2.8 Trasmissione del Calore

Finora abbiamo visto la termodinamica e la meccanica dei fluidi, quindi tutti i processi di scambio termico li abbiamo osservati come un osservatore che non è informato di come avviene lo scambio termico e perché riusciamo a trasferire energia sottoforma di calore ad esempio da una caldaia ad un fluido nel ciclo Rankine? Perché riusciamo a trasferire calore da un ambiente o da un serbatoio ad alta temperatura ad una macchina che lavora con un ciclo? Grazie ad una differenza di temperatura, quindi un ΔT tra un oggetto e un altro oggetto, fa sì che si abbia la trasmissione del calore dall’oggetto alla temperatura più alta all’oggetto alla  temperatura più bassa e questo vale per qualsiasi caso.

Non può avvenire il contrario, perché violeremmo il 2° principio della termodinamica. Quindi la trasmissione del calore avviene tramite un ΔT, tramite 3 modalità. Nella pratica queste modalità che si uniscono tra di loro, cioè si combinano, ma noi le studiamo come se fossero separate. Per capire quello che porta allo scambio termico, bisogna studiare ogni modalità isolata dalle altre. Quindi questore 3 modalità sono:

1. Conduzione

2. Convezione

3. Irraggiamento

Il modo più semplice per spiegare la conduzione è prendere due reticoli cristallini, un cristallo a temperatura T₁ e uno a temperatura T₂. T₁ è maggiore di T₂, quindi si ha lo scambio termico per conduzione da questo cristallo a quest’altro cristallo, quindi si genera lo scambio termico q, dove q è una potenza termica [W].

Quando T₁ > T₂ la potenza o flusso di calore va dal cristallo a temperatura T₁ al cristallo a temperatura T₂.

Se io prendo un oggetto molto caldo e lo metto a contatto con un oggetto molto freddo, ad esempio una tazza di tè bollente, la metto a contatto con un pezzo di ghiaccio. Succede che si scambia calore, quindi energia sottoforma di calore Q. Fintanto che i due corpi non raggiungono la medesima temperatura, si ha questo scambio termico. Quando T₁ = T₂ perché il nostro corpo numero 1, cedendo calore, diminuisce la sua energia interna e quindi diminuisce la sua temperatura, l’altra aumenta e dopo un periodo di tempo infinito (o non infinito), abbiamo che T₁ = T₂ e quindi si raggiunge l’equilibrio. Da quel momento in poi, i due corpi si trovano alla stessa temperatura, ΔT = 0 e non si ha più questa potenza termica, alla fine i due corpi scambiano una quantità di calore in J, definita dalle loro caratteristiche termofisiche.

Quando studiamo questi processi, abbiamo visto in termodinamica che prendiamo un corpo generico A, il calore è positivo se è entrante e il lavoro è positivo se è uscente. Prendiamo il corpo A e il corpo B.

Se TA, cioè la temperatura ad un certo istante del corpo A, è maggiore di TB, cioè la temperatura ad un certo istante del corpo B; se i due corpi sono a contatto fisico tra di loro, allora si genererà una potenza termica q o Q punto. Q punto sta per derivata del calore e quindi è una potenza termica.

Questa potenza termica, se prendiamo come sistema il corpo A, qA sarà negativa, perché sta uscendo dal nostro corpo A. Se invece prendiamo come sistema il corpo B, qB sarà positiva, perché sta entrando nel sistema, quindi il segno di questa energia scambiata sottoforma di calore, dipende dall’osservatore. Bisogna capire dove conviene porre l’osservatore, quindi dove mettere il contorno del sistema, se metterlo attorno ad A oppure a B e poi definire i segni più opportuni.

Bisogna ricordarsi che il calore e la potenza termica scambiata hanno direzione delle temperature decrescenti, va sempre dalla temperatura maggiore alla temperatura inferiore (mai il contrario). 

Questo è valido non solo per i solidi cristallini, ma anche per i solidi amorfi, per i liquidi e per i gas; per qualsiasi sostanza, che sia pura o non pura.

Si parla di conduzione quando le sostanze sono in quiete, cioè non c’è moto relativo. 

Se appoggio una mano su un tavolo, se il tavolo è più freddo, la mano trasmette calore per conduzione al tavolino. Per conduzione perché la mano e il tavolino sono fermi. Ma adesso sta passando dalla finestra dell’aria e questo flusso d’aria sta lambendo il tavolino, l’aria in questo caso non è ferma, ma è in moto.  Quindi lo scambio termico che abbiamo con l’aria in moto rispetto al tavolino è per convezione. Conduzione si ha solamente quando i due oggetti o sostanze sono ferme, cioè non c’è moto relativo.

