Definitin Menge der natürlichen Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen ist die Menge ℕ = {0;1; 2; 3; 4; …}
Wenden Sie eine binomische Formel an!
(7m + 3n)^2
49m^2 + 42mn + 9n^2
(3a − 5b)^2
9a^2 - 30ab + 25b^2
Wende eine binomische Formel an.
(3x − 1)(3x + 1)
3x^2 + 3x - 3x - 1 = 3x^2 - 1
Wende eine binomische Folge an
(2x − 2y)(2x + 2y)
4x^2 + 4xy - 4xy - 4y^2 = 4x^2 - 4y^2
Wende eine binomische Formel an!
(4x + 8y)(4x − 8y)
16x^2 + 32xy - 23xy - 64y^2 = 16x^2 - 64y^2
Formen Sie die Summe in ein Produkt um, indem Sie eine der binomischen Formeln anwenden!
x^2 + 10x + 25
(x + 5)^2
Forme zur binomischen Formel um
4a^2 + 12ab + 9b^2
(2a + 3b)^2
16x^2 + 40xy + 25y^2
(4x + 5y)^2
16a^2 − 49b^2
(4a - 7b) (4a + 7b)
121p2 − 144q2
(11p - 12q)(11p + 12q)
36t^2 + 36bt + 9b^2
(6 + 3)^2
Schreibe gemäß der binomischen Formel um
25c^2 + 70cd + 49d^2
(5c + 7d)^2
9k^2 − 12k + 4p^2
(3k - 2p)^2
Forme gemäß der binomischen Formeln um
81a^2 − 126ax + 49x^2
(9a - 7x)^2
8 Bitte multiplizieren Sie aus und fassen Sie danach möglichst weitgehend zusammen
(2m − n)(7m − 8n)
a) 14m2 − 16mn − 7mn + 8n2 = 14m2 + 8n2 − 23mn
(6a − 2)(5 + 3a)
30a +18a2 − 10 − 6a = 18a2 + 24a − 10
Bitte multiplizieren Sie aus und fassen Sie danach möglichst weitgehend zusammen
(s + 3t)(9s − t)
c) 9s^2 − st + 27st − 3t^2 = 9s^2 − 3t^2 + 26st
(− 3m − 5)(4m + 10)
− 12m2 − 30m − 20m − 50 = − 12m2 − 50m − 50
Bitte multiplizieren Sie aus und fassen Sie danach möglichst weitgehend zusammen.
(6p − 15q)(3p + 9q)
18p2 + 54pq − 45pq −135q2 = 18p2 − 135q2 + 9pq
) (− 7b + 8 )(16 − 12b)
− 112b + 84b^2 +128 − 96b = 84b^2 − 208 b + 128
(9x − 13y)(4y − 5x)
36xy − 45x^2 − 52y^2 + 65xy = − 45x^2 − 52y^2 + 101xy
(10a − 25b) (3b + 2a)
30ab + 20a^2 − 75b^2 − 50ab = 20a^2 − 75b^2 − 20ab
(16 + 5a) (10 + 6a)
(16 + 5a) (10 + 6a
160 + 96a + 50a + 30a^2 = 30a^2 +146 a + 160
(8x^2 − 6y)(9x^2 − 5y)
72x^4 − 40x^2 y − 54x^2 y + 30y^2 = 72x^4 − 94x^2 y + 30y^2
(2u^2 − 7v^2 )(25u + 8 v)
50u^3 + 16u^2 v − 175uv^2 − 56 v^3 = 50u^3 − 56 v^3 + 16u^2 v − 175uv^2
(a^2 − 4ab)(2ab − 3a^2 )
2a^3 b − 3a^4 − 8a^2 b^2 + 12a^3 b = − 3a^4 + 14a^3 b − 8a^2 b^2
(4x^2 − 5y)(8x + 9y^2 )
32x^3 + 36x^2 y^2 − 40xy − 45y^3 = 32x^3 − 45y^3 + 36x^2 y^2 − 40xy
) (16r^2 + 11s^2 )(7r^2 + 2s^2 )
112r^4 + 32r^2 s ^2 + 77r^2 s^ 2 + 22s^4 = 112r^4 + 22s^4 +109r^2 s^2
