Definition Funktion
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, wenn jedem Wert aus dem Definitionsbereich genau ein Funktionswert zugeordnet wird.
Welche Eigenschaft der zweiten Ableitung zeigt, dass bei x = 0 keine Wendestelle vorliegt?
Die zweite Ableitung hat dort eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Welche Ableitung muss untersucht werden, um zu bestimmen, ob eine Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht?
Die dritte Ableitung f'''(x).
Warum liegt bei x = 0,6 ein Wendepunkt vor?
Weil f'''(0,6) > 0 ist, was bedeutet, dass eine Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht.
Was sind die notwendigen Bedingungen für einen Sattelpunkt?
f'(xs) = 0 und f''(xs) = 0.
Welche zusätzlichen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Sattelpunkt tatsächlich vorliegt?
f'' hat an xs eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel oder
f'''(xs) ≠ 0.
Warum ist x = 0 ein Sattelpunkt für f(x) = x³?
Weil f'(0) = 0, f''(0) = 0 und f'''(0) > 0 ist.
: Warum ist x = 0 bei g(x) = x⁴ kein Sattelpunkt, obwohl f'(0) = 0 und f''(0) = 0 gilt?
Weil die zweite Ableitung keinen Vorzeichenwechsel hat, bleibt die Krümmung gleich.
Wie nennt man die Tangente an einer Funktion im Wendepunkt?
Wendetangente.
Wie kann die Steigung der Wendetangente bestimmt werden?
Durch Berechnung von f'(xW) für den Wendepunkt xW.
Wo hat die Funktion f(x)=x^3−3xf(x) = x^3 - 3xf(x)=x^3−3x einen Wendepunkt?
Ableitungen:
f′′(x)=6x, also 6x=0⇒xw=06x = 0⇒ x_w = 0
f′′′(x)=6≠0f'''(x) = 6 \neq 0f′′′(x)=6=0, daher ist xw=0x_w = 0xw=0 eine Wendestelle.
Wendepunkt: W(0∣0)Rechtskrümmung für x<0 Linkskrümmung für x>0x >
Warum kann man an der Stelle x = 0 keine Aussage über die Existenz eines Wendepunktes treffen?
Welche Methode ist bei komplizierteren Funktionen sinnvoller als die Berechnung der dritten Ableitung?
Die Betrachtung der Vorzeichen von f′′(x), da die Berechnung der dritten Ableitung kompliziert sein kann (z. B. bei gebrochenrationalen Funktionen).
Wie bestimmt man Wendepunkte einer Funktion rechnerisch?
Berechne)f′′(x) und setze sie gleich 0.
Prüfe den Vorzeichenwechsel oder berechnef′′′(x).
Falls f′′′(x)≠0 oder ein Vorzeichenwechsel von f′′(x)f''(x)f′′(x) vorliegt, liegt ein Wendepunkt vor.
Warum wird oft die Bedingung mit der dritten Ableitung zur Wendepunktbestimmung bei Polynomen genutzt?
Wann geht eine Linkskurve in eine Rechtskurve über und umgekehrt?
Was besagt Satz 5 zur Bestimmung einer Wendestelle?
Eine Funktion fff hat eine Wendestelle xwx_wxw, wenn gilt:
f′′(xw)=0f''(x_w) = 0f′′(xw)=0
f′′(x)f''(x)f′′(x) hat an xwx_wxw einen Vorzeichenwechsel.
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion eine Wendestelle hat?
Eine Wendestelle xwx_wxw liegt vor, wenn:
Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x)f′′(x) an xwx_wxw eine Nullstelle hat.
Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x)f′′(x) an xwx_wxw das Vorzeichen wechselt.
Wie kann man eine Wendestelle alternativ bestimmen?
Eine Wendestelle x_w liegt vor, wenn:
Die zweite Ableitung f′′(x)an x_w eine Nullstelle hat.
Die dritte Ableitung f′′′(xw)≠0f'''(x_w)/ 0f′′′(xw)
Wie kann man eine Linkskurve und eine Rechtskurve anschaulich verstehen?
Bewegt man sich entlang des Graphen von links nach rechts, entspricht eine Linkskurve dem Lenken nach links und eine Rechtskurve dem Lenken nach rechts.
Was ist ein Wendepunkt einer Funktion?
Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Funktionsgraphen, an dem die Krümmung wechselt – eine Rechtskurve geht in eine Linkskurve über oder umgekehrt.
Welche Ableitungen sind relevant zur Bestimmung eines Wendepunkts?
