Mathe Quadratische Gleichungen und Funktionen

Reele Zahlen

Eine quadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn bei einer nach oben offenen Parabel der Scheitelpunkt auch oberhalb der x-Achse liegt oder, bei einer nach unten offenen Parabel, unterhalb der x-Achse. Die beiden folgenden Bilder zeigen solche Situationen:

Die allgemein formulierte Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: x2 + px + q = 0 mit p, q ∈ IR

x1,2 = - p/2 +/- Wurzel aus (p/2)^2 - q

D = (p/2)^2 - q

Ergibt sich durch das Einsetzen eine positive Diskriminante (D > 0), so hat die zugehörige Gleichung zwei Lösungen.

Ergibt sich durch das Einsetzen eine negative Diskriminante (D < 0), so hat die zugehörige Gleichung keine Lösung

Ergibt sich durch das Einsetzen unter der Wurzel der Wert Null, also D = 0, so hat die zugehörige Gleichung genau eine Lösung

Durch quadratisches Ergänzen lässt sich die allgemeine Form einer quadratischen Form in ihre Scheitelpunktsform verwandeln!

Man teilt die gesamte Gleichung vor Beginn des quadratischen Ergänzens durch den Koeffizienten von x2 und holt sich diesen Faktor nach Ende der Rechnung wieder zurück.

Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder auch gar keine Lösung besitzen

wei Lösungen hat eine quadratische Gleichung, wenn der Graph des zugehörigen quadratischen Terms auch zwei Nullstellen aufweist. Dies ist immer dann der Fall, wenn der Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der xAchse liegt und die Parabel nach oben offen ist oder wenn der Scheitelpunkt der Parabel oberhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach unten offen ist. Diese beiden Fälle werden z. B. in Abb. 4 bis Abb. 7 in Kapitel 2.3 dargestellt.

Eine Lösung hat eine quadratische Gleichung dann, wenn der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegt. Dies ist immer dann der Fall, wenn die Scheitelpunktsform durch die Gleichung y = (x – xS) 2 beschrieben wird – in dieser Gleichung fehlt die Verschiebung in Richtung der y-Achse (dies zeigt z. B. Abb. 10 in Kapitel 2.4).

Eine quadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn bei einer nach oben offenen Parabel der Scheitelpunkt auch oberhalb der x-Achse liegt oder, bei einer nach unten offenen Parabel, unterhalb der x-Achse. Die beiden folgenden Bilder zeigen solche Situationen:

Parabel ist enger

Eine in Bezug auf die Form der Normalparabel gestauchte Parabel ergibt sich, wenn der Faktor k vor dem quadratischen Term (x2 oder (x – xS) 2) kleiner ist als 1, für einen Faktor größer als 1 wird die Parabel gestreckt.

Eine nach unten geöffnete Parabel erhält man, indem man einen negativen Formfaktor k wählt.

y = k (x – xS) ^2 + yS

y = x^2 + 3

y = kx^2 mit 0 < k < 1

y = (x + 4)^2

y = kx^2 mit k < – 1

y = x^2 – 2

y = k (x + 1)^2 + 2 mit 0 < k < 1

y = k (x – 2)^2 – 3 mit k < – 1

y = kx^2 mit – 1 < k < 0

• Das Punktepaar P1 / Q1 wird durch die Anweisung: „Eine Einheit nach rechts oder links, eine Einheit zum Quadrat (also eine Einheit!) nach oben“ erreicht.

• Das Punktepaar P2 / Q2 wird durch die Anweisung: „Zwei Einheiten nach rechts oder links, zwei Einheiten zum Quadrat (also vier Einheiten!) nach oben“ erreicht.

• Das Punktepaar P3 / Q3 wird durch die Anweisung: „Drei Einheiten nach rechts oder links, drei Einheiten zum Quadrat (also neun Einheiten!) nach oben“ erreicht.

Beim Auflösen einer quadrierten Klammer muss eine der binomischen Formeln verwendet werden!