(a + b)(2a + b) + 4(a + b)
2a^2 + ab + 2ab + b^2 + 4a + 4b = 2a^2 + 3ab + b^2 + 4a + 4b
(x − y)(2x − 2y) − (x + y)
2x^2 − 2xy − 2xy + 2y^2 − x − y = 2x^2 − 4xy + 2y^2 − x − y
(x + y)(2x + y)(3x − y)
) Erster Schritt: 2x^2 + xy + 2xy + y^2 = 2x^2 + 3xy + y^2
Zweiter Schritt: (2x^2+3xy+y2 )(3x−y)=6x^3−2x^2 y+9x^2 y−3xy2+3xy2−y3
Zusammenfassen: 6x^3 − 2x^2 y +9x^2 y − 3xy^2 + 3xy^2 − y^3 = 6x^3 + 7x^2 y − y
) (a − b − c)(a + b) − a(b + c)
a^2 + ab − ab − b^2 − ac − bc − ab − ac = a^2 − b^2 − 2ac − bc − ab
) (2x + 3)^2
4x^2 + 6x + 9
) (3x − 2)^2
9x^2 - 12x + 4
(4x − 3)^2
16x^2-24x + 9
Wenden Sie eine binomische Formel an
(5x + 7y)^2
35x^2 + 70y + 49y^2
Klammern Sie den hinter der Aufgabe in Klammern stehenden Faktor aus!
− m4 + 8m (− m)
-m(m^3-8)
m^2 + 8m (− m)
-m (-m - 8)
17p + 6p2 (− p)
-p (-17 - 6p)
8x^3 − 4x^2 (4x^2)
2x- 1
Klammern Sie weitestgehend aus:
12p^3 q^3 −15p^2q^2 +21p^2q^4
3p^2 q^2 (4pq − 5 + 7q^2 )
− 24u^2v^4+32u^3v^3−12u^4v^2
4u^2 v^2 (− 6v^2 + 8uv − 3u^2 )
8x^2 y^2 z − 12xy^2 z^2 + 16x^2 yz^2
4xyz (2xy − 3yz + 4xz)
72x^2 y − 96xy + 48xy^2
24xy (3x − 4 + 2y)
Klammern Sie weitestgehend aus
12x^2 y^2 + 160y^5 − 18x^3 y^4
2y^2 (6x^2 + 80y^3 − 9x^3 y^2 )
30a^2 bx − 36abx^2 + 42acx^2
6ax (5ab − 6bx + 7cx)
Fassen Sie die Terme zunächst zusammen und klammern Sie dann die größtmögliche Zahl aus:
78x − 14 − 42x + 122
36(x+3)
176 + z + 13 − 82z
= 27(7 − 3z)
78p + 18 − 22p + 14
= 8(7p + 4)
5w − 15w + 12 + 25w − 87
15(w − 5)
16b + 38 + 48b − 14 + 8b
= 24(3b + 1)
29 − r + 15 − 6r + 12 + 21r
= 14(4 + r)
12u − 114 + 15u − 126 − 20u − 103
7(u − 49)
Klammern Sie den hinter der Aufgabe in Klammern stehenden Faktor aus
5x − 60 (5)
5(x-12)
14z + 4z^3 (2z)
2z(7 + 2z^2)
105a + 7ab (7a)
7a(15 + b)
− 24b + 72 (− 6)
-6(4b - 12)
e) − 11y^2 − 143 (− 11)
-11(y^2 + 13)
5x^2 (3x^3 − 2 (4x^2 − 5x) + 7) + 38x^4
15x^5 − 2x^4 + 50x^3 + 35x^2
Bitte vereinfachen
a − (a − a(a − a^2 ) − a
a + a^2 + a^3
2xy(2xy − 2x^2 ) − 4x^2 y^2
-4x^3y
4x + 9y + 5x + 6y
3(3x + 5y)
17a + b − 27b − 4a
13(a - 2b)
34 + 96z − 115 − 15z + 54
27(-1 + 3z)
115 + 27z − 14z − 50
= 13(5 + z)
Vereinfache bitte
23s^2 + 15t^2 + 6s2^t + 5 t^2 + 16s^2 + 7s2^t
39s^s + 20 t^2 + 13s^2t
15a − 3 (4 + 5a)
-12
3x + 6(− 2x − 2y)
-9x - 12y
25vw − 4w (3w − 6v)
49vw - 12w
(5a − 6b) (− 3) + 4a − 10b
-11a + 8b