Hinreichende Bedingung für eine Extremstelle
Die zweite Ableitung von Funktion von 0 ist größer 0 (lokales Minimum) oder kleiner 0 (lokales Maximum)
Alternativer Test Extremstelle
Wechsel von f′(x) von + nach - → Maximum
Wechsel von f′(x) von - nach + → Minimum
Kein Wechsel? → Kein Extrempunkt
Anwendungsgebiete Extremstellen
✅ Optimierungsprobleme
✅ Kurvendiskussion
✅ Physik (Maximale Geschwindigkeit, Minimaler Energieverbrauch)
Definition Extremstellen
Extremstellen sind Punkte, an denen eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum besitzt.
Definiton lokales Maximum
Lokales Maximum: f(x)≤f(x0)f(x)für alle xxx in einer Umgebung von x0
Definition lokales Minimum
Lokales Minimum: f(x)≥f(x0)f(x) für alle xxx in einer Umgebung von x0.
Notwendige Bedingung für eine Extremstelle?
Die erste Ableitung muss 0 sein.
Wofür wird der Differenzenquotient verwendet?
ur Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate und als Grundlage für die Ableitung einer Funktion.
Was ist die allgemeine Form einer Wurzelfunktion?
f(x)=x
oder allgemeiner
f(x)=a⋅bx+c+df(x) = a \cdot \sqrt{b x + c} + df(x)=a⋅bx+c+d
Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung der Wurzelfunktion?
Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an jedem Punkt des Funktionsgraphen an.
Welche Eigenschaften hat die Wurzelfunktion f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=Wurzel von x?
Monoton steigend (je größer xxx, desto größer f(x)f(x)f(x)).
Nicht für negative xxx definiert im reellen Zahlenbereich.
Krümmung nach unten (die Steigung nimmt ab).
Definition Tangente im INtervall
Die Funktion f sei gegeben und in einem Intervall I definiert, das die Stelle x0 enthält. Die Funktion f heißt differenzierbar (oder ableitbar) an der Stelle x0, falls der Differenzenquotient für x x0, wo wir uns also mit dem x der Stelle x0 nähern, einen Grenzwert besitzt. Dieser Grenzwert heißt die (erste) Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 und wird mit f '(x0) bezeichnet. Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 gibt die Steigung der Tangente am Graphen im Punkt (x0|f(x0)) an, die wir auch als Steigung des Graphen im Punkt (x0|f(x0)) bezeichnen.
Einzelwere Grenzschrittrechnung
Bitte merken Sie sich das rechnerische Prinzip:
1. Schritt: Berechnen Sie sowohl den linksseitigen wie auch den rechtsseitigen Grenzwert.
2. Schritt: Stimmen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert überein, so existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten im Sinne der Definition 6 und die Funktion f ist differenzierbar. Sind die Grenzwerte unterschiedlich, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar. Merken Sie sich bitte auch das anschauliche Prinzip: Hat der Graph einer Funktion an einer Stelle einen Knick, so ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.
Definitoin Tangentengleichung und Normalengleichung
Gegeben ist eine Funktion f : x -> y, die an der Stelle x0 differenzierbar ist. Sei t die Tangente des Graphen im Punkte P0(x0|f(x0)) mit der Steigung f '(x0). Die Gerade n, die im Punkte P0(x|f(x0)) senkrecht auf der Tangenten t steht, heißt Normale n im Punkte P0.
Die Geradengleichung der Tangente in P0 nennen wir Tangentengleichung im Punkte P0.
Die Geradengleichung der Normalen in P0 nennen wir Normalengleichung im Punkte P0.
Definition Ableitungsfunktion
Gegeben sei eine auf dem Definitionsbereich Df differenzierbare Funktion f. Unter der Ableitungsfunktion f ' der Ausgangsfunktion f (kurz Ableitung von f) versteht man diejenige Funktion, die jeder Stelle x der Funktion f ihre Ableitung an dieser Stelle zuordnet. Man schreibt diese Funktion in der Weise Den Prozess des Ableitens nenn man auch Differenzieren der Funktion f. Da man f ' auch erneut und wiederholt differenzieren kann, zählt man die Ableitungsschritte und nennt den hier geschilderten Übergang von f zu f ' die Berechnung der ersten Ableitung f' von f.
Definition zweite Ableitung
Bildet man von der Funktion f ' wiederum die Ableitung, so bezeichnet man diese mit f'' und man spricht von der zweiten Ableitung von f. Entsprechend heißt die Ableitung der zweiten Ableitung die dritte Ableitung f ''' der Funktion f u.s.w.