Quindi della conduzione quello che si vuole sapere è, preso un oggetto e un sistema di riferimento (cartesiano, cilindrico sferico) e una scala del tempo t, la conduzione si risolve andando a valutare la temperatura di ogni punto del corpo per ogni istante t, quindi è una funzione con 4 variabili, x, y e z che identificano tutti i punti del corpo, mentre t è l’istante di tempo.

Consideriamo una parete tridimensionale, cioè prendiamo un parallelepipedo molto allungato, che può essere idealizzato come una parete piana. La parete piana ha spessore L, profondità B e altezza H. Imponiamo una temperatura costante sulla superficie interna della parete T₁, mentre sulla superficie esterna T₂. Immaginiamo che ogni punto della parete interna si trova a T₁ e della parete esterna a T₂. Immaginiamo di dover calcolare la potenza dissipata da un’abitazione, in un’abitazione abbiamo un insieme di tanti parallelepipedi. L’interno della stanza si trova ad una temperatura, l’esterno si trova ad un’altra temperatura e lì possiamo calcolare la potenza termica q e la possiamo calcolare come q’’x per A, quindi lungo la coordinata x. È un asse che va dall’interno verso l’esterno. A è l’area frontale, uguale a B • H.

Possiamo assumere che il flusso termico è monodimensionale, perché tutta la faccia interna si trova a T₁ e tutta la faccia esterna a T₂, quindi si genera un flusso termico che va T₁ a T₂; suddividiamo la nostra superficie in tanti parallelepipedi con area frontale dA. Ogni area frontale dA, facciamo tante estrusioni, dV è il volume del pezzettino estruso, ogni volumetto dV, caratterizzato da un’area frontale dA scambia calore. In questo caso, quantità di calore, essendo l’area infinitesima sarà dq, che è q’’x per dA. Facciamo l’integrale di area, q’’x è una costante e otteniamo q’’x per A.

Ogni singolo volumetto scambia una certa quantità di potenza infinitesima dq nell’istante di tempo. Quindi questo è monodimensionale e anche costante, quindi nel tempo non varia, perché T₁ e T₂ rimangono costanti nel tempo, quindi possiamo dire che sia stazionario, cioè il caso più semplice di tutti.

q’’x è il flusso termico specifico, in W/m², in questo caso monodimensionale perché ha direzione solamente lungo x. Se noi consideriamo q’’x, moltiplichiamo per A. q’’x  come lo calcolo, partendo dalla temperatura? La risoluzione alla conduzione si basa sulla conoscenza di questa temperatura, quindi come faccio a correlare q’’x con la temperatura?

In questo caso, Fourier con il suo postulato correla il flusso termico specifico con la temperatura, secondo il postulato di Fourier. Questa è una formula monodimensionale, poi quando tratteremo la funzione in modo più approfondito, guarderemo anche la formula tridimensionale. Quindi questa è la derivata della temperatura rispetto all’asse x, mentre λ è la conduttività del materiale in W/ m K.

Più il materiale è conduttivo, quindi significa che i materiali con una struttura molto cristallina, ad esempio i metalli conduttivi come il rame, che presenta una conduttività di circa 200 W/m K. Se invece prendiamo l’acqua allo stato liquido, siamo intorno ad 1 W/m K. Prendiamo l’aria a condizioni standard di 25°C che ha conduttività di 0.05 W/m K.

I materiali isolanti, quindi poliuretano, lana di vetro, tutti quei materiali che vengono utilizzati come barriera per lo scambio termico, hanno conduttività simile a quella dell’aria, ad esempio le turbazioni coibentate, cioè le tubazioni che trasportano fluidi caldi hanno un’isolante che è un materassino di poliuretano o lana di vetro di qualche cm di spessore, quella ha conduttività bassa. Guardando questa formula, minore è la conduttività, minore è lo scambio termico e la potenza termica. Però abbiamo una derivata di dT su dx.

Nel caso della parete piana, questa derivata qui si semplifica perché è T₂ - T₁/L, quindi la differenza di temperatura diviso L, che è lo spessore della parete.

