benötigtes Vokabular

• einen Ausdruck, von dem eindeutig bestimmt ist, ob er wahr (w) oder falsch (f) ist

  -> der Sinn der Aussage muss klar sein

  -> die Aussage darf nicht von Subjektivität abhängen (eindeutig bestimmt!)

• hierbei handelt es sich um die sog. Implikation

• wenn diese Aussage wahr ist heißt es “A impilziert B”

• statt „A impliziert B“ sagt man auch „wenn A, dann B“, „B folgt aus A“, „A ist hinreichend für B“ oder „B ist notwendig für A“

• ist die Aussage A falsch, so ist die Implikation A ⇒ B stets wahr; man kann also aus einer falschen Aussage folgern, was immer man möchte

-> der Schnitt entspricht also in der Mengensprache der Konjunktion

-> die Vereinigung entspricht also in der Mengensprache der Disjunktion

-> es gibt keine direkte Entsprechung der Negation in der Mengensprache

• eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N, geschrieben

  M ⊆ N, falls gilt ((x ∈ M) ⇒ (x ∈ N)) - wir schreiben dann M ⊆ N

• eine Relation f = (M, N, Gf ) heißt Funktion, wenn

  ∀m ∈ M ∃!n ∈ N : (m,n) ∈ Gf

  -> ist m ∈ M, so heißt das eindeutige Element n ∈ N mit (m,n) ∈ Gf das Bild von m unter f, und man schreibt f (m) := n

-> eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet

• folgende Schreibweisen gibt es:

• statt f (x) := y schreibt man manchmal auch x -> y

• um eine solche Funktion zu beschreiben genügt es, für jedes Element x ∈ M das Bildelement f (x) anzugeben

• Funktionen müssen nicht durch Formeln beschreibbar sein

Im Folgenden seinen M und N zwei beliebige Mengen und f : M → N eine Funktion:

-> der Bildbereich, der Werte der Zielmenge, die f auf M annimmt

Im Folgenden seinen M und N zwei beliebige Mengen und f : M → N eine Funktion:

• man sagt auch Urbild von M unter f

• die Funktion f : M → N heißt injektiv, falls

  ∀m1,m2 ∈ M : f (m1) = f (m2) ⇒ m1 = m2;

-> wenn es zu jedem Element y der Zielmenge Y höchstens ein (also eventuell gar kein) Element x der Ausgangs- oder Definitionsmenge X gibt, das darauf zielt, wenn also nie zwei oder mehr verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden

-> man kann diese Bedingung mittels der Fasern von f ausdrücken als ∀n ∈ N : |f −1 [n]| ≤ 1

• man scheibt auch:

Zusatz:

• die Funktion f : M → N heißt surjektiv, falls Bild(f) = N

  -> eine mathematische Funktion, die jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert annimmt, das heißt, jedes Element (und damit jede nichtleere Teilmenge) der Zielmenge hat ein nichtleeres Urbild

  -> dies bedeutet, dass die Fasern von f nicht leer sind, also

• Formal:

  

• widerlegen durch Gegenbeispiel und beweisen (für reelle Mengen) indem man für alle y ein x konstruiert:

  Beispiel: R->R, f(x)=3x+7

  Sei y ∈ R dann muss es ein x mit f(x) = y geben.

  3x+7 =y -> x = 1/3*(y-7)

  Probe: x einsetzen in der Funktion führt zu einem y

• man schreibt auch:

• die Funktion f : M → N heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist

• zum beweisen der Bijektivität müssen sowohl Injektivität als auch Surjektivität bewiesen werden

• man schreibt auch:

• Bijektivität ist gleichbedeutend mit:

ist f: M-> N eine bijektive Funktion, dann heißt die folgende Fkt Umkehrfunktion: