Mathe - Wurzeln und Potenzen

Die Schreibweise a^n steht für das Produkt aus n Faktoren mit dem Wert a.

Ein negativer Exponent entspricht dem Kehrwert der positiven Potenz:

1 hoch jede Zahl ist immer 1

0 hoch jede positive Zahl ist immer 0:

• Das Addieren/Subtrahieren und das Potenzieren lassen sich nicht direkt kombinieren: Wird eine Summe potenziert, so muss man die Binomischen Formeln verwenden. Auf diese Weise wird dann aus dem Potenzieren ein Multiplizieren, aus der Potenz (a + b)^2 wird das Produkt (a + b) · (a + b). Nun lässt sich dieses Produkt schrittweise ausmultiplizieren, denn Multiplikation und Addition sind „benachbarte“ Rechenarten!

• Auch Addieren/Subtrahieren und Wurzelziehen (der Umkehroperation zum Potenzieren!) kann man nicht kombinieren. Daher gilt in jedem Fall: Wurzel aus a +/- b ungleich wurzel aus a +/- wurzel aus b - In diesem Fall gibt es (außer einer ggf. möglichen Addition/Subtraktion im Radikanden selbst) keine Möglichkeit, diesen Term zu vereinfachen!

Wenn zwei Potenzen die gleiche Basis haben, kann man die Exponenten addieren:

Wenn zwei Potenzen die gleiche Basis haben, kann man die Exponenten subtrahieren

Wenn eine Potenz nochmals potenziert wird, multiplizieren sich die Exponenten

Wenn ein Produkt potenziert wird, kann man jeden Faktor einzeln potenzieren

Wenn ein Quotient potenziert wird, kann man Zähler und Nenner einzeln potenzieren

Jede Zahl (außer 0) hoch 0 ist 1

• Enthält jeder Summand in einer Summe (die auch Minuszeichen enthalten kann!) einen identischen Faktor, so kann man diesen ausklammern. Zur Kontrolle sollte man die neu gesetzte Kammer danach wieder ausmultiplizieren und das Ergebnis mit der ursprünglichen Summe vergleichen. • Ist einer der Summanden gleich dem ausgeklammerten Faktor, so fällt er beim Ausklammern nicht weg, sondern liefert eine 1 in der neuen Klammer. Zur Vermeidung von Fehlern hilft auch hier die Kontrolle durch Ausmultiplizieren.

• Multipliziert man einen Term oder eine Zahl mit Null, so ist das Ergebnis Null. Es gilt: a · 0  0 für alle a als Element von ℝ

• Falls eine Wurzel mit einem Faktor multipliziert wird, so schreiben Sie diesen unbedingt vor die Wurzel. Nur so können Sie beim Aufschreiben vermeiden, dass Sie diesen Faktor versehentlich als Teil des Radikanden verstehen. Halten Sie sich bitte an diese Regel auch dann, wenn die Reihenfolge aus Nicht-Quadratzahl und Quadratzahl unter der Wurzel eine andere ist.

Potenz vor Punkt vor Strich

Die irrationalen Zahlen erweitern den Zahlbereich ℚ der rationalen Zahlen durch die nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbrüche. Eine irrationale Zahl lässt sich deshalb immer nur als Rundungswert angeben. Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden die irrationalen Zahlen den Zahlbereich ℝ der reellen Zahlen.

Als Grundmenge einer Gleichung wird ab sofort die Menge ℝ der reellen Zahlen angesehen. Bei Angabe einer Definitionsmenge (z. B. bei einer Bruchgleichung) werden die entsprechenden Elemente immer aus der Menge ℝ entfernt.

Die Wurzel aus der Summe bzw. der Differenz der Radikanden ist ungleich der Summe bzw. der Differenz der beiden Wurzeln. Wurzeln kann man in dieser Weise nicht addieren und subtrahieren!

Das Produkt bzw. der Quotient zweier Wurzeln ist gleich der Wurzel aus dem Produkt bzw. dem Quotienten der beiden Radikanden.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - ab + b^2

(a+b)x(a-b) = a^2 - b^2

Basis

Exponent