Wie funktionieren Punkte im dreidiemensionalen Koordinatensystem?
Jeder Punkt hat drei Koordinaten (x1, x2, x3)
Wenn Punkt eingezeichnet, gibt es mehrere Möglichkeiten, wie er benannt werden kann gibt unendlich viele Möglichkeiten
Wie funktioniert ein dreidiemensionales Koordinatensystem?
x1 - x2 Ebene = Boden -> alle Punkte P(x1/x2/0)
x2 - x3 Ebene = Wand -> alle Punkte P(0/x2/x3)
x1 - x3 Ebene = andere Wand -> alle Punkte p(x1/0/x3)
man geht erst schritte auf x1 dann x2 dann x3
2 diemensionales System -> x2 - x3 Ebene
Was ist ein Verbindungsvektor/ Richtungsvektor?
Verschiebung eines Punktes zu einem anderen
es gilt für den Verbindungsvektor von Punkt P(p1/p2/p3) zu Punkt Q (q1/q2/q3)
Was ist ein Vektor, wie kann er dargestellt werden?
ein zweidiemensionaler Vektor beschreibt eine Verschiebung in einer Ebene
ein dreidiemensionaler Vektor ist die Verschiebung eines Punktes im Raum
Kann durch Vektorpfeil dargestellt werden, der durch seine Richtung und Länge gekennzeichnet ist
Was ist ein Ortsvektor?
der Verbindungsvektor vom Koordinatenursprung O zu einem Punkt P (p1/p2/p3)
Ortsvektor von P
Vektor OP = p1 p2 p3
Was ist der Betrag eines Vektors, und wie berechnet man ihn?
Was ist der Gegenvektor und wie bestimmt man ihn?
Der Gegenvektor zu v (v1 v2 v3) ist -v (-v1 -v2 -v3)
der Pfeile hat gleiche Länge nur andere Richtung anstatt von Punkt P nach Q sondern von Q nach P
Wie addiert man Vektoren?
Vektor x (x1 x2 x3) mit Vektor y (y1 y2 y3) addiert
= (x1 + y1 ) (x2 + y2) (x3 + y3)
Wie funktioniert Vektor Subtraktion?
man subtrahiert ein Vektor indem man den Gegenvektor addiert
Was bedeutet es wenn zwei Vektoren kolinear sind oder es nicht sind?
Was kann passieren wenn ein dritter Vektor bekommt?
wenn ein Vektor das Vielfache von einem anderen ist, sind sie kolinear
sie sind parallel und nur unterschiedlich lang
nicht kolineare Vektoren spannen eine Ebene auf
der dritte kann entweder in der Ebene liegen oder einen Körper aufspannen
kann überprüft werden, wenn man den dritten Vektor durch die anderen beiden beschrieben werden können
x * Vektor a + y * Vektor b = Vektor c -> kann in linearen Gleichungssystemen gelöst werden
Wie ist eine allgemeine Geradengleichung in Parameterform?
Wie kann eine Strecke definiert werden in Parameterform?
indem grenzen für r festgelegt werden
Wie können zwei Geraden zueinander liegen, und wie kann man überprüfen, welche zutrifft?
zwei Geraden können identisch, echt parallel, windschief oder schneidend sein
Dies kann auf zwei Arten überprüft werden
Was ist das Skalarprodukt und was sagt es aus?
das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren und hat eine reelle Zahl als Ergebnis
wenn das Skalarprodukt 0 ist, sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander
Wie lautet die allgemeine Parametergleichung einer Ebene?
Stützvektor + r * Richtungsvektor + s * anderen Richtungsvektor, der nicht kolinear zum anderen ist
Was ist der Normalenvektor und wie kann man ihn berechnen?
der Normalenvektor ist der Vektor, der orthogonal zum Vektor ist
er beschriebt die Richtung und steigung der Normale zu einer Gerade mit einem Eichtungsvektor zu dem er orthogonal ist
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Wie berechnet man den Abstand von zwei Punkten im Raum?
indem man einen Verbindungsvektor erstellt und seine Länge berechnet (Betrag von verbindungsvektor)
Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Vektor?
Wie können Ebenen zueinander liegen?
schneiden, echt parallel, identisch
man betrachtet die Normalenvektoren der beiden Ebenen
wenn beide vielfache voneinander sind (LGS eine Lösung) sind die Ebenen echt parallel oder identisch
Punkt einsetzen, wenn ein gemeinsamen Punkt -> unendlich gemeinsame Punkte -> identisch
wenn beide Normalenvektoren unabhängig voneinander sind (LGS keine Lösung) -> schneiden
Schnittgerade: Ortsvektor (ein Schnittpunkt) + r * Richtungsvektor, der orthogonal zu beiden Normalenvektoren der Ebenen ist
Was sind Spurpunkte?
bestimmte Punkte bei denen die Gerade eine Achse oder Ebene schneidet
Spurpunkt mit x1-Achse ist dort wo die x1-Koordinate 0 ist
Spurpunkt mit x1-x2-Ebene ist dort wo die x1-Koordinate und die x2-Koordinate 0 sind
Wie berechnet man den Abstand von Punkt und Ebene?
Senkrechte Gerade durch Punkt P und durch die Ebene
normalenvektor der Ebene und OP als Ortsvektor
Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene ermitteln -> ist Punkt S
Verbindungsvektor PS
Länge des Verbindungsvektors
Wie berechnet man den Schnittpunkt zwischen einer Gerade und einer Ebene einfach?
durch einsetzen der geraden in die Koordinatenform der Ebene
Wie können eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen?
Wie bestimmt man den Schnittwinkel einer Ebene und einer Gerade berechnen?
sie können sich schneiden, echt parallel sein oder die Gerade liegt in der Ebene
Schnittpunkt bestimmen, wenn ein Lösung -> schneiden sich
wenn zwei oder mehr Lösungen -> liegt in der Ebene
wenn keine Lösung -> echt parallel
Schnittwinkel
Winkel zwischen Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Gerade und dann rechnen wie viel noch bis 90° fehlt
Wie lautet die allgemeine Koordinatenform einer Ebene?
Wie lautet die Normalenform einer Ebene?
Wie kann man eine Ebene aus der Parameterform in Koordinatenform bringen?
Wie kann man eine Ebene aus der Koordinatenform in Parameterform bringen?
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