Perché c’è il segno -? Perché vogliamo che la potenza sia positiva se entrante e negativa se è uscente. Immaginiamo la nostra parete. T₂ - T₁ è un valore positivo perché immaginiamo che T₂ > T₁.  Quindi T₂ - T₁/L è un valore positivo, λ è una proprietà termofisica ed è un valore positivo. La potenza termica va dalla temperatura maggiore alla temperatura minore, quindi se noi consideriamo la superficie 1 come sistema di riferimento (quella interna), la potenza è uscente, quindi è negativa, quindi segno -.

Il segno - ci vuole per rispettare la convenzione termodinamica. La potenza termica è positiva se è entrante,  come anche il calore, quindi se noi consideriamo la superficie interna della parete, si trova a T₁ e consideriamo l’asse x crescente, la potenza termica è uscente dalla superficie, se consideriamo il sistema come se fosse soltanto questa faccia, non tutta la parete. Come faccio che la potenza termica è negativa, che è q’’x per A?  q’’x deve essere negativo, ma se io ho che dT su dx, λ è positivo, perché la proprietà termofisica può essere al limite tendente a 0 o +∞, per convenzione termodinamica dobbiamo metterci il segno -. Se non ci mettiamo il segno -, non rispettiamo questa convenzione.

Consideriamo un pezzettino di questa parete. In questa parete entra q ed esce q in condizioni stazionarie. Per forza, se siamo in condizioni di equilibrio, q entra ed esce. Quindi q’’x è -λ per dT su dx, dove dT lo potremo scrivere come T(x + dx) - T(x). Quindi in questo caso ho considerato questa fettina di parete che ha una potenza entrante uguale a quella uscente, quindi il flusso termico specifico entrante è uguale a quello uscente. 

Quindi il segno - fa sì che la nostra potenza q’’x sia positiva al diminuire della temperatura e quindi verso zone a temperature inferiori deve essere positivo. Se invece considero solamente il nostro sistema come questa fettina e considererò solamente q uscente, questo è per forza negativo. Perché se facciamo il bilancio di primo principio, diventa q - q = dU/dt che è costante e vale 0, quindi questa fettina presenta temperatura costante.

La convezione è un meccanismo di scambio termico tra un oggetto, un corpo fermo e un altro corpo in moto, quindi in quel caso il calore viene trasferito grazie ad un meccanismo di questo tipo. Immaginiamo la nostra lastra piana e qui immaginiamo un certo campo di velocità indisturbata ad una temperatura indisturbata. Questo è un flusso d’aria a temperatura T∞ indisturbata e una velocità u∞ indisturbata. Immaginiamo che questa superficie sia a temperatura costante Ts > T∞.

Cosa succede quando l’aria inizia a lambire la superficie? L’aria inizia a scaldarsi, perché la superficie sotto è calda poi il riscaldamento, per fenomeni di trasporto di energia della diffusività termica, tende a riscaldare gli strati di aria soprastante. Si forma lo strato limite termico.

Questa curva tratteggiata è la curva dello strato limite termico δT, che rappresenta dove si ha l’influenza della superficie calda in termini di temperatura. Dopo un po’ si ha un completo sviluppo, quindi tutto il flusso d’aria che abbiamo rappresentato, viene modificato in termini di temperatura dalla piastra che si trova a temperatura maggiore. Quindi in ognuno di questi punti, si ha uno scambio termico che può essere rappresentato come un flusso termico specifico q’’, che varia per ogni punto. Se ingrandiamo, per l’ipotesi di aderenza, abbiamo un sottilissimo strato infinitesimo di aria ferma, quindi abbiamo scambio termico tra piastra ferma e aria ferma (conduzione), quindi possiamo scrivere q’’ per conduzione. Poi nello strato soprastante per attrito fluidodinamico, si genera un andamento di velocità che è variabile.

Se vediamo un disegno dello strato limite della velocità, vediamo che per ipotesi di aderenza, si ha una velocità nulla, uno strato limite nullo, perché si ha uno strato sottilissimo fermo, quindi quello strato limite  trasmette per conduzione e poi negli strati successivi varia la velocità e quindi si trasmette calore per trasporto della quantità di moto o della diffusività termica. Quindi questo strato scambia con lo strato successivo e così via, ogni strato di fluido scambia calore. I due fluidi sono a velocità costanti e differenti. Quindi se prendiamo questo strato, ha una velocità minore rispetto allo strato superiore. Quindi c’è velocità relativa fra i vari strati di fluido ed essendoci velocità relativa, non possiamo più parlare di conduzione e parliamo di convezione.

