Wozu dient Rechenleistung?
Um komplexe Rechnungen zu lösen
Benötigte Rechenleistung steigt stetig
Was ist die Folge, wenn die Leistungen so steigen?
Je größer, desto aufwendiger Herstellung, Kosten, Betrieb und Stromverbrauch
Strombedarf kann zur Unterkühlung führen
Was ist der Unterschied zwischen Ganzzahlendarstellungen und Gleitpunktdarstellungen in unserem Praktikum?
Wie werden Ganzzahlen dargestellt?
Datentyp Integer “int”
Endliche Anzahl von Bits
Zweier Komplementdarstellung
Wie werden Gleitpunktzahlen im Rechner dargestellt?
Datentyp float
Zahl mit einem Komma (0.1) oder Brüche
Vorzeichenbit 1 Bit (bei 32 Bit), 1 Bit (bei 64 Bit)
Exponentenbit 8 Bit (bei 32 Bit), 11 Bit (bei 64 Bit)
Mantissenbit 23 Bit (bei 32 Bit), 52 Bit (bei 64 Bit)
Was ist die Folge dieser Gleitpunktdarstellung?
Wie lautet die allgemeine Formel zur Darstellung von Gleitpunktzahlen?
x = m * b^e *x = (-1)^v * b^e * M
b = Basis 2
v —> Vorzeichen
e —> Exponent
M —> Mantisse
Wie sieht der Zahlenstrahl aus, der die darstellbaren Gleitpunktzahlen zeigt?
Was sieht man in der Nähe des Nullpunktes?
Gibt es Grenzen? (Extrem große Zahlenbeträge)
Kann man jede Gleitpunktzahlen darstellen? Welche nicht?
Nein
Durch das Verrechnen mit dem Mantissenexponenten nicht darstellbar
Bsp.: 0.1 nicht genau darstellbar
Wie funktioniert die Darstellung von Pi oder e?
Kann nicht dargestellt werden
Nur angenähert
Es gibt einen Maximal- und Minimalwert
Kann man eine +0.0 und auch eine -0.0 darstellen?
In Zweierkomplementendarstellung nicht
Festpunktzahlensystem —> ja
Theoretisch ja aber -0.0 führt zu Fehler
Praktisch sollte aber die gleiche Zahl dastehen
Ist darstellbar, wenn Mantisse 0 ist, dann ist alles 0
Viele Möglichkeiten die 0 darzustellen
Welche Fehlerklassen gibt es in der Numerik?
Modell-, Daten-, Verfahrens- und Rundungsfehler
Was sind Modellfehler?
Was sind Datenfehler?
Was sind Verfahrensfehler?
Was sind Rundungsfehler?
Auswirkungen aller Rundungsfehler bezeichnet man als Rechenfehlereffekt
Was bedeutet die Konditionierung mathematischer Probleme?
Änderung der Datenabhängigkeit vom Ergebnis
Was ist die absolute oder was ist die relative Konditionszahl?
Absolute Konditionszahl:
Empfindlichkeit der Lösung x gegenüber Datenänderung
Kleinstmöglichster Faktor wird als absolute Konditionszahl betrachtet
Relative Konditionszahl:
Faktor der angibt, wie weit das numerische Ergebnis vom theoretischen Ergebnis wegliegt
Konditionszahl groß —> viele hohe Rechenfehler
Konditionszahl 1 —> numerischer Wert entspricht theoretischem Wert
Beschreiben Sie das archimedische Prinzip zur Näherung an Pi!
Einheitskreis —> Länge des Umfangs entspricht Pi
Viereck im Kreis —> Behauptung: Streckenumfang entspricht 2*Pi
Aus Viereck wird Achteck —> Umfang entspricht 2*Pi
Abweichung wird kleiner
Erhöhung der Anzahl der Ecken (n-Eck) —> Fehler wird kleiner
Welche Effekte haben Sie bei der Umsetzung des Prinzips in einer Programmiersprache (Python) festgestellt?
Fehler wird erst kleiner und ab gewissen Wert größer
Berechnetes Pi entfernt sich vom wahren Wert
Größer 28 Schritte, Pi fast 0
Nach gewisser Zeit fällt es zusammen
Problem —> Auslöschung
Was haben Sie beobachtet?
Fehler wird größer wegen Subtraktion
Ähnliche Zahlen voneinander abziehen
Daraus entsteht riesiger Fehler
Auslöschung durch Python
Wie lässt sich das Problem lösen?
Problem: Subtraktion zu ähnlicher/fast gleichgroßer Zahlen
Ansatz: was konvergiert mehr?
