II. 5.Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundlagen

Aufgabe 5.1: Wertebereich einer Wahrscheinlichkeit

Geben Sie das kleinste Intervall an, das den Wertebereich einer Wahrscheinlichkeit enthält.

1. (− ∞,+∞)

2. [− 1 , + 1 ]

3. [0 , ∞ )

4. [0,1]

5. (0,1)

Die folgenden Sätze beinhalten jeweils 2 Ereignisse. Bei welchen Aussagen sind die Ereignisse unabhängig voneinander?

1. Der systolische Blutdruck bei Patient M. betrug 180 mmHg vor einer blut- drucksenkenden Therapie und 145 mmHg danach.

2. Das 1. Kind einer Familie ist weiblich, das 2. ebenfalls (keine eineiigen Zwillinge).

3. Das Geschlecht eines Kindes ist männlich, das Geschlecht der Mutter weiblich.

4. Ein männlicher Patient erkrankt an Hämophilie.

5. Eine Person hat Blutgruppe A und Rhesusfaktor negativ.

6. Ein Vater ist 195 cm groß, dessen Sohn nur 182 cm.

7. Eine 20jährige Frau erkrankt an einem Mammakarzinom.

1. bei allen Aussagen

2. bei keiner Aussage

3. nur bei 2 und 5

4. nur bei 2, 3 und 5

5. nur bei 2, 5 und 6

Aufgabe 5.3: Wahrscheinlichkeit beim Kinderkriegen

Ein Vater von 4 Jungen plant mit seiner Partnerin ein weiteres Kind und wünscht sich sehnsüchtig ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, daß sein Wunsch in Erfüllung geht? Wir nehmen an, daß mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 ein neugeborenes Kind männlich ist, und daß keine Mehrlinge geboren werden.

A. p = 31/32

B. p = 15/16

C. p = 1/2

D. p = 1/32

E. Die Wahrscheinlichkeit kann aus den vorliegenden Angaben nicht ermittelt werden.

Aufgabe 5.4: Komplementäre Ereignisse

Bei wie vielen Ereignispaaren handelt es sich um komplementäre Ereignisse?

1. Rhesusfaktor positiv – Rhesusfaktor negativ

2. Blutgruppe A – Blutgruppe B

3. Geschlecht männlich – Geschlecht weiblich

4. schwanger – Geschlecht männlich

5. Würfeln: Augenzahl 6 – Augenzahl ≤5

6. herzkrank – an Diabetes erkrankt

1. A ) 6

2. B ) 5

3. C ) 3

4. D ) 2

5. E ) 0

Aufgabe 5.5:

Additionssatz

A und B seien 2 beliebige Ereignisse. Welche Aussage gilt generell?

1. P(A∪ B)=P(A)+ P(B)− 2P(A∩ B)

2. P(A∪ B)=P(A)+ P(B)− P(A∩ B)

3. P(A∪B)=P(A)+ P(B)

4. P(A∪B)=P(A)+ P(B)− P(A)⋅P(B)

5. P(A∪ B)> P(A)

Aufgabe 5.6: Wahrscheinlichkeiten bei diagnostischen Verfahren

In einer gynäkologischen Klinik wird routinemäßig jede Frau auf das Vorhandenseins eines Mammakarzinoms untersucht. Dabei werden die Mammographie und die Palpa- tion angewandt; die Methoden werden unabhängig voneinander durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit bei einer erkrankten Frau, ein Karzinom mit Mammographie zu entdecken, betrage 90%; bei der Palpation liegt diese Wahrscheinlichkeit nur bei 60%. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß ein vorhandenes Karzinom bei einer Frau nicht entdeckt wird?

A. 1%

B. 4%

C. 10%

D. 40%

E. 45%

Aufgabe 5.7:

Krankheiten und Wahrscheinlichkeit

In einer Klinik betrage der Anteil der an Diabetes mellitus erkrankten Patienten 20%. 30% der Patienten leiden an einer Herzerkrankung; 5% haben beide Krankheiten. Wie groß ist der Anteil der Patienten, die entweder Diabetes- oder herzkrank sind?

