Stufen der UV(s) möglich.
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