(4x − 7y + 5z) 6a − 7ax
17ax - 42y + 30z
5ab (4a − 12b) − (12a + 6b) 4ab
-28a^2b - 84 ab^2
x^2 − 3x (5 + x) − 2x (7 − x)
-29x
Bitte vereinachen
6x (4 + x) + 13 (x + x2 ) + 7x (x − 1)
30x + 26x^2
0,5x (2 − x) + 0,8 (− x + x^2 ) + 0,2 (− x + x^2 )
0,5x^2
5a − 2 (3 (4a − 5b) − 2 (3a − 7b)) + 9b
= − 7a + 11b
4,2ab + 5,1cd + 6,7ab + 8,6cd
10,9ab + 13,7cd
1,85x + 4,28xy + 1,27x + 3,54xy
3,12 x + 7,82 xy
0,28r − 0,01r + 4,72rs − 3,08rs
0,27r + 1,64rs
Rechenaspekte Enthalten zwei durcheinander zu dividierende Teilterme keine Strichrechenzeichen,
Enthalten zwei durcheinander zu dividierende Teilterme keine Strichrechenzeichen, so gilt:
• der Quotient ist mit einem Bruchstrich zu schreiben.
• die in Zähler und Nenner vorkommenden Zahlen kann man, falls möglich, unabhängig von den Variablen gegeneinander kürzen.
• Variablen lassen sich kürzen, wenn sie in Zähler und Nenner des Bruchs auftauchen. Die verbleibende Potenz und ihre Stellung im Bruch lässt sich am leichtesten durch das gedankliche Ersetzen der Potenzen durch eine mehrfache Multiplikation und entsprechendes Kürzen ermittelna).
2x^2y3z^4 ⋅ 3x^3 y^2z^5
5x^5y^5z^9
Verhalten der Klammer wenn vor der Klammer ein positives Strichzeichen ist
• Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen steht, kann man weglassen. Die Strichrechenzeichen des Terms in der Klammer ändern sich beim Wegfallen der Klammer nicht. Das Vorzeichen des ersten Summanden in der Klammer wird mit dem vorher vor der Klammer stehenden Pluszeichen zusammengefasst
Verhalten der Klammer wenn vor der Klammer ein Minuszeichen steht
• Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, löst man auf, indem man alle in der Klammer stehenden Strichrechenzeichen in ihr Gegenteil verkehrt. Das Vorzeichen des ersten Summanden in der Klammer wird mit dem vorher vor der Klammer stehenden Minuszeichen zusammengefasst.
Bitte vereinfachen.
a + 2a + 3ab − ab + b2 + 2a
a + 2a + 3ab − ab + b2 + 2a = 5a + 2ab + b2
2uv + 3u + 5v^2 + 6uv + v2 + 6u
6v^2 + 9u + 8 uv
8mn + 4 m^2 + n2 + 6n2 + 7m2 + 17m^n
25mn + 11m^2 + 7n^2
14xy + 7xy − 2xy + x2 + y2 + 5x2 + 2y2
19xy + 6x^2 + 3y^2
) 6x^2y + 5xy + 6y + 5x^2 y + 2xy + 4y
11x^2y + 7xy + 10 y
9pq + 4p^2 − 2p^2 + 7pq + 5q^2 − 3q^2
16pq + 2 p^2 + 2 q^2
Definition Term
Ein Term ist eine nicht vollständig ausgerechnete Aufgabe.
