Mathemathik - Wachstumsprozesse und Logarhytmen

Gerade

Sind von diesen sechs Strecken zwei bekannt, so sind dadurch auch die anderen vier Strecken und damit das rechtwinklige Dreieck eindeutig bestimmt.

• Hypothenuse

• 2 Katheten

• 2 Hypothenusenabschnitte

• Höhe

Die Diagonalenlänge d eines Quadrats mit der Kantenlänge a ist d = a * Wurzel aus 2

In einem gleichseitigen Dreieck mit der Kantenlänge a gilt 1/2a * Wurzel aus 3

1/4 a^2 * Wurzel aus 3

Das logarithmische Rechnen reduziert die Hierarchiestufe von Berechnungen um eine Stufe.

Dekadische Logarithmen (und nur diese!) werden mit lg abgekürzt. Mit dieser Schreibweise ist die Basis 10 festgelegt und muss nicht mehr gesondert angegeben werden.

• Der dekadische Logarithmus (auch: „Zehner-Logarithmus“) einer Zahl b > 0 gibt den Logarithmus von b in Bezug auf die Basis 10 an. Die Bedeutung dieser „Logarithmen-Familie“ hängt eng mit der Struktur des Dezimalsystems zusammen und wird Ihnen in Kapitel 3.7 deutlich werden.

e ≈ 2,7183

t e ≈ 2,7183

• Man rechnet nicht mit den gegebenen Zahlen, sondern mit ihren Logarithmen.

• Hierzu wird die den gegebenen Term enthaltende Gleichung zunächst logarithmiert. Dies erzeugt aus einer Multiplikation bzw. Division der gegebenen Zahlen eine Addition bzw. eine Subtraktion ihrer Logarithmen.

• Das Ergebnis dieser Addition bzw. Subtraktion der Logarithmen verwendet man dann als Exponenten der Grundzahl und bestimmt auf diese Weise den gesuchten Wert des Terms.

• Dabei ist es völlig unerheblich, welche Basis man verwendet. Entscheidend ist nur, dass man beim Logarithmieren und dem sich anschließenden Potenzieren die gleiche Basis wählt. Nur so kann die Verknüpfung zwischen der Logarithmusfunktion und der zugehörigen Exponentialfunktion funktionieren.

• In der Regel wählt man hier den dekadischen Logarithmus, weil man seine Werte mit dem Taschenrechner (oder mit einer Logarithmentafel) bestimmen kann.

Achten Sie beim Umgang mit Exponentialgleichungen unbedingt auf eine klare Unterscheidung zwischen zwei möglichen Fällen: Einen unbekannten Exponenten berechnet man durch Logarithmieren und eine unbekannte Basis durch Ziehen der entsprechenden Wurzel.

Je größer die Basis a ist, desto langsamer steigen die Funktionswerte von f −1 (x) für x > 1 und desto schneller sinken sie für x < 1.

Man bezeichnet sie als Logarithmusfunktionen und verwendet bei der Angabe des jeweiligen Funktionsterms die Abkürzung „log“. Diese Schreibweise muss durch eine tiefgestellte Zahl ergänzt werden, denn es gibt keine Logarithmusfunktion „an sich“, sondern sie gilt immer nur in Bezug auf eine bestimmte Basis.

Der Logarithmus x einer Zahl b in Bezug auf eine bestimmte Basis a ist derjenige Wert, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Es gilt also die Äquivalenz: x = log a b ⇔ b

• Logarithmen sind immer auf eine bestimmte Basis bezogen.

• Negative Zahlen besitzen keinen Logarithmus.

• Logarithmen können negativ sein.

• Der Logarithmus einer Zahl in Bezug auf eine bestimmte Basis behält seinen Betrag und ändert sein Vorzeichen, wenn man als neue Basis den Kehrwert der alten Basis verwendet.

Eine Exponentialfunktion der Form f(x) = a^x ordnet einem x-Wert den Funktionswert a^x zu. Dabei ist der Wert a festgelegt und bildet die Basis der jeweiligen Exponentialfunktion. Unterschiedliche Werte von a erzeugen daher auch unterschiedliche Exponentialfunktionen.