Definition Ordinatenaddition
Das Verfahren, bei dem aus den Graphen von f und von g der Graph der Summenfunktion f + g entsteht, heißt Ordinatenaddition. Als Ordinate bezeichnet man immer die Funktionswerte, also die y-Werte. Man addiert an einer Stelle x entweder zwei y-Strecken, wenn sie das gleiche Vorzeichen haben – etwa zwei positive oder zwei negative Strecken – oder man verrechnet eine positive mit einer negativen Strecke, indem man die Streckenlängen voneinander subtrahiert.
Definition Tangente
– Man kann die Steigung an einem Punkt der Kurve dadurch gut veranschaulichen, dass man in der dargestellten Weise Tangenten anlegt bzw. einzeichnet. Als Tangente eines Kreises bezeichnen wir eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Stellt man sich die Krümmung einer Kurve in einem bestimmten Punkt nun als kleinen Ausschnitt eines Kreis in der Umgebung diesen Punktes vor, dann erhält man die eingezeichneten Tangenten.
Faktoren zwischen steigung der Funktion und Steigung der Tangente
– Wenn die Funktion steigt, dann steigen auch die Tangenten und es gilt m 0 (bei streng monoton steigender Funktion sogar m > 0). Steigt eine Funktion an der Stelle a stärker als an der Stelle b, so hat auch die Tangente im Punkt A eine größere Steigung als im Punkt B (Für die beiden zugehörigen Geradengleichungen gilt mA > mB)
Definition erste Ableitung einer Funktion
Definition 5: Die Steigung der Tangente an einem Punkt A(a|f(a)) des Graphen der Funktion f bezeichnet man als die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle a. Man bezeichnet diese erste Ableitung an der Stelle auch kurz mit f'(a), lies: f Strich von a. Hat die Geradengleichung der Tangente, die am Punkt A(a|f(a)) angelegt wird, die Form y = mA x + bA, so gilt f'(a) = mA
Was ist die Sekantensteigung?
Die Sekantensteigung ist die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion zwischen zwei Punkten (x1,y1)(x_1, y_1)(x1,y1) und (x2,y2)(x_2, y_2)(x2,y2).
Wie berechnet man die Sekantensteigung?
(f(x(2)) - f(x(x)1))/(x(2) - x(1))
Was bedeutet die Sekantensteigung geometrisch?
Sie gibt die Steigung der Geraden an, die die beiden Punkte (x1,y1)(x_1, y_1)(x1,y1) und (x2,y2)(x_2, y_2)(x2,y2) auf dem Funktionsgraphen verbindet.
Was passiert mit der Sekantensteigung, wenn x2x_2x2 gegen x1x_1x1 strebt?
Sie nähert sich der Tangentensteigung an, also der Ableitung f′(x)f'(x)f′(x) an der Stelle x1x_1x1.
Wofür wird die Sekantensteigung verwendet?
Zur Approximation der Tangentensteigung und zur Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate einer Funktion.
Was ist der Differenzenquotient?
m=x2−x1f(x2)−f(x1)
Welche geometrische Bedeutung hat der Differenzenquotient?
Er gibt die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte (x,f(x))(x, f(x))(x,f(x)) und (x+h,f(x+h))(x+h, f(x+h))(x+h,f(x+h)) an.
Was passiert, wenn hhh gegen 0 geht?
Der Differenzenquotient geht in den Differentialquotienten über, also die Ableitung f′(x)f'(x)f′(x).
Definition Asymptote
Eine Asymptote ist also stets eine Gerade, der sich eine Funktion annähert.
Definition waagerechte Asymptote
Streben die Funktionswerte f(x)f(x)f(x) für x→+∞x \to +\inftyx→+∞ gegen eine Zahl aaa, bedeutet das, dass sich f(x)f(x)f(x) der Zahl aaa beliebig nahe annähert. Diese Zahl nennt man den Grenzwert der Funktion für x→+∞x \to +\inftyx→+∞.
In Zeichen:
limx→+∞f(x)=a\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = ax→+∞limf(x)=a
Analog definiert man den Grenzwert für x→−∞x \to -\inftyx→−∞ und schreibt:
limx→−∞f(x)=a\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = ax→−∞limf(x)=a
Die Gerade mit der Gleichung y=ay = ay=a, der sich die Funktion für x→±∞x \to \pm\inftyx→±∞ annähert, heißt waagerechte Asymptote. Sie ist parallel zur x-Achse.
Definiton Definitionslücken und senkrechte Asymptoten
Hier ist dein Text in einer kompakten und klaren Form für Buffl:
Definitionslücken und senkrechte Asymptoten
Gegeben sind die ganzrationalen Funktionen ff und gg sowie eine gebrochen-rationale Funktion hh.