Formel zur Berechnung eines Quaders
O = 2 ⋅ a ⋅ b + 2 ⋅ a ⋅ c + 2 ⋅ b ⋅ c
Formel zur Berechnung der Fläche eines Rechtecks
A = a ⋅ b
Darstellung der Multiplikation von einer Variabel und einer Zahl
Wird eine Variable mit einer Zahl multipliziert, so lässt man das Multiplikationszeichen weg 3 ⋅ a schreibt man als 3a
Regel Zusammenfassung von Summanden
In Summen lassen sich nur Summanden gleicher Struktur zusammenfassen!
23x − 8x + 17y +34x + 58y
49x + 75y
19m − 7m − 4m + 18n − 7n + 26m − 13m
21 m + 11n
0,75g − 4,05h +7,84g + 0,01h
8,59g - 4,04h
25,5w + 8,7 v − 5,9 v − 21,3w − 2,7w
1,5 w + 2,8v
8,5b + 4,74a − 4,26a − 6,34b − 2,25b
) 8,5b + 4,74a − 4,26a − 6,34b − 2,25b = 0,48a − 0,09b
Schreiben Sie die folgenden Multiplikationsaufgaben mit Hilfe des Distributivgesetzes so um, dass Sie sie im Kopf berechnen können und führen Sie die Berechnung durch:
6 ⋅ 136
6 * 130 + 6 * 6 = 460 + 36 = 496
Bitte lösen Sie zunächst die Klammern auf und berechnen Sie dann das Ergebnis ohne Verwendung des Taschenrechners:
(2 − 3 + 5) ⋅ (− 2)
2 ⋅ (− 2) − 3 ⋅ (− 2) + 5 ⋅ (− 2) = − 4 + 6 − 10 = − 8
(0,2 − 0,3 − 0,4) ⋅ 2 =
0,2 ⋅ 2 − 0,3 ⋅ 2 − 0,4 ⋅ 2 = 0,4 − 0,6 − 0,8 = − 1
Bitte lösen Sie zunächst die Klammern auf und berechnen Sie dann das Ergebnis ohne Verwendung des Taschenrechners
1/2 * (3/4 - 5/6 + 1/2)
1/2 * 3/4 - 1/2 * 5/6 + 1/2 * 1/2 = 3/8 - 5/12 + 1/4 = 5/24
Berechnen Sie, indem Sie zunächst alle Punktrechenzeichen bearbeiten. Entscheiden Sie dabei, ob Sie die Bruch- oder die Dezimalbruchschreibweise verwenden sollten. Benutzen Sie den Taschenrechner zur abschließenden Zusammenfassung der evtl. auftauchenden Brüche
3 + 4 − 3 ⋅ (− 2) + (− 4) + 1: 5 =
3 + 4 − (− 6) + (− 4) + 0,2 = 3 + 4 + 6 − 4 + 0,2 = 9,2
c) 2 : 8 − 5 : 25 + 3 ⋅ (3 − (− 2)) =
2 : 8 − 5 : 25 + 3 ⋅ (3 − (− 2)) = 0,25 − 0,2 + 3 ⋅ (3 + 2) = 0,25 − 0,2 + 15 = 15,05
2 : 3 + 3 : 3 + 4 : 3 + 5 : 9 + 2 =
2/3 + 1 + 4/3 + 5/9 + 2 = (6 + 9 + 12 + 5 + 18)/9 = 50/9 = 5 5/9 = 5,556
Regel Potenzen
Für alle a ∈ ℤ und b ∈ ℕ gilt: Die Potenz ab steht für die b-malige Multiplikation von a. Dabei nennt man a die Basis der Potenz und b den Exponenten.
