Vorlesungswoche 1

• eine algebraische Struktur, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden kann

• ein Körper ist eine Menge K, versehen mit zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen „+“ und „⋅“

• ein Körper erfüllt die Eigenschaften der sog. Körperaxiome

• K1) für alle x, y, z ∈ K gilt (x + y) + z = x + (y + z)

  Assoziativgesetz der Addition

• K2) für alle x, y ∈ K gilt x + y = y + x

  Kommutativgesetz der Addition

• K3) es existiert ein Element O ∈ K, so dass für alle x ∈ K gilt x + O = x

  Existenz eines neutralen Elements der Addition

• K4) zu jedem x ∈ K existiert ein y ∈ K mit x + y = O

  Existenz eines inversen Elements der Addition

• K5) für alle x, y, z ∈ K gilt (x · y) · z = x · (y · z)

  Assoziativgesetz der Multiplikation

• K6) für alle x, y ∈ K gilt x · y = y · x

  Kommutativgesetz der Multiplikation

• K7) es existiert ein Element 1 ∈ K, so dass 1 ̸= O und für alle x ∈ K gilt x · 1 = x

  Existenz eines neutralen Elements der Multiplikation

• K8) zu jedem x ∈ K mit x ̸= O existiert ein y ∈ K mit x · y = 1

  Existenz eines multiplikativen Inversen

• K9) für alle x, y, z ∈ K gilt x · (y + z) = x · y + x · z

  Distributivgesetz

[/= steht für ungleich]

• die rationalen Zahlen (rationale Zahlen)

• die reellen Zahlen (Dezimalzahlen)

• die komplexen Zahlen (Zahlen mit imaginären Einheiten)

• F2: ein Körper nur mit zwei Elementen (0,1)

• die Menge K = Z erfüllt mit der üblichen Addition und Multiplikation die Axiome K1)-K7) und K9)

• allerdings gibt es zum Beispiel zu 2 ∈ Z kein y ∈ Z mit 2 · y = 1

• es sei K ein Körper, dann existiert genau ein Element O ∈ K, so dass für alle x ∈ K gilt x + O = x

• ebenso existiert genau ein Element 1 ∈ K mit 1 ̸= O, so dass für alle x ∈ K gilt x · 1 = x

Sei K ein Körper und es seien x, y ∈ K

• wenn es ein a ∈ K gibt, sodass x + a = y + a, dann ist schon x = y

• ebenso folgt aus der Existenz eines a ∈ K \{O} mit x · a = y · a direkt x = y

Sei K ein Körper und es sei x ∈ K

• dann existiert genau ein Element y ∈ K, so dass x + y = O

• ebenso existiert zu x ∈ K\{O} genau ein Element z ∈ K mit x · z = 1

• jedes Maximum ist ein Supremum, aber nicht jedes Supremum ist ein Maximum

• muss nicht Teil der betrachtenden Menge sein