Gelingt es, diesen Rechengang so umzudrehen, dass sich aus der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion die zugehörige Scheitelpunktsform ergibt, so lässt sich der Graph dieser Funktion leicht zeichnen. Dies führt zunächst zu einer graphischen Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung, denn es gilt:

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in der Form

ax^2 + bx + c = 0

sind die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion

y = ax^2 + bx + c

Und bekanntermaßen lassen sich die Nullstellen einer Funktion aus dem Graphen leicht ablesen:

Es handelt sich um die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Der Scheitelpunkt eines Graphen bezeichnet den höchsten oder niedrigsten Punkt einer Parabel, je nachdem, ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist.

• Mathematische Definition: Der Scheitelpunkt ist der Punkt (xs,ys)(x_s, y_s)(xs​,ys​), an dem die Parabel ihren Extremwert erreicht:

  • Maximum (bei einer nach unten geöffneten Parabel)

  • Minimum (bei einer nach oben geöffneten Parabel)

• Geometrische Bedeutung:

  • Der Scheitelpunkt liegt auf der Symmetrieachse der Parabel.

  • Er markiert den Punkt, an dem die Richtung der Parabel wechselt.

In der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion, f(x)=a(x−xs)2+ysf(x) = a(x - x_s)^2 + y_sf(x)=a(x−xs​)2+ys​, sind xsx_sxs​ und ysy_sys​ direkt die Koordinaten des Scheitelpunkts.

Einfache Gleichungen kann man durch Äquivalenzumformungen auflösen.

Enthält eine Gleichung aber auch das Quadrat der Unbekannten (z. B. x2), so versagen diese Techniken.

Um eine solche quadratische Gleichung untersuchen zu können, stellt man sie so um, dass auf der einen Seite der Gleichung Null steht.

Für den so entstehenden quadratischen Term kann man nun z. B. eine Wertetabelle aufstellen.

Trägt man die Ergebnisse der Untersuchung eines solchen quadratischen Terms in ein Koordinatensystem ein, so ergibt sich eine gekrümmte Kurve, die bezüglich einer Parallele zur y-Achse oder der y-Achse selbst achsensymmetrisch ist.

Diesen quadratischen Term kann man auch als Zuordnung oder als quadratische Funktion auffassen.

Dabei hat man die Wahl, ob man diese durch die zugehörige Funktionsgleichung in der Form f(x) = ............. oder in der Form y = .......... angibt.

In beiden Darstellungen ist der Term auf der rechten Seite gleich. Mit dieser Betrachtungsweise ergeben sich die Lösungen einer quadratischen Gleichung aus den Punkten, in denen der Graph der zugehörigen quadratischen Funktion die x-Achse schneidet

Den Graph einer quadratischen Funktion bezeichnet man als Parabel.

Eine besondere unter all den möglichen Parabeln ist die Normalparabel, deren Scheitelpunkt in (0|0) liegt und die zur Funktionsgleichung y=x2 gehört.

Die Verschiebung einer Parabel nach oben oder unten geschieht durch Addition eines konstanten Summanden.

Soll der Scheitelpunkt einer in Richtung der x-Achse verschobenen Normalparabel nicht mehr in (0|0), sondern im Punkt S (xS | 0) liegen, so muss sich durch Einsetzen von x = xS in die eine entsprechend veränderte Funktionsgleichung der Funktionswert y = 0 ergeben.

Eine Parabel mit der Funktionsgleichung y = (x ± xS) 2 ist eine um den Wert xS nach links (hier gilt das „+“) bzw. rechts (hier gilt das „–“) verschobene Normalparabel.

weiter geöffnet

Die Quadratwurzel kann nur aus positiven Zahlen (oder Null) gezogen werden!

Äquivalenzpfeil,

Die Zuordnung zwischen einer Zahl und dem Ergebnis eines quadratischen Terms bezeichnet man als quadratische Funktion.

Die spezielle Kurvenform eines zu einer quadratischen Funktion gehörenden Graphen bezeichnet man als Parabel. Denjenigen Punkt des Graphen, der auf seiner Symmetrieachse liegt, bezeichnet man als den Scheitelpunkt der Parabel.

Die zur quadratischen Funktion y = x2 gehörende, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (0|0) heißt Normalparabel

Durch das Einsetzen der Lösung in eine Gleichung wird diese zu einer wahren Aussage. Einfache Gleichungen kann man durch Äquivalenzumformungen auflösen.