1. Il problema generale della convezione dipende dalle condizioni di moto, quindi se questo campo di moto del fluido è stato indotto da agenti esterni, si parla di convezione forzata, ad esempio un ventilatore che sta spingendo una certa quantità di fluido contro la piastra.

2. Oppure se è indotta da fenomeni naturali, cioè forze di galleggiamento date dalla spinta di Archimede. Quindi abbiamo sempre il nostro strato piano a temperatura Ts > T∞. Qui l’aria è in quiete, però scaldandosi, l’aria che sta sotto diminuisce la sua densità rispetto all’aria che sta sopra e galleggia, quindi crea delle forze di galleggiamento che spingono l’aria verso l’alto. Se prendiamo una superficie calda, se guardiamo con attenzione, vediamo dei pennacchi di aria calda che continuamente si protraggono verso l’alto, quelle sono particelle d’aria che si scaldano e galleggiano verso l’alto a causa delle forze di galleggiamento. Quindi in quel caso si parla di convezione libera o naturale.

3. Possono esserci dei casi misti nei quali c’è sia convezione libera, sia convezione naturale. Immaginiamo il vento che genera un flusso d’aria dalla finestra alla porta d’ingresso, quindi si ha da un lato la convenzione forzata dal vento + una convenzione se c’è una superficie calda anche di tipo naturale, quando i due fenomeni creano delle velocità simili, quindi quando la forza di galleggiamento crea una velocità comparabile alla forza data dalla convezione forzata, allora si parla di convezione mista.

4. Poi abbiamo la convezione interna, che si ha nelle tubazioni. Prendiamo un tubo in cui scorre del fluido caldo, le pareti sono fredde. Possiamo disegnare il profilo di velocità, prima all’ingresso del fluido. Se il fluido è caldo e le pareti sono fredde, si avrà in corrispondenza di ogni punto di contatto tra parete e fluido, uno scambio termico convettivo, quindi si potrà generare, se consideriamo un profilo di temperatura di quel tipo, Ts è più basso rispetto a T∞ e si avrà una cosa di questo tipo, quindi un raffreddamento in prossimità della parete. Oppure se Ts è maggiore rispetto a T∞, si avrà l’effetto opposto, quindi la concavità della parabola sarà dall’altra parte. Qui si parla di flussi interni, quindi convezione forzata, flussi interni, classico esempio delle tubazioni.

5. Poi abbiamo la convezione esterna, quindi mezzi in moto, automobili, aerei, anche noi stessi mentre camminiamo, abbiamo una velocità dell’aria relativa che fa si che si generi uno scambio termico tra l’aria esterna e il nostro corpo di tipo convettivo e in questo caso si parla di convezione esterna, che avviene anche per esempio negli edifici. Negli edifici, anche se stanno fermi, l’aria ha una certa velocità data dal vento, quindi gli edifici scambiano calore con l’ambiente esterno tramite convezione esterna.

In tutti questi problemi, per calcolare la nostra potenza termica, utilizziamo invece del postulato di Fourier, la legge di Newton del raffreddamento.

Abbiamo una potenza specifica, quindi flusso termico specifico in W/m². Se individuiamo un’area di scambio termico, otteniamo una potenza in W e tutto si sintetizza nel calcolo di questo coefficiente convettivo h, che quantifica la densità di potenza o flusso termico specifico, quindi anche la potenza scambiata, maggiore è h e maggiore è la potenza, infatti Ts e T∞ sono due costanti nel nostro problema, come anche l’area.

Questo coefficiente convettivo si chiama coefficiente di convezione, che può essere calcolato per ogni punto di scambio termico, quindi possiamo calcolarlo in funzione della coordinata x, è variabile per ogni punto del nostro sistema, quindi ho un andamento specifico, oppure lo possiamo calcolare secondo una media integrale, se prendiamo il caso monodimensionale avremo la media integrale lungo tutta la lunghezza della nostra piastra piana orizzontale, da 0 ad 𝓁.

Se voglio calcolarmi la potenza totale, dovrò utilizzare il coefficiente convettivo medio, se invece voglio calcolarmi la potenza specifica locale o flusso termico specifico q’’x, dovrò utilizzare h, che dipende da x, perché, fintanto che varia lo strato limite termico, varia il profilo e quindi anche la quantità q’’x.