Umformen, sodass das Minus wegfällt
3. BiFo
Höhere Auflösung (verzögert die Auslöschung)
Mit 3. BiFo ist das Problem lösbar
Was passiert, wenn man dir Auflösung/Genauigkeit der Gleitpunktzahldarstellung erhöht?
Anzahl der Stellen hinter dem Komma werden erhöht
Zögern Fehler hinaus
Bricht am Ende von rechts nach links zusammen
Nennen Sie ein numerisches Verfahren zur Lösung von LGS!
Gauß
symmetrische Matrizen
Welche Arten von Matrizen kennen Sie und welche haben wir kennengelernt?
Diagonal-Matrix
Gaußverfahren bei symmetrischen Matrizen
Bei großen Matrizen werden die Fehler sehr groß
Fehler hängen quadratisch von der Matrizengröße ab
Was ist Ihnen bei der Umsetzung eines einfachen Verfahrens aufgefallen?
Bei Erstellung der Zeilen werden viele Fehler mitgezogen —> Folgefehler, Fehlerfortpflanzung
Wir rechnen mit Fehlern vom Anfang und nehmen diese mit —> quadratische Fehler
Was ziehen Sie für Schlüsse daraus?
Erst Zeilenvertauschung —> 0 auf die Diagonale bzw. obere/untere Dreiecke
Welche Probleme werden bei iterativen oder rekursiven Verfahren in der Numerik grundsätzlich entstehen?
Auslöschung nur zufällig
Fehler bei der Erstellung der Zeilen werden mitgezogen —> Folgefehler, Fehlerfortpflanzung
Wie bzw. wo kann man die Maschinenauflösung am Zahlenstrahl sehen?
Ist das kleinste darstellbare e zwischen zwei benachbarten Zahlen
Bei hohen Exponenten wird der Wert groß und umgedreht
Wodurch entstehen Ungenauigkeiten bei der Umsetzung in die Numerik?
In der Rechnung
Wie kann man die Ungenauigkeiten im Ergebnis beherrschen bzw. abschätzen?
Zum Abschätzen existiert die Konsitionszahl
Wie gehen Sie mit der Abbruchbedingung um, wie etwa bei der Arbeit zur Näherung von Pi?
Verfahren für richtigen Zeitpunkt anschauen
Bestimmung, wo entstehen Fehler
Bestimmen, wann werden die Fehler maximal
Abschätzen, an welchen Stellen die Fehler minimal sind
Stelle, wo Fehler minimal als “Abbruchkriterium” setzen
Es entsteht ein lokales Minimum
Was versteht man unter Auslöschung?
Den Effekt, dass bei Subtraktion fast gleich großer Zahlen das Ergebnis falsch wird
Welche großen technologischen Entwicklungsschritte kennen Sie, die die Grundlagen für die Entstehung heutiger IT-Systeme waren?
In welche Zeitbereiche unterteilen Sie die Entwicklung von hochintegrierten Halbleitern und welche Folgen ziehen Sie daraus für die Jahre bis ca. 2030?
Wie erklären Sie das Moore´sche Gesetz?
Die Rechnerarchitektur beschreibt auch die sog. ISA (Instruction Set Architecture) eines Systems. Was versteht man darunter?
Was sind die sieben Punkte des von Neumann-Modells und wie weichen aktuelle Rechnergenerationen von diesem Modell ab?
(Hinweis: von Neumann Flaschenhals)
Heutige Rechner werden als universelle Rechenmaschinen eingesetzt. Welcher Aspekt des von Neumann Modells ist für die Universalität veranwortlich?
Zeichnen Sie ein Schema eines einfachen Rechnermodell nach von Neumann mit Prozessorcache!
Was ist eine Prozessor-Pipeline
Implementierungstechnik bzw. Strategie einer Prozessorarchitektur, bei der mehrere Anweisungen überlappend ausgeführt werden (in unterschiedlichen Stadien)
Dazu wird Parallelismus genutzt, der durch die Maschine zur Ausführung eines Befehls vorhanden ist
Nach welchem Prinzip arbeitet eine Pipeline?
Prinzip: Eine Pipeline kann man sich wie eine Fertigungsstraße vorstellen. Durchsatz wird erhöht. Ziel ist es, gleichlange Pipelinestufen zu designen
Was wird durch Pipelines und deren Arbeitsprinzip effizienter?
Die Zeit der Ausführung —> Mehr Befehle können gleichzeitig ausgeführt werden
Welche Arten von Pipeline kennen Sie?
Strukturelle, Daten & Kontroll Hazards
Wie können Sie die Beschleunigung durch eine Pipeline für n Befehle angeben?
Wann gilt eine Pipeline als eingeschwungen?
Last changed6 days ago
