Entscheidung unter Risiko

Das Erwartungswertprinzip besagt, dass von verschiedenen Investitionen diejenige bevorzugt wird, die den höchsten erwarteten Return aufweist. Der Wert einer Investition Val(x) ist gleich dem Erwartungswert E(x) der Returns

• Sicherheitssituation: Handlungsalternativen können eindeutige Ergebnisse zugeordnet werden

• Unsicherheitssituationen: Konsequenzen der eigenen Entscheidung sind unsicher

  • Spielsituation: Es gibt rational handelnden Gegenspieler

  • Unsicherheitssituationen im engeren Sinne

    • Risikosituationen: Situationen, in denen jeweils Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt eines Umweltzustandes angegeben werden

    • Ungewissheitssituationen: Einzelnen Situationen kann aus Mangel an Informationen keine Eintrittswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden

      
      

• Wähle diejenige Handlungsalternative, die den Erwartungsnutzen maximiert

• Maximiere den Erwartungswert des Nutzens.

1. Sie wird vollständig durch die beiden Parameter Erwartungswert μ und Standardabweichung σ beschrieben

2. Sie ist symmetrisch um den Mittelwert μ verteilt

3. Eine normalverteilte Zufallsvariable X kann immer in die standardnormalverteilte Zufallsvariable Z – sie hat einen Erwartungswert von null und eine Standarbabweichung von eins – transformiert werden:

   X ist NV(μ,σ), dann ist Z NV(μ=0, σ=1). Dies ist die so genannte Standardisierung

4. Auf Grund der Symmetrie gilt für eine Standardnormalverteilung:

   F(-x) = 1-F(x), mit Wahrscheinlichkeitsfunktion F(.)

5. Ca. 68% aller Fälle liegen in einem Bereich von 1 Standardabweichung, ca. 95% in einem Bereich von 2 Standardabweichungen und ca. 99% aller Fälle in einem Bereich von 3 Standardabweichungen um den Mittelwert

• Deskriptiv: Wie wird entschieden?

• Normativ: Wie sollte entschieden werden?

  • Ethisch-normativ: Analyse von Entscheidungssituationen mit dem Ziel, aus ethischen Grundsätzen Anhaltspunkte

    für die Lösung von Entscheidungskonflikten

    abzuleiten (sittliches Handeln)

  • Praktisch-normativ: Analyse von Entscheidungssituationen mit

    dem Ziel, Anhaltspunkte für die im Hinblick

    auf alternativ mögliche Zielvorstellungen optimale

    Lösung von Entscheidungskonflikten

    abzuleiten

  • 
    

Die sichere Zahlung nennt man Sicherheitsäquivalent (SÄ) und den Aufschlag, dafür, dass die tatsächliche Ausprägung ungewiss ist, Risikoprämie.

1. Vollständigkeit: Entscheider ist in der Lage alle zur Verfügung stehenden Alternativen hinsichtlich der „Wünschbarkeit“ zu Vergleichen.

2. Transitivität: Präferenzen müssen in sich konsistent, also widerspruchsfrei sein.

3. Reflexivität: Güterbündel die als identisch angesehen werden, werden gleich bewertet

4. Stetigkeit: Der Nutzen einer Sicheren Zahlung kann durch eine Lotterie erreicht werden

5. Unabhängigkeit (von irrelevanten Alternativen):

• Ist ein Entscheider indifferent zwischen zwei Lotterien, so ist er auch zwischen zwei mehrstufigen Lotterien indifferent. Zusätzliche gleich wahrscheinliche Ereignisse verändern

  nicht die Präferenz des Entscheiders.

• Erfüllt die Präferenz eines Entscheiders bezüglich riskanter Alternativen die Axiome, dann gibt es eine Funktion u – die Nutzenfunktion -, deren Erwartungswert („Erwartungsnutzen“) die Präferenzen abbildet.

Risikoavers:

• Entscheidung: Faires Spiel wird abgelehnt

• Nutzenfunktion: Streng konkav, U’’(W) < 0

• Sicherheitsäquivalent < E(W)

• Risikoprämie > 0

Risikoneutral:

• Entscheidung: Indifferent gegenüber fairem Spiel

• Nutzenfunktion: Linear U’’(W) = 0

• SÄ = E(W)

• Risikoprämie = 0

Risikofreudig:

• Entscheidung: Faires Spiel wird akzeptiert

• Nutzenfunktion: Streng konvex, U’’(W) > 0

• SÄ > E(W)

• Risikoprämie < 0

Die Nutzenfunktion impliziert bestimmte Einstellungen zum Risiko. Kennt man die Nutzenfunktion des Anlegers, kann hieraus unmittelbar auf seine Risikoeinstellung – risikoavers, -neutral oder -freudig – geschlossen werden. Der gleiche Sachverhalt lässt sich auch mit Hilfe des Sicherheitsäquivalents SÄ oder der Risikoprämie π ausdrücken.