Se siamo in convezione libera, parlando di coefficienti medi, il valore di h media varia in funzione anche del tipo di fluido. In un gas va da 2 a 25 e nei liquidi va da 10 a 1000 W/m² K in condizione libera o naturale.

Se invece siamo in condizioni forzate (con un ventilatore), i numeri sono più grandi, perché c’è più velocità e quindi maggiore scambio termico. h con i gas va da 25 a 250 W/m² K e invece h con i liquidi, quindi acqua, olio oppure fluidi, possiamo andare da 50 fino a 20.000 W/m² K.

Esistono dei fenomeni convettivi ancora più veloci, che sono fenomeni di ebollizione o condensazione, quindi quando per esempio si va a condensare del vapor d’acqua su una superficie fredda, oppure quando si scalda l’acqua per fare la pasta, quando si innesca l’ebollizione, i coefficienti convettivi possono arrivare fino a 100.000 W/m² K.

E’ un meccanismo di scambio termico che avviene a causa di fenomeni radiativi tra due superfici a differente temperatura. Immaginiamo sempre la nostra lastra piana, che si trova a temperatura Ts e una lampada a filamento, dove si raggiunge la temperatura T molto maggiore di Ts.

Oppure un altro esempio che possiamo fare è il Sole. La temperatura del Sole è molto maggiore di Ts. Quando abbiamo due corpi a differente temperatura tra i quali possiamo avere sia aria, ma anche il vuoto, ma anche un fluido, cioè qualcosa che permetta trasporto di energia per radiazione, quindi qualcosa che sia trasparente alla radiazione. Se io metto una parete che scherma totalmente la radiazione, non c’è scambio termico. Ma quando tra i due corpi c’è il vuoto oppure un mezzo trasparente alla radiazione e quindi che lascia passare la radiazione, si genera una scambio termico per irraggiamento.

Ogni corpo alla temperatura maggiore rispetto allo 0 K, emette una radiazione elettromagnetica che si chiama potere emissivo E che è una radiazione elettromagnetica che il corpo emette verso gli oggetti che sono intorno a lui. Dalla definizione di potere emissivo possiamo definire la potenza termica Q punto radiante, come il potere emissivo del corpo per la sua area in W.

Quindi la nostra superficie Ts è caratterizzata da un potere emissivo E che dipende dalla temperatura Ts. Vedremo che questo potere emissivo si calcola come emissività per costante di Stefan-Boltzmann per Ts⁴.

I corpi possono ricevere irraggiamento da oggetti esterni, come dalla lampadina calda, come dal sole, ricevono irradianza G, sempre misurata in W/m². Quindi come il potere emissivo, la potenza irradiata da corpi esterni verso corpi che ci interessano, sarà pari a G per l’area della nostra superficie. Quindi immaginiamo una lastra piana ad area A che riceve un’irradianza di potenza Qirr punto G per A o un’irradianza G. 

Sia il potere emissivo, sia l’irradianza, sono delle potenze specifiche che dipendono dalle proprietà superficiali del corpo e dalla sua temperatura.

Quand’è che inizia a diventare preponderante l’irraggiamento? Quando la differenza di temperatura tra due corpi è molto elevata e quando non ci sono degli schermi radiativi. Se mettessi una casa, l’irradianza del Sole si ferma sul tetto della casa e non arriva alla lastra. Se mettiamo qualcosa di poco che blocca la radiazione, non si ha scambio termico radiativo. Di solito lo scambio termico radiativo inizia a diventare importante per ΔT > 100 K, sotto non è tanto influente.

Abbiamo il nostro sistema chiuso generico, possiamo scrivere il bilancio termico in termini energetici o in potenza. Lo scriviamo in termini di potenza. Possiamo definire una potenza termica entrante E punto in ingresso, dal momento in cui si trasforma in calore la chiamo Q punto in ingresso. Abbiamo un’energia termica E punto in uscita; non abbiamo lavoro perché il sistema lo ipotizziamo rigido, chiuso, nel senso non c’è scambio di massa, ma solamente scambio di energia sottoforma di calore. Possiamo avere un’altra fonte di calore, che è il calore generato internamente QG punto. Se all’interno del nostro sistema si genera calore per effetto Joule per reazioni chimiche, nucleari, per fenomeni elettromagnetici, questo calore si rappresenta con Qc punto. 