Regel Vorzeichen von Potenzen
Ist die Basis einer Potenz eine negative ganze Zahl, dann ist das Ergebnis positiv, wenn der Exponent gerade ist und negativ, wenn der Exponent ungerade ist.
Reihenfolge-Regelung bei Potenzen
Potenzen vor Punkt vor Strich
Regel negative Potenzen
Soll eine negative Zahl potenziert werden, so muss sie mit dem Minuszeichen zusammen in eine Klammer geschrieben werden! Wegen der Rechenregel „Punkt vor Strich“ gilt z.B.: − 54 = − 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = − 625 und (− 5)4 = (− 5) ⋅ (− 5) ⋅ (− 5) ⋅ (− 5) = + 625
Regel Verhalten von Rechenzeichen wenn das Minus vor der Klammer steht
Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, so kann man die Klammer wegfallen lassen, indem man alle vorher in der Klammer stehenden Strichrechenzeichen in ihr Gegenteil verkehrt und das vor der Klammer stehende Minuszeichen beibehält.
Bitte berechnen Sie die Ergebnisse schrittweise und ohne Zuhilfenahme des Taschenrechners. Kontrollieren Sie dann ihr Ergebnis, indem Sie die Aufgabe wie angegeben in den Rechner eingeben: a) 2 ⋅ 3 + 4 − 2 ⋅ 3 =
a) 2 ⋅ 3 + 4 − 2 ⋅ 3 = 6 + 4 − 6 = 4
Bitte berechnen Sie die Ergebnisse schrittweise und ohne Zuhilfenahme des Taschenrechners. Kontrollieren Sie dann ihr Ergebnis, indem Sie die Aufgabe wie angegeben in den Rechner eingeben:
2 ⋅ (− 3) ⋅ (− 2) − 2 =
2 ⋅ (− 3) ⋅ (− 2) − 2 = 2 ⋅ 6 − 2 = 12 − 2 = 10
2 ⋅ 3 ⋅ (− 4) − 4 ⋅ 5 ⋅ (− 2) =
⋅ 3 ⋅ (− 4) − 4 ⋅ 5 ⋅ (− 2) = 6 ⋅ (− 4) − 20 ⋅ (− 2) = − 24 − (− 40) = − 24 + 40 = 16
0,2 ⋅ 0,3 ⋅ (− 1,2) − 1,2 =
0,2 ⋅ 0,3 ⋅ (− 1,2) − 1,2 = 0,06 ⋅ (− 1,2) − 1,2 = − 0,072 − 1,2 = − 1,272
3: (-9) - 5 : -4 - (-3) * 1/6
-1/3 - (-5/4) - (-3/6) = -1/3 + 5/4 + 1/6 = -4/12 + 15/12 + 6/12 = 17/12
Bitte lösen Sie alle Klammern auf und berechnen Sie auf diese Weise das Ergebnis schrittweise. Kontrollieren Sie, indem Sie die gegebene Aufgabe danach direkt in den Taschenrechner eingeben!
3 ⋅ (4 + 0,2 − 5) =
12 + 0,6 - 15 = -2,4
Bitte lösen Sie alle Klammern auf und berechnen Sie auf diese Weise das Ergebnis schrittweise (vgl. Beispiel 3.11). Kontrollieren Sie, indem Sie die gegebene Aufgabe danach direkt in den Taschenrechner eingeben!
