8. Konfidenzintervall

• Eine Ordinalskalierte Variable die wir so behandeln als wäre sie metrisch

• Wird häufig bei Likert-Skalen verwendet

• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist seine langfristige (n∞) relative Häufigkeit

• Relative Häufigkeiten "stabilisieren" sich bei "vielen" Wiederholungen • Gilt für alle Zufallsprozesse

• Unsere Stichproben sind das Ergebnis von ZUFALLSPROZESSEN

• Verteilung der Stichproben-Kennwerte (Punktschätzer) von verschiedenen Stichproben

• Die "Stichprobenverteilung" nähert sich der Normalverteilung, je größer der Umfang n der einzelnen Zufallsstichproben

1. der Erwartungswert der Stichprobe ist der Anteil der Population

2. die erwartete Varianz ist = Populationsvarianz

Die Wurzel daraus nennt man STANDARDFEHLER

1. die Verteilung der Anteile kovergiert gegen eine Normalverteilung für n —-> ♾️ EGAL, wie die Ausgangsvariabke X verteilt ist

   = Zentraler Grenzwertsatz

• Der Standardfehler der Stichprobenverteilung besagt, wie weit einzelne Schätzungen "in typischer Weise" vom wahren Wert abweichen

Standardfehler hängt von der Streuung der Popilation und der Stichprobengröße ab

Formel:

Idee: Punktschätzer um ein Intervall "erweitern"

• Das Intervall (=Konfidenzintervall) soll den unbekannten Populationsparameter mit hoher Wahrscheinlichkeit (Konfidenz) abdecken

95%-Konfidenzintervall:

Abbildung Formel:

Abildung Konfidenzniveau & Standardfehler

Abbildung:

95%-Konfidenzintervall:

• Das Konfidenzintervall überdeckt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% den wahren Populationsparameter

• Aber: Eine Wahrscheinlichkeit von 5% besteht dafür, dass der wahre Populationsparameter außerhalb des Intervalls liegt

• Irrtumswahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitsinterpretation bezieht sich auf das Intervall

Abbildung:

Die Standardabweichung der X-Variable wird größer.

• Breite des Konfidenzintervalls: Wird größer

• Begründung: Eine größere Standardabweichung führt zu einem größeren Standardfehler, was wiederum zu breiteren Konfidenzintervallen führt.

Der Standardfehler wird kleiner.

• Breite des Konfidenzintervalls: Wird kleiner

• Begründung: Ein kleinerer Standardfehler bedeutet weniger Unsicherheit über den geschätzten Mittelwert, was zu einem engeren Konfidenzintervall führt.

Die Stichprobengröße steigt.

• Breite des Konfidenzintervalls: Wird kleiner

• Begründung: Eine größere Stichprobengröße führt zu einem kleineren Standardfehler, was zu engeren Konfidenzintervallen führt.

Die gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit wird von 5% auf 10% vergrößert.

• Breite des Konfidenzintervalls: Wird kleiner

• Begründung: Eine höhere Irrtumswahrscheinlichkeit (größeres α) führt zu einem kleineren kritischen Wert (z- oder t-Wert), was das Konfidenzintervall enger macht.

Die Grundgesamtheit (Population) wird größer.

• Breite des Konfidenzintervalls: Bleibt gleich

• Begründung: Die Größe der Grundgesamtheit hat keinen direkten Einfluss auf die Breite des Konfidenzintervalls, solange die Stichprobengröße und die Standardabweichung konstant bleiben.

• Wie sieht der Effekt des Alters auf internetnutzung zwischen den Geschlechtern aus?

• Variable female: 0 = männlich, 1 = weiblich

Abbildung:

• Ob ein einzelnes konkretes KI den Wert der Population überdeckt, wissen wir nicht. Es gibt lediglich eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass dies der Fall ist.

• Je größer das Konfidenzniveau (90%, 95%, 99%), desto größer das Konfidenzintervall (Sicherheit vs. Präzision)

• Je größer der Umfang der Stichprobe, desto kleiner das Konfidenzintervall (Kosten vs. Präzision)