Se facciamo il bilancio con il primo principio, abbiamo che in ingresso è positivo. QG punto lo metto per convenzione positivo. Otteniamo la variazione dell0energia interna rispetto al tempo. Quindi possiamo scrivere m punto c dT/dt = 0, dove c è il calore specifico del corpo, questo perché il calore specifico di un corpo rigido è uguale al calore specifico a volume costante, che è uguale a du/dT. Quindi du = dT c, quindi du è specifico, moltiplico per la massa e ottengo m du = dU. 

Quando siamo in condizioni stazionarie, questo è pari a zero. Quando non siamo in condizioni stazionarie, ma siamo in transitori termici, questo non è pari a zero.

QG punto è la potenza termica generata volumetrica, di solito si esprime come q’’’G V, dove q’’’G  è la potenza volumetrica generata, che dipende dalla reazione che sta avvenendo.

Se c’è un effetto Joule, QG punto è pari alla resistenza elettrica per I², che è la corrente elettrica che attraversa il corpo al quadrato. Oppure se all’interno del corpo abbiamo un cavo, per esempio se abbiamo un cavo che viene attraversato da una corrente, si può scrivere Rec per lunghezza del cavo L per I².

Un classico esempio di potenza generata è un cavo che viene attraversato da una corrente, si genera effetto Joule e quindi una potenza termica QG punto.

Immaginiamo di avere una superficie di spessore infinitesimo, abbiamo una potenza, quindi un flusso termico specifico q’’ entrante in quella superficie, che può provenire ad esempio, se mettiamo la superficie di fianco ad una parete piana, può essere la potenza teorica conduttiva.

In generale, consideriamo un bilancio di una superficie a spessore infinitesimo, quindi generiamo un flusso interno q’’ entrante, poi abbiamo in uscita due potenze specifiche o flussi termici specifici q’’ per convezione e q’’ per irraggiamento (radiativo). Se questa parte della superficie è rivolta verso un ambiente in cui si hanno fenomeni di scambio termico convettivi e radiativi e questa parte invece solamente conduttivi, possiamo scrivere il bilancio energetico superficiale come q’’ conduttivo - q’’ radiativo - q’’ convettivo = 0.

Sono equivalenti ad una potenza, moltiplicando per l’area, questo in condizioni stazionarie. Dipende dai casi; qui abbiamo fatto il caso in cui abbiamo solamente una conduzione, qui convezione e radiazione, può essere il contrario, dipende dal caso. Può essere anche che abbiamo convezione e dall’altra parte convezione e irraggiamento.

Oggi iniziamo con la conduzione. Prima di entrare nel vivo, vediamo qualche richiamo matematico.

∇ (Nabla) è un operatore matematico differenziale che, considerata una terna cartesiana x, y, z, applicato ad un campo scalare o vettoriale, fa una sorta di derivata.

In particolare, possiamo scrivere ∇ come derivata parziale rispetto all’asse x versore ī + derivata parziale rispetto all’asse y versore j + derivata parziale rispetto all’asse z versore k. ī, j e k sono i versori che identificano questi tre assi.

Se applichiamo questo operatore differenziale ad un campo scalare, cioè un campo dove ogni suo punto è identificato da uno scalare, quindi prendiamo un campo scalare F, questa è una funzione di coordinate x, y e z e anche del tempo t. ∇F è detto gradiente del campo scalare di F, basta applicare la derivata parziale di F rispetto a x versore ī + derivata parziale di F in y versore j + derivata parziale di F in z versore k. Quindi otteniamo un vettore gradiente, è una sorta di derivata spaziale (in tre dimensioni).

Se invece abbiamo un campo vettoriale, quindi un campo v funzione di x, y, z e t, ad esempio un campo  di velocità, è vettoriale o un campo delle potenze termiche. Ogni punto nel nostro sistema è caratterizzato da un  campo con direzione, un verso e una certa quantità scalare. Se facciamo ∇v otteniamo una quantità che si chiama divergente di v.

Questa è una quantità di tipo scalare; si fa la sommatoria delle derivate lungo gli assi. Il laplaciano è l’applicazione dell’operatore ∇ due volte.

Quindi applichiamo l’operatore ∇ al gradiente di F. In questo caso otteniamo il laplaciano, che è la derivata seconda del campo F, che è una quantità vettoriale, che possiamo scrivere come derivata parziale seconda di F verro ī + derivata parziale seconda di F su y versore j + derivata seconda di F su z versore k.