− 3 ⋅ (3 − (− 3) ⋅ 3 ⋅ (− 2)) =
− 3 ⋅ (3 − (− 3) ⋅ 3 ⋅ (− 2)) = − 3 ⋅ (3 − 18) = − 3 ⋅ (− 15) = 45
2 ⋅ (2 + 2 ⋅ (2 − 3) − 2) =
⋅ (2 + 2 ⋅ (2 − 3) − 2) = 2 ⋅ (2 + 2 ⋅ (− 1) − 2) = 2 ⋅ (2 − 2 − 2) = 2 ⋅ (− 2) = − 4
(4 − 3 ⋅ (− 2) − 5) ⋅ (− 2) =
(4 − 3 ⋅ (− 2) − 5) ⋅ (− 2) = (4 − (− 6) − 5) ⋅ (− 2) = (4 + 6 − 5) ⋅ (− 2) = 5 ⋅ (− 2) = − 10
− 2 : (2 − 3 ⋅ (4 − 2) + 5) =
− 2 : (2 − 3 ⋅ (4 − 2) + 5) = − 2 : (2 − 3 ⋅ 2 + 5) = − 2 : (2 − 6 + 5) = − 2 : 1 = − 2
Bitte berechnen Sie zunächst ohne Zuhilfenahme des Taschenrechners. Kontrollieren Sie dann ihr Ergebnis, indem Sie die Aufgabe direkt in den Rechner eingeben:
3 + 3 ⋅ 3^2 − 4 =
3 + 3 ⋅ 32 − 4 = 3 + 3 ⋅ 9 − 4 = 3 + 27 − 4 = 26
− 3 ⋅ (− 2)^2 − (− 3) ⋅ (− 2^2 ) =
− 3 ⋅ (− 2)2 − (− 3) ⋅ (− 22 ) = − 3 ⋅ 4 − (− 3) ⋅ (− 4) = − 12 − 12 = − 24
3 + 3 ⋅(3 − 2)2 − 3 ⋅ (3 − 23 ) =
3 + 3 ⋅ (3 − 2)2 − 3 ⋅ (3 − 23 ) = 3 + 3 ⋅ 12 − 3 ⋅ (3 − 8) = 3 + 3 − 3 ⋅ (− 5) = 3 + 3 + 15 = 21
Bitte entscheiden Sie, ob der Ausdruck eine Summe oder ein Produkt ist:
3 + 4 ⋅ 5 ⋅ 6
Summe
3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6
3 ⋅ (4 + 5 + 6)
Produkt
3 − 4 ⋅ 5^6
4 − 4 : 4 − 4 − 4 ⋅ 4 − 4 =
4 − 1 − 4 − 16 − 4 = − 21
Definition Kommutativgesetzes:
Für alle a, b ∈ ℚ gilt: a + b = b + a und a ⋅ b = b ⋅ a
Definition Assoziativgesetz
Für alle a, b, c ∈ ℚ gilt: (a + b) + c = a + (b + c) und (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
Definition n Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz
Für alle a, b, c ∈ ℚ gilt: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
13 * 12
13 * 12 = 13 * 10 + 13 * 2 = 166
4 ⋅ 99
4 * 90 + 4 * 9 = 396
Definition Addition
Die beiden an einer Addition beteiligten Zahlen heißen Summanden, das Ergebnis der Addition nennt man Summe. Es gilt also: Summand plus Summand gleich Summe
Kommutativgesetzes der Addition (Vertrauschungsgesetz)
Bei der Addition kann die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. So gilt z.B.: 4 + 5 = 5 + 4 = 9
Definition Subtraktion
In einer Subtraktion bezeichnet man die Zahl vor dem Minuszeichen als Minuend, die Zahl nach dem Minuszeichen als Subtrahend. Das Ergebnis einer Subtraktion ist die Differenz. Es gilt also: Minuend minus Subtrahend = Differenz
Definition Menge der ganzen Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen ist die Menge ℤ = { …, − 2; − 1; 0; 1; 2; …} Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen: ℕ ⊂ ℤ Innerhalb der Menge ℤ lässt sich jede Addition und jede Subtraktion durchführen.
