7 Fourier-Analyse

Approximation einer Funktion mithilfe harmonischer Schwingungen (trigonometrische Polynome)

Fourier-Analyse: Herausfinden, aus welchen Frequenzanteilen sich eine gegebene periodische Funktion f zusammensetzt

• Übertragung von Schall

• Berechnung Schwingungen (Tragwerksdynamik)

• zerstörungsfreie Prüfungen von Bauteilen

• mit Sinus und Kosinus

• mit der komplexen Exponentialfunktion

für periodische Funktionen

• mithilfe der Konvergenz im quadratischen Mittel

• Die Faktoren ck wurden so bestimmt, dass der Abstand zwischen dem trigonometrischen Polynom und der Funktion f möglichst klein wird

• unter Ausnutzung der Orthogonalität von trigonometrischen Poylnomen ergeben sich die Fourierkoeffizienten

• mithilfe quadratischen Abstand (optimaler Fehler) zwischen f und Fn

Nein

• umso glatte eine Funktion verläuft, desto schneller konvergiert diese. Knicke und Sprünge sorgen für eine langsame Konvergenz

• kann man auch an den Fourrierekoeffizienten erkennen. Umso größer der Exponentn von k desto schneller konvergiert die Fouriere Reihe

Es gibt Überschwinge an Sprungstellen, diese gehen auch bei größer werdenden n nicht weg. Die Stelle um den Überschwinger wird nur immer schmaler

Nein, da die Sprungstelle keine Breite hat und damit beim Integrieren nicht relevant ist

Flächen heben sich gegeneinander auf

Die FolgeFn der Fourierpolynome konvergiert im quadratischen Mittel gegen f, das heißt

lim (n gegen unendlich)

Integral von 0 bis 2Pi IFn(x)-f(x)I^2 dx = 0

Die in diesem Sinne konvergierte unendliche Reihe Summe (k=-unendlich bis unendlich) ck * e^ikx heißt Fourierreihe von f