Stochastische, fast überall, fast sicher Konvergenz
DONE
Fast überall Konvergenz => Stochastische
+proof
Stochastische und fast überall Konvergenz legen Grenzwert eindeutig fest…
Stochastische Konvergenz =/> fast überall Konvergenz
Konvergenz im Mittel
Was impliziert die Konvergenz im Mittel? Auch anders rum?
+bsp
Schnelle Konvergenz
+Proof
Äquivalente Aussagen (Stochastische Konvergenz, teilfolge)
Korrollar Stochastische Chuchy-folge
Definition gleichgradige integrierbarkeit
Äquivalenz von Bedingungen zu gleichgradiger integrierbarkeit
Endliche Menge =>?
F genau dann gleichgradig integrierbar, wenn es welche Funktion gibt?
F c L^p(mü) ist beschränkt wenn?
Wenn mü(Sigma) < unendlich und F beschränkt in L^p(mü) was folgt dann?
Familie von Zufallsvariablen gleichgradig integrierbar
f_n c L^1(mü) . Äquivalente Aussagen
+Beweis
DEF Quotientenraum
DEF. Konvergiert im p-ten Mittel gegen f
1<=p<= unendlich, f_n c L^p(mü). Äquivalente Aussagen
DEF. Teilmenge eines Vektorraums(affinen linearen Raums) heißt konvex wenn..
G konvex, Abbildung heißt konvex bzw. konkav wenn..
DEF jensensche Ungleichung in R
Jensensche Ungleichung in R^n
Youngsche Ungleichung
Höldersche Ungleichung
Minkowskische Ungleichung
Fischer Riesz
DEF skalarprodukt, hilbertraum
Für f,g Element von L^2(mü) definieren wir:
(L^2(mü),<•,•>) ist was?
Und Modifizierung vom Couchy Schwarz-Ungleichung
DEF. Orthogonales komplement
DEF dichte
Maß absolutstetig und singulär
Zerlegungssatz von Lebesgue
+Proof der Eindeutigkeit
Satz von Radon nikodym
DEF. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Was ist Äquivalent zu A,B unabhängig
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Bayessche Formel
DEF E[X|A] und die Abbildung von E[X|F]
DEF der bedingten Erwartung
Eigenschaften der bedingten Erwartung
DEF bedingte Erwartung als Projektion
DEF bedingte Erwartung von Y gegeben von X=x
DEF Übergangskern, Markovkern + Bemerkung
DEF. Stochastischer Prozess
DEF. Filtration
DEF adaptiert und erzeugte filtration
DEF stoppzeit
DEF schwache Konvergenz
Portmanteau Theorem
DEF konvergiert in Verteilung
Was folgt aus X_n -> X Stochastische
DEF schwache Konvergenz von verteilungsfunktionen
Mü, Mü1,mü_2, … mit verteilungsfunktionen äquivalente Aussagen
X,X1, X2,… mit verteilungsfunktionen äquivalente Aussagen
DEF. Straffheit
DEF. Produktraum
DEF. Koordinatenabbildung
DEF. Produkt-Sigma-Algebra
DEF. Zylindermengen + Anmerkung über Sigma-Algebra
Lemma 14.13
Endliche Produktmaße
Fubini-Tonelli Theorem
DEF. Charakteristische Funktion
Levyscher stetigkeitssatz
Momentproblem
E[X|F] existiert und ist eindeutig
Wenn Y eine ZV und X Element von L^1(P) was definieren wir dann
DEF Martingal, submartingal; supermartingal
Zentraler grenzwertsatz
Jensensche Ungleichung
Lokale Konvergenz im Maß
Definition L^p Norm
Stärkerer Satz als majorisierte Konvergenz von lebesgue
Und majorisierte Konvergenz Satz
Theorem 2.12
DEF Norm
def banachraum
X,Y orthogonal <=> X,Y unkorrelliert
Eindeutigkeit der Dichte
Ist die Dichte negativ?
Satz vom Wechsel der variablen
DEF Faltung von fx und fy
DEF. I-te Zerlegung (marginal)
Formel für E(h(X1|X2)
Reguläre Version der bedingten Verteilung von X gegeben Y
Was ist E(h(X1|X2))(omega)
DEF (diskrete time) martingal
Bsp mit Y^C martingal
Doobsche optional Stopping Theorem
Prop 5.14
Prop 5.15 +5.18
DEF charakteristische Funktion mit lebesgue maß
Eigenschaften der charakteristischen Funktion
+proof4,5,6
Charakteristische Funktion bestimmt eindeutige Dichte
Zufallsvariablen sind nur unabhängig wennn…
Dreiecksanordnung von z.B.
Lindeberg fellers zentraler Grenzwert Theorem
Lindeberg fellers Bedingung und lyapunov Bedingung
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