2 Unendliche Reihen

n-te Partialsumme ist die Summe der ersten n-Glieder einer unendlichen Reihe

für jede natürliche Zahl n erhalten wir eine reele Zahl Sn (Zahlenfolge)

Methode zur Berechnung von Summen

hilfreich, wenn sich Summanden in 2 Teile splitten lassen -> Partialbruchzerlegung

Ausdruck der Form: a1 + a2 + a3 + …

Summe (von k=1 bis unendlich) ak

ak sind Glieder einer Zahlenfolge (=Reihenglieder)

kann berechnet werden, wenn Folge der Partialsumme konvergiert

-> Reihenglieder müssen gegen 0 konvergieren

lim (k gegen Unendlich) ak = 0

kann über Grenzwert der Folge der Partialsumme berechnet werden

Summe (k=0 bis unendlich) ak = lim (n gegen Unendlich) Sn

geometrische Reihe: Summe k=1 bis unendlich: q^k

= lim (n gegen Unendlich) (q-q^(n-1))/(1-q)

für Betrag q < 1 —> q/(1-q)

sonst unendlich

geometrische Reihe: Summe k=0 bis unendlich: q^k

—> 1/(1-q)

Summe k=0 bis Unendlich ak*(x-x0)^k

Potenzreihen beginnen mit Summationsindex k=0

exp(x) = Summe k=0 bis Unendlich x^n / n! (n Fakultät)

= 1/0 + x/1 + x^2/6 + x^3/ 24 + …

exp’(x) = exp(x)

= unendliche Reihe Summe k=1 bis unendlich ak heißt absolut konvergent, falls Summe k=1 bis unendlich Bertrag (ak) konvergiert

Gegenbeispiel: alternierende harmonische Reihe:

Summe k=1 bis unendlich (-1)^k / k = -ln(2)

Summe k=1 bis unendlich Betrag (-1)^k / k = Summe k=1 bis unendlich 1 / k = unendlich