Der Erwartungswert berücksichtigt nicht die Schwankungen der Returns. Zwei Investitionen können den gleichen erwarteten Return aufweisen, obwohl sie sich in den periodischen Schwankungen der Returns unterschieden. Diese Schwankungen um den Mittelwert werden durch die sog. Standardabweichung gemessenen; diese Standardabweichung σ gibt das Risiko eines Investments wieder. Sie ist gleich der Wurzel aus der Varianz σ2.

Definition Expected Shortfall/VaR:

Verlust, der mit einem bestimmten Konfidenzniveau α – also mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit – in einem gegebenen Zeitraum nicht überschritten wird.

Der Expected Shortfall / Value at Risk (VaR) ist der maximal mögliche Verlust einer Anlage, der in einem bestimmten Zeitraum mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit nicht überstiegen wird.

Berechnung des Expected Shortfall / VaR:

•Erwartungswert und Standardabweichung der Verteilung ermitteln

•Konfidenzniveau (Wahrscheinlichkeit des nicht überschreitens des VaR) bestimmen und den jeweiligen Za aus

Standardnormalverteilungstabelle übernehmen.

Normalverteilungen sind durch die Parametern Erwartungswert und Standardabweichungen/ Varianz vollständig beschrieben. Sobald eine solche Verteilung vorliegt, brauchen keine spezifischen Annahmen über die Nutzenfunktion getroffen werden.

• psychologische Referenzpunkte / Erwartungen

• Emotionen (Enttäuschung, Bereuen, Gier, Furcht)

• Risikoaffinität

• Verlustaversion

• DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion): Wenn das Vermögen steigt, wird vom Investor eine geringere Risikoprämie gefordert. Das heißt, ein Investor geht mehr Risiko.

• CARA (Constant Absolute Risk Aversion): Unabhängig vom Vermögen fordert ein Investor die gleiche Risikoprämie, d. h. es wird immer das gleiche Risiko eingegangen.

• CRRA (Constant Relative Risk Aversion): Das Verhältnis von Vermögen und geforderter Risikoprämie bleibt gleich. Der gleiche Anteil an risikoreichen Assets wird investiert.

  
  

  ->CRRA bedeutet gleichzeitig, dass ein Investor in die Kategorie DARA fällt.

• Sind die Annahmen traditioneller Finanztheorie realistisch???

  • Der Mensch/Investor agiert stets rational (Homo oeconomicus)

  • Investmententscheidungen beruhen ausschließlich auf ökonomischen Faktoren Rendite und Risiko (Mean-Variance Analyse)

  • Informationseffizienz

  • -> Vollkommene Markteffizienz (Effizienzthese) macht risikoadjustierte Überrendite („Alpha“) unmöglich

• Empirische Testbarkeit ist grundsätzlich problematisch

• Beobachtbare Marktanomalien lassen aber an Richtigkeit der Effizienzthese zweifeln

• Desweitern zeigten Studienergebnisse (DeMiguel et al., 2009), dass simple Anlageheuristiken zu ebenso guten Ergebnissen wie z.B. die Markowitz-Optimierung führten

  -> Behavioural Finance als Erklärungsansatz

• Grundsätzlich sind Anlageentscheidungen Entscheidungen unter Unsicherheit. Sofern Eintrittswahrscheinlichkeiten für verschiedene Umweltzustände bekannt sind, spricht man von Risikosituationen.

• Das Treffen von Entscheidungen unter Risiko bildet den Ausgangspunkt der modernen Portfoliotheorie.

• Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich durch verschiedene statistische Maßzahlen beschrieben, die - für sich genommen oder in Kombination - als Basis für Anlageentscheidungen herangezogen werden: Erwartungswert, Varianz und expected shortfall.

• Sofern man bestimmt Axiome akzeptiert, ergibt sich zwingend das Bernoulli-Prinzip der

• Maximierung des Erwartungsnutzens als rationale Entscheidungsregel bei Rsikositua-tionen.

• Kennt man die Nutzenfunktion eines Individuums, so ergibt sich hieraus sein Verhalten in Risikosituationen.

• Sofern Returns normalverteilt sind, führen Mittelwert-Varianz-Ansatz und Prospekttheorie wieder zu gleichen Ergebnissen. Das heißt beide Ansätze führen zur gleichen Entscheidung.