Verhalten von Vorzeichen und Rechenzeichen
• Sind Vor- und Rechenzeichen gleich, so ergibt sich insgesamt ein „+“
• Sind Vor- und Rechenzeichen ungleich, so ergibt sich insgesamt ein „−“
Definition Multiplikation
Die beiden an einer Multiplikation beteiligten Zahlen heißen Faktoren, das Ergebnis der Multiplikation nennt man Produkt. Es gilt also: Faktor mal Faktor = Produkt
Das Assoziativgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Klammerung bei der Addition oder Multiplikation von Zahlen keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Es gilt:
Addition: (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c)
Multiplikation: (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
Es gilt nicht für Subtraktion und Division.
Verhalten von Vor- und Rechenzeichen in der Multiplikation
Enthält eine Multiplikation mehrerer Faktoren eine gerade Anzahl von negativen Faktoren, so ist das Produkt positiv. Ist die Zahl der negativen Zahlen ungerade, so ergibt sich ein negatives Produkt.
Definition Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich selbst. Daher ist die Zahl 1 keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler. Die Menge der Primzahlen ist eine Teilmenge der Menge ℕ der natürlichen Zahlen.
Definition Primzahlenzerlegung
Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer Zahl als Produkt aus Primzahlen. Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) in Primfaktoren zerlegen.
Bedeutung einer Primzahlenzerlegung
Die Primfaktorzerlegung wird in der Mathematik verwendet, um den größten gemeinsamen Teiler (GGT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu berechnen und um Eigenschaften von Zahlen zu analysieren.
Definition Division
Die beiden an einer Division beteiligten Zahlen hießen Dividend und Divisor. Das Ergebnis einer Division ist der Quotient. Es gilt also: Dividend geteilt durch Divisor = Quotient
Faktoren Anzahl der Zahlen in einer Division
Zwischen je zwei Zahlen, die sich durch einen Bruch darstellen lassen, liegen wieder unendlich viele Zahlen dieser Art.
Definition Menge der Rationalen Zahlen
Diese Zahlenmenge bezeichnet man als die Menge der rationalen Zahlen und bezeichnet sie mit dem Buchstaben ℚ. Jede der in ihr enthaltenen Bruchzahlen besitzt eine Bruch- und eine Dezimalbruchdarstellung. Rationale Zahlen können positiv oder negativ sein. Die Menge ℤ der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge von ℚ: ℤ ⊂ ℚ
Unterscheidung Dezimalbrüche
abbrechender Dezimalbruch
periodischer Dezimalbruch
Regel Rundung von Dezimalbrüchen
Ein Dezimalbruch sollte sinnvollerweise auf vier gültige Ziffern – unabhängig von der Stellung des Kommas – gerundet werden. So gilt z.B.: 23,4455 ≈ 23,45; 0,00555663 ≈ 0,005557; 1006,6 ≈ 1007
Schritte der Primzahlenzerlegung
Teile die Zahl durch die kleinste Primzahl (2, 3, 5, …), solange es möglich ist.
Wiederhole den Vorgang mit dem Quotienten.
Höre auf, wenn der Quotient eine Primzahl ist.
Schreibe alle Primfaktoren als Produkt auf.
Definition kleinste gemeinsae Vielfaches
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist.
Bedeutung kgV
Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen
Gemeinsame Zyklen oder Zeitintervalle zu bestimmen
Probleme mit mehreren Vielfachen zu lösen
Schritte zur Bestimmung des kgV
Führe die Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahlen durch.
Wähle für jeden Primfaktor die höchste Potenz, die vorkommt.
Multipliziere diese Potenzen miteinander.
Beispiel: kgV von 12 und 18
12 = 22⋅32^2 \cdot 322⋅3
18 = 2⋅322 \cdot 3^22⋅32
kgV = 22⋅32=362^2 \cdot 3^2 = 3622⋅32=36
Regel zur Division von Brüchen
Soll durch einen Bruch dividiert werden, so ist hierzu mit seinem Kehrwert zu multiplizieren“.
