Wozu brauchen wir komplexe Zahlen überhaupt? (Motivation)
um Gleichungen wie x^2 = -4 zu lösen
Wie lassen sich komplexe Zahlen darstellen?
Zahlenstrahl ist bereits mit reelen Zahlen gefüllt
Zahlenpaar, dass in der Zahlenebene dargestellt werden kann
Gaußsche Zahlenebene
Welche Körperaxiome “Spielregeln” muss ein Körper erfüllen?
1 Kommutativität: a+b=b+a, ab=ba
2 Assoziativität: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c
3 Neutrales Element a+0=a, a*1=a
4 Inverses Element a+(-a)=0, a*a^-1 =1 für a ungleich 0
5 Distributivgesetz a(b+c) = ab+ac
Für die Addition zweier komplexer Zahlen gitl: z+w = (x,y)+(u,v) = (x+u, y+v). Wie lautet das neutrale Element und wie das inverse Element für die Addition?
Warum können für die Multiplikation nicht auch z*w =
(x,y)(u,v) = (xu, yv) schreiben?
Neutrales Element: z+0 = (x,y)+(0,0) = (x, y) = z
Inverse Element: z+(-z) = (x,y)+(-x,-y) = (0, 0) = 0
Multiplikation: z*w = (x,y)(u,v) = (xu- yv, xv+yu)
Für die Multiplikation zweier komplexer Zaheln gilt: z*w = (x,y)(u,v) = (xu- yv, xv+yu). Wie lautet das neutrale Element und wie das inverse Element für die Multiplikation
Neutrales Element: (x,y)(1,0) = (x1- y0, x0+y1) = (x,y)
Inverse Element: (x,y)(u,v) = (1,0)
z^1 = (x/(x^2+y^2) ; -y/(x^2+y^2))
Wie ist die imaginäre Einheit definiert?
i:=(0,1)
(i = Wurzel -1)
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
Was passiert, wenn eine komplexe Zahl mit der imaginären Einheit multipliziert wird?
Es handelt sich hierbei um eine Drehung um 90°
dreht man für komplexe Zahl das Vorzeichen des Imaginärteils um, entspricht das eine Spiegelung an der reellen Achse = konjugieren
Gibt es neben der Darstellung z=(x,y) noch weitere Darstellungsformen für komplexe Zahlen?
—> Kartesische Form: z=(x,y)= x+iy
Re(z):=x (Realteil)
Im(z):=y (Imaginärteil)
z(quer):=x-iy (Konjugierte von z)
Betrag z := Wurzel(x^2+y^2) (Betrag von z=
—> Polardarstellung: z=r*e^iphi
—> trigonometrische Form: z=r*(cos phi + i*sin phi)
Wie lauten die Rechenregeln der komplexen Zaheln für die Darstellung in der kartesischen Form?
Wie können wir die komplexen Zahlen von der kartesischen Form in die Polarform und umgekehrt umwandeln
arg(z) = phi
Umwandeln in Polar: r=Betrag z, phi = arg(z)
Umwandeln in Kartesisch: x=rcos phi, y=rsin phi
Wie ist der Grenzwert von Folgen komplexer Zahlen definiert?
Eine Folge komplexer Zahlen ist eine. Abbildung IN—>C
Die komplexe Zahl a heißt Grenzwert der Folge, falls zu jedem E>0 ein n0 E IN existiert, sodass Ia-anI<E für alle n>n0
Für die komplexe Folge zn=xn+i*yn mit dem Grenzwert z=x+iy gilt: lim(n gegen unendlich) z = lim(n gegen unendlich) xn=x und lim(n gegen unendlich) yn=y
Was ist die Mandelbrotmenge?
Menge der komplexen Zahlen c, bei der Folge definiert ist
Anfangwert z0=0, zn+1=zn^2+c
also: z1=c, z2=c^2+c, z3=(c2+c)^2+c
Folge ist beschränkt
Bei Auswertung vieler Folgeglieder entstehen Fraktale, genannte Apfelmännchen
Welche Eigenschaften hat die Exponentialfunktion für imaginiäre Argumente?
Funktion IR—> C, f(t)=e^it
Betrag des Funktionswerts:
If(t)I^2 = e^it * e^it(quer) = e^it x e^-it = e^it-it = e^0 =1 If(t)I = 1
Die Funktion ist periodisch mit T=2Pi
e^2Pi*i=1,
e^Pi*i=-1,
e^Pi/2*i = i
e^3/2Pi*i = -i
Eulersche Identität: e^Pi*i +1 = 0
Deuten Sie die Mulitplikation zweier komplexer Zahlen mit Hilfe der Polarkoordintendarstellung
z = 3e^i*Pi/4. w=2e^i*3Pi/4.
zw = 3e^iPi/4 * 2e^i3Pi/4 = 6e^iPi
Winkel addieren sich, Längen werden mulitpliziert
Zeigen Sie anhand einer Skizze die Euler-Formel. Wie kommen Sie von der komplexen Exponentialfunktion zur Reihendarstellung vom Sinus und Kosinus?
Zeigen Sie, wie Sie mit Hilfe der Euler-Formel die Additionstheoreme herleiten
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