1. 20%

2. 30%

3. 45%

4. 40%

5. 50%

Aufgabe 5.8:

10 Merkmale eines Patienten

Bei einem bestimmten Patienten werden die Werte von 10 medizinisch relevanten Merkmalen erhoben. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Meßwert innerhalb des Normbe- reichs liegt, beträgt für jedes dieser Merkmale 95%. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß die Ereignisse unabhängig voneinander sind. Wie groß ist dann die Wahr- scheinlichkeit, daß ein Wert außerhalb des Normbereichs liegt?

10

1. 1− 0,95 ≈0,40

2. 0,05

3. 0,959 ⋅0,05 ≈0,03

4. 10 ⋅0,959 ⋅0,05 ≈0,32

5. 10 ⋅0,05 = 0,50

Aufgabe 5.9: Multiplikationssatz

Wann gilt: P( A | B) = P( A) ?

1. Diese Gleichung ist generell richtig.

2. Diese Gleichung gilt nur dann, wenn A und B unabhängige Ereignisse sind.

3. Diese Gleichung gilt nur dann, wenn A und B disjunkte Ereignisse sind.

4. Diese Gleichung gilt nur dann, wenn A und B komplementäre Ereignisse sind.

5. Diese Gleichung gilt generell nie.

Aufgabe 5.10: Semmelweis – Berechnen einer Wahrscheinlichkeit

Ignaz Semmelweis ermittelte für einen Monat des Jahres 1846, daß in einer Abteilung des Wiener Gebärhauses 24% der gebärenden Frauen an Kindbettfieber erkrankten. Die Wahrscheinlichkeit, an Kindbettfieber zu sterben, betrug damals 80%. Wie groß war dann die Wahrscheinlichkeit für eine Frau, an Kindbettfieber zu erkranken und daran zu sterben?

1. Um diese Frage zu beantworten, bedarf es weiterer Informationen.

2. 104%

3. 80%

4. 24%

5. etwa 19%

Aufgabe 5.11: Karzinom am Versuchstier

Bei einem Versuchstier werden 2 Stellen am Rücken mit 2 unterschiedlichen Karzino- genen bepinselt. Die Wahrscheinlichkeit, ein Karzinom zu erzeugen, betrage 0,3 bzw. 0,8. Die Ereignisse seien unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß minde- stens ein Karzinom entsteht?

1. 1,1

2. 0,8

3. 0,3

4. 0,24

5. 0,86

Aufgabe 5.12:

Erwartungswert beim Würfeln

Mit einem roten und einem blauen Würfel wird gleichzeitig gewürfelt. Die Augenzahl X des roten Würfels wird verdoppelt; davon wird die Augenzahl Y des blauen Würfels subtrahiert. Was ist der Erwartungswert der so berechneten Zufallsvariable?

1. 7

2. 10,5

3. 2

4. 3,5

5. Dieser Wert ist ohne zusätzliche Informationen nicht zu berechnen.

Aufgabe 5.13: Transformation einer Zufallsvariablen

Eine stetige Zufallsvariable X habe den Erwartungswert μ und die Varianz σ2 . Alle Werte von X werden nun transformiert nach X → aX + b (a und b sind konstante Zahlen). Wie ändern sich dadurch der Erwartungswert und die Varianz?

1. E(aX +22 b)=aμ+b,Var(aX+b)=aσE(aX +

2. E(aX +b)=aμ+b,Var(aX+b)=aσ+bE(aX +

3. E(aX +b)=aμ+b,Var(aX+b)=aσ+b

4. E(aX + b)=aμ, Var(aX + b)=aσ

5. E(aX + b)=μ,Var(aX+b)=σ

5.14. Empirisches Ermitteln einer Wahrscheinlichkeit

In der medizinischen Forschung wird eine Wahrscheinlichkeit in der Regel empirisch ermittelt; d. h. eine hinreichend große Stichprobe wird bezüglich eines Merkmals unter- sucht. Der Wert der relativen Häufigkeit einer Ausprägung wird dann als Nähe- rungswert für die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugrunde gelegt. Wonach ist dieses Vorgehen gerechtfertigt?

1. Dieses Vorgehen hat zwar eine lange Tradition, ist aber in keiner Weise ge- rechtfertigt.

2. Nach den Axiomen von Kolmogoroff.

3. Nach dem Gesetz der großen Zahl.

4. Nach der Definition der Wahrscheinlichkeit von Laplace.

5. Nach der Tschebyscheff'schen Ungleichung.