Faktoren Multiplikation von Divisionen
Jede Division lässt sich als Multiplikation schreiben, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Bei dieser Kehrwertbildung bleibt ein negatives Vorzeichen des Divisors erhalten! Für alle a, b ∈ ℚ gilt: a : b = a/b = a * 1/b
Bitte schreiben Sie folgende Rechnungen als reine Addition:
a) 2 + 4 − 6 − 4
2 + 4 + (− 6) + (− 4)
− 0,5 − 0,4 − 0,3 − 0,2
(− 0,5) + (− 0,4) + (− 0,3) + (− 0,2)
Bitte sortieren Sie die folgende Rechnung nach der Größe der vorkommenden Zahlen (die niedrigste zuerst!). Rechnen Sie nicht aus! 23 − 34 + 5 − 3 − 13 + 67
67 + 23 + 5 -3 -13 - 24
Bitte setzen Sie das richtige Zeichen in die grauen Kästchen:
3 ? Z
3 ∈ ℤ
-2 ? N
− 2 ∉ ℕ
-11/3 ? Q
-11/3 ∈ Q
-3?Q
− 3 ∈ ℚ
0,4 ? Z
0,4 ∉ ℤ
Bitte schreiben Sie die Divisionen als Multiplikation:
a) 3 : 2
3 * 1/2
(− 3) : (− 4)
(-3) * (-1/4)
9 : -5/6
9 * (-6/5)
Definition Vereingungsmeldung
Haben zwei Mengen A und B keine Elemente gemeinsam, so hat die Vereinigungsmenge genau so viele Elemente wie die beiden Ausgangsmengen zusammen. Diese Vorstellung bildet die Grundlage der einfachsten Grundrechenart, der Addition.
Definition Symbol „∈”
ist Element von
Definition Symbol „∉“
ist kein Element von
Bedeutung Symbol „∪“
„… vereinigt mit …“. (Vereinigungsmenge)
Bedeutung Symbol „\“,
…ohne….
Definition Symbol „⊂“,
…ist eine Teilmenge von…
Faktoren häufiger vorkommende Faktoren in einer Vereinigungsmenge
• Enthalten zwei oder mehrere Mengen gleiche Elemente, so werden diese in der Vereinigungsmenge nur einmal genannt. Die Elemente werden (falls möglich), der Größe nach geordnet.
Diagramm mit der man eine Vereinigungsmenge gut veranschaulichen kann
Die verschiedenen Mengen lassen sich durch ein Mengendiagramm veranschaulichen. In ihm werden die Mengen durch Kreise beschrieben. Diese überlappen sich, damit man die Elemente der Mengen entsprechend ihrer Zugehörigkeiten richtig eintragen kann
Definition Schnittmenge
In der Schnittmenge zweier Mengen liegen die Elemente, die sowohl in der einen als auch in der anderen Menge liegen.
Definition Symbol „∩“
„… geschnitten mit …“
Definition leere Menge
Eine leere Menge ist eine Menge, die kein einziges Element enthält. Sie wird mit dem Symbol ∅ oder {} dargestellt. In der Mathematik ist die leere Menge die einzige Menge mit der Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) Null. Sie ist Teilmenge jeder beliebigen Menge.
Bedeutung Symbole ∅ oder {}
Leere Menge
A = {1; 2; 3; 6; 7; 8}; B = {3; 6; 8; 10} und C = {6; 8; 10}
Bilde die Menge A ∪ B
{3,6,8}
Bilde die Menge A ∪ B ∪ C
{6;8}
Bilde die Menge A/C
{1;2;3;7}
Bilde die Menge B/C
{3}
Setze das richtige Mengenzeichen ein
3 ? A
3 ∈ A
B ? C
B ⊄ C
Definition Symbol “⊄”
ist keine Teilmenge von
Bitte schreiben Sie in das graue Feld das richtige Zeichen!
B ? {10}
{10}⊂ B
B ? {11}
{11}⊄ B
4 ? C
4 ∉ C
Zum Weiterdenken: Bilden Sie die Mengen
A \ (B ∩ C)
B ∪ (C \ A)
{3, 6, 8, 10} = B
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