• Ein exponentiell wachsender Prozess mit a > 1 wächst mit zunehmender Größe des Exponenten über alle Grenzen, ein exponentiell sinkender Prozess mit a < 1 wird niemals das Ergebnis Null haben

• Da die Wachstumsgeschwindigkeit eines solchen Prozesses durch die Steigung des zugehörigen Graphen beschrieben wird, gilt: Exponentiell wachsende Prozesse beschleunigen ihr Wachstum (ihr Graph wird immer steiler), bei exponentiell sinkenden verlangsamt es sich (ihr Graph verläuft immer flacher).

• Für x = 0 haben sowohl f(x) als auch g(x) den Wert f(0) = g(0) = 1. Damit hat der (relative) Bestand einer Größe für x = 0 den Wert 1 bzw. 100 %. Dies bezeichnet man dann auch als Startwert.

f(x) = g(− x)

f(x) = a^x

Der Graph der Funktion g(x) = 2 · 1,5^x geht aus dem der Funktion f(x) = 1,5^x hervor, indem man jeden Funktionswert mit 2 multipliziert. Dies gilt insbesondere für den Funktionswert f(0) = 1, hier hat g(x) dann den Funktionswert g(0) = 2. Dies ist der „Startwert“ der Funktion g(x) für x = 0.

• Eine Verschiebung in x-Richtung erfolgt durch das Einfügen eines Summanden „direkt an der Variablen“. Dadurch entsteht z.B. bei einer Verschiebung der Funktion f(x) = 2^x um zwei Einheiten nach links der Funktionsterm h(x) = 2^(x + 2)

Die Streckung bzw. Stauchung des Graphen einer Exponentialfunktion in x-Richtung führt zu einer „im Zeitraffer“ erfolgenden exponentiellen Veränderung. Vergleicht man z.B. die Funktionen f(x) = 2^x und h(x) = 2^2x, so schrumpfen alle Abstände auf der x-Achse durch den zusätzlichen Faktor im Exponenten auf die Hälfte. So gilt dann z.B. für x = 3, dass die Funktion f(x) den Funktionswert f(3) = 2^3 = 8 und h(x) den Funktionswert h(3) = 2^6 = 64 hat. Natürlich ist es kein Zufall, dass der Funktionswert von g(x) das Quadrat des Funktionswertes von f(x) ist. Dies zeigt eine einfache Veränderung der Schreibweise der Funktion g(x) = 2^2x, denn es gilt: g(x) = 2^2x = (2^x)^2 = (f(x))

Wechselt eine Potenz die Seite des Gleichheitszeichens, so verkehrt sich das Vorzeichen ihres Exponenten in sein Gegenteil und ihre Basis bleibt gleich.

Bei einem linear wachsenden bzw. sinkenden (zeitabhängigen) Prozess steigt bzw. sinkt eine Größe in gleichen Zeiträumen um den jeweils gleichen Betrag. Diese Grundstruktur lässt sich auch auf andere, nicht zeitabhängige Prozesse übertragen.

Handelt es sich um ein positives Wachstum, so ist dieser Faktor größer als 1

; beim exponentiellen Sinken (einem negativen Wachstum) ist er kleiner als 1.

Der Wert dieses Faktors wird berechnet, indem man den prozentualen Zuwachs (bzw. das prozentuale Absinken) als Dezimalbruch (ohne Prozentzeichen!) ausgedrückt und zu 1 addiert bzw. von 1 subtrahiert.

Ist die relative (auch: prozentuale) Veränderung einer Größe gleich bleibend, so spricht man von einem exponentiellen Wachstum. Dieses kann positiv (dann nimmt die betrachtete Größe zu) oder negativ sein (die betrachtete Größe nimmt dann ab)

Ein positives exponentielles Wachstum beschleunigt sich im Lauf der Zeit, denn für jeden neuen Zeitabschnitt gilt ein erhöhter Grundwert. Entsprechend verlangsamt sich das exponentielle Absinken mit der Zeit, denn für jeden neuen Zeitabschnitt gilt ein verminderter Grundwert.

Ein beliebiger Zwischenwert eines Prozesses, der durch eine Grundzeit und eine hierauf bezogene Grundzahl bestimmt ist, wird durch Potenzieren der Grundzahl mit einem Bruch berechnet. In diesem Bruch bezeichnet

• der Nenner, in wie viele Zeitabschnitte die Grundzeit zerlegt wird,

• der Zähler, wie viele solcher Zeitabschnitte wieder zusammengefasst werden.

x1,2 = (y2-y1)/(x2-x1)