• Im Falle von nicht-normalverteilten Returns führt lediglich ein Spezialfall zu gleichen Entscheidungen:

  • Man nimmt für den Referenzpunkt den Erwartungswert

  • Man ignoriert die Verlustaversion und wertet Gewinne und Verluste gleich Beta = 1

  • Man verwendet eine quadratische Value-Funktion

• Ein Risikoverhalten (avers, freudig oder neutral) lässt sich auch dadurch beschreiben,

  • ob ein faires Spiel akzeptiert oder abgelehnt wird oder ob Indifferenz vorliegt

  • ob die Risikoprämie positiv, negativ oder null ist.

• Mit Hilfe einer Nutzenfunktion lässt sich die Höhe der Risikoprämie berechnen, die ein Anleger verlangt. Gleichzeitig ergibt sich auch, ob bei steigendem Vermögen absolut und relativ mehr oder weniger in risikobehaftete Assets investiert wird.

• Das Treffen von Anlageentscheidungen auf Basis allein von Erwartungswert und Varianz einer Return-Verteilung ist dann mit dem dem Bernoulli-Prinzip vereinbar, wenn entweder

  • das Anlegerverhalten durch eine quadratische Nutzenfunktion beschreiben werden kann oder

  • die Returns normalverteilt sind.

• Werden neben rein ökonomischen auch psychologische und soziologische Einflüssen in die Entscheidungsmodelle einbezogen, befindet man sich in der „Behavioral Finance“ bzw. „Prospect Theory“ („An analysis of Decision under Risk“; Kahneman und Tversky, 1979).

• Prospect Theory unterteilt den Entscheidungsprozess in zwei Phasen. In jeder Phase wirken psychologische Einflüsse auf den Investor (-> vgl. Biases):

1. Editing-Phase: Übersetzung einer qualitativen Entscheidung in eine quantitative Entscheidungsmatrix. Das heißt, zunächst werden Renditeprognosen, Wahrscheinlichkeiten und ein Referenzpunkt festgelegt und mögliche Resultate geordnet.

2. Evaluation-Phase: Anschließend werden alle möglichen Resultate mit Eintrittswahrscheinlichkeiten multipliziert und die Alternative mit dem höchsten Wert gewählt.

Darüber hinaus gibt es zwei Beobachtungen:

1. Individuen werten Verluste höher als Gewinne. Im Bereich der Gewinne sind Individuen risikoavers und im Bereich von Verlusten risikofreudig.

2. Individuen überbewerten Ergebnisse mit geringer Wahrscheinlichkeit im Vergleich zu sicheren Ereignissen.

• Anchoring

• Availability Bias und Attention Bias

• Representative Bias („Law of Small Numbers“)

• Overconfidence

• Confirmation Bias

• Prospekt-Theorie beobachtet, dass Investoren

  • Ereignisse, die eine geringe Wahrscheinlichkeit haben, übergewichten und

  • Ereignisse, die mit hoher Wahrscheinlichkeit eintreten können, untergewichten.

• Psychologisch bedeutet dies: Der Schritt von 0% auf 1% wird höher angesehen als ein Schritt von 49% auf 50%

• ABER: Übergewichten von Wahrscheinlichkeiten sollte immer unterschieden werden von Überschätzung von Wahrscheinlichkeiten.

• Ziel der Prospect Theory ist es, fundamental menschliche Verhaltensaxiome zu finden, die das Geschehen an den Finanzmärkten besser erklären. Durch systematische Verhaltens-muster (Biases bzw. Verhaltensanomalien) kann die vorherrschende Kapitalmarkttheorie erweitert werden.

• Sofern Returns normalverteilt sind, führt auch die Prospekt-Theorie zu gleichen Ergebnissen und berücksichtigt dabei psychologische Komponenten.

• extremer Ereignisse („Crash-o-phobia“)

  • Ursache für den Volatilitäts-“Smile“ im Optionsmarkt

  • Menschen sind bereit mehr für eine Lotterie zu zahlen als deren erwarteter Gewinn

• Myopic Loss Aversion

  • Tendenz zur Verwendung kurzfristiger Evaluierungsperioden bei Investmententscheidungen führt zur Vermeidung von risikoreichen Assets (z.B. Aktien)

• Disposition Effect

  • Form von Narrow Framing: Neigung Investments abzustoßen, deren Wert gestiegen ist, und solche zu halten, deren Wert gesunken ist.

Im Falle, dass Returns normalverteilt sind, ist die klassische Portfoliotheorie (Mittelwert-Varianz- Analyse bzw. Markowitz) überleitbar zur Erwartungsnutzentheorie (Bernoulli).