Die Funktion hh ist an den Stellen, an denen der Nenner g(x)=0g(x) = 0 wird, nicht definiert. Diese Nullstellen des Nennerpolynoms nennt man Definitionslücken.
Eine Polstelle x0x_0 liegt vor, wenn g(x0)=0g(x_0) = 0 gilt, aber f(x0)≠0f(x_0) \neq 0 ist. In diesem Fall nähern sich die Funktionswerte h(x)h(x) einer Geraden beliebig nah an, die parallel zur y-Achse verläuft und die x-Achse an der Stelle x0x_0 schneidet.
Diese Gerade hat die Gleichung x=x0x = x_0 und heißt senkrechte Asymptote.
Definition gebrochen-rationale Funktion
Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion der Form
f(x) = x/2
wobei nicht die Nullfunktion ist. Diese Funktionen können Polstellen (Nullstellen des Nenners) und eventuell waagrechte oder schräge Asymptoten besitzen.
Schreibweise Grenzwerte
lim f(x) 0 und lim f(x) 0
x->8
Bedigung damit eine Funktion als streng monoton fallend bezeichnet wird
x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
Bedigung damit zwei Geraden paralell zueinander stehen
) f ist parallel zu g, kurz f II g gilt genau dann, wenn m1 = m2 ist,
Bedigung damit zwei Geraden senkrecht zueinander stehen
m2 = 1/m1 oder m1 : m2 = -1
Bedigung Eine Funktion f heißt achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x als Element von D gilt:
f (x) = f (– x)
Eine Funktion f heißt punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0), wenn für alle x als Elemente von D gilt:
f (x) = – f (– x)
Satz zu geraden und ungeraden Funktionen
1. Ganzrationale Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn sie gerade sind.
2. Ganzrationale Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sie ungerade sind.
3. Wenn ganzrationale Funktionen weder gerade noch ungerade sind, wenn also sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von x vorkommen, sind sie weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
Bedigung damit eine Funktion monoton steigend ist
für alle x-Werte gilt x1 < x2 => f(x1) <=f(x2)
Bedingung damit eine Funktion streng monoton steigend ist
x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
Bedigung damit eine Funktion als monoton fallend bezeichnet wird
x1 < x2 => f(x1) >= f(x2)
Steigungsformel
m = y2 - y1/ x2 - x1
Bedigung für eine monton steigende Gerade
Geraden steigen, wenn m >= 0. Sie sind sogar streng monoton steigend, falls m > 0 gilt.
Bedingung, damit eine Gerade fallend ist
Geraden fallen, wenn m 0.
Sie sind sogar streng monoton fallend, falls m < 0 gilt.
Definition rechtsoffenes Intervall
[a;b[= {x I a <= x <= b}
Definition offenes Intervall von a bis unendlich
]a; unendlich[ = {x I x > a}
Definition linksoffenes Intervall von - unendlich bis b
)- unendlich; b) = {x I x <=b}
Definition lineare Funktion
Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift f : x = m x + b heißt lineare Funktion. Die zugehörige Funktionsgleichung ist y = m x + b bzw. f(x) = m x + b. Der zugehörige Graph ist eine Gerade, bei der die Zahl m als Steigung der Geraden und b als Achsenabschnitt bezeichnet wird.
Definition geschlossenes Intervall
[a;b] = {x I a <= x <= b}
Definiton offenes Intervall
]a;b[ = {x I a <= x <= b}
Definition linksoffenes Intervall
)a;b] = {x I a <= x <= b}
Definition Graph der Funktion
Der Graph einer Funktion ist die visuelle Darstellung aller Punkte )(x,f(x)—-- in einem Koordinatensystem.
Definition maximaler Definitonsbereich
Unter dem maximalen Definitionsbereich einer Funktion f versteht man die größtmögliche Menge aller x-Werte, für die die Funktion f definiert ist.
[a; b] = {x
Definition Definitonsbereich
Der Definitionsbereich einer Funktion gibt alle erlaubten Werte für die Variable xxx an.
Definiton Wertebereich
Der Wertebereich einer Funktion umfasst alle möglichen Funktionswerte f(x)
Definitons Funktionsgleichung
Die Funktionsgleichung beschreibt die mathematische Beziehung zwischen x und f(x)
Definiton Funktonsterm
Der Funktionsterm ist der Ausdruck, der die Berechnung der Funktion beschreibt.
Definition Zuordnungsvorschrift
Die Zuordnungsvorschrift beschreibt, wie jedem x genau ein f(x) zugeordnet wird.
Definiton Wertetabelle
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