Was ist eine diskrete Fourier-Transformation
Fourier-Analyse einer nicht kontinuierlichen also diskreten Funktions. Es werden N Messwerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten betrachtet
Also:
Umrechnung der Periode in eine 2Pi periodische Funktion. Für die einzelnen Zeitpunkte ergibt sich damit: ^t= 2Pi/T*t
Festlegung des Grades des Fourierpolynoms und Berechnung der Fourierkoeffizienten
Was ist das WKS-Abtasttheorem?
Umso größer die Frequenz desto mehr Messpunkte werden für das Aufzeichnen benötigt. Die Abstrakte sollte mindestens das Doppelte der höchsten Frequenz entsprechen. Also mindestens 2 Messwerte in einer Schwingung
Welchen Grad n sollten wir für das Fourierpolynom einer diskreten Funktion wählen?
ist nicht beliebig wie bei einer kontinuierl. Funktion
Mithilfe des WKS-Abtasttheorem ergibt sich:
Abtastfrequenz mit N Messwerten in einer Periode der Länge T: f_abtast = N/T
entsprechend dem WKS-Abtasttheorems: 2fmax < fabtast = fmax < 1/2fabtast = N/2T
Damit n/T<N/2T: n<N/2 (Also bei 10 Messwerten, minimaler Grad n=4)
wir nehmen immer: n = (N-1)/2
Können wir bei einer diskreten Funktion die Koeffizienten der Fourierreihe mit
ck=1/2PI Integral von 0 bis 2PI f(t) * e^ikt dt = 0
bestimmen? Falls nicht, wie gehen wir dort vor?
Nein, da wir die Funktion f(t) nicht kenne. Mithilfe numerischer Verfahren (summierte Trapezformel) können die Koeffizienten bestimmt werden.
Mit der Trapezformel ergibt sich:
ck=1/N Summe(j=1 bis N) yie^iktj mit tj=(j-1)* (2PI)/N
Was ist die FFT?
Das ist die schnelle Fouriertransformation. Besonder effiziente Art die Fourierkoeffizienten zu bestimmen. Das liegt an der speziellen Form der Fouriermatrix
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