6. Finanzmathematik

Im Allgemeinen geht es um die Charakterisierung von zeitlichen Entwicklungen  finanzieller Größen, wie z. B. die Entwicklung von gesparten Geldbeträgen. Man spricht  hier üblicherweise von einem Zahlungsstrom (oder Cashflow). Wichtig für die Charakteri-  sierung von Zahlungsströmen ist nun die Frage, zu welchen Zeitpunkten die Zahlungen  erfolgen. Wir verwenden hier den einfachen Fall des Basis-Zeitmodells und nehmen an,  dass Zahlungen jeweils am Ende einer Periode t erfolgen. Insgesamt gibt es n Perioden, 

Die Perioden sind  zudem alle gleich lang. Wir werden im Folgenden auch häufig vom Zeitpunkt t sprechen,  womit die Zahlung am Ende der Periode t oder der Wert der Anlage am Ende der Periode t  gemeint

• der Geldbetrag K, der zum Zeitpunkt t vorhanden ist – symbolisiert durch Kt, 

• der Zinsbetrag Z, der zum Zeitpunkt t existiert – symbolisiert durch Zt, 

• der Zinssatz i, 0 ≤ i ≤ 1 oder 0 % ≤ i ≤ 100 %, der für alle Perioden iden-  tisch ist, 

• der Zinsfaktor q = 1 + i, der für alle Perioden identisch ist. 

Zins  Der Zins ist ein Preis für  die Überlassung oder die  Anlage von Kapital

 Angenommen, ein Sparer ver-  fügt zum

• Zeitpunkt t = 0 (Ausgangssituation) über einen

• Geldbetrag K0, welcher auch als  Anfangsbetrag bezeichnet wird.

• Dieser Geldbetrag soll angelegt werden.

  • n Perioden zum

  • Zinssatz i

Es gibt keine weiteren Ein- und Auszahlungen.

• Gesucht —> Geldbetrag Kn, der am Ende der n Perioden dem Sparer zu Verfügung steht. Man spricht folgerichtig auch vom Endbetrag.

Die Höhe des Endbetrages wird davon abhängig sein, welche Art  der Verzinsung angewendet wird.

die Zinsen,  die jeweils am Ende der Periode anfallen, nicht mitverzinst. Damit wird lediglich der  Anfangsbetrag verzinst.

Der Geld- und Zinsbetrag zum Zeitpunkt t entspricht:

Beim Zinseszins (oder exponentielle Verzinsung) werden die Zinsen, die jeweils am Ende  der Periode anfallen, mitverzinst.

Der Geld- und Zinsbetrag zum Zeitpunkt t entspricht

• der Zinsfaktor q = 1 + i, der für alle Perioden identisch ist

weitere Formen.

• Gemischte Verzinsung: Diese entspricht einer Kombination von Einfach- und Zinses-  zins. 

• Unterjährige Verzinsung: Hier werden auch Perioden betrachtet, die weniger als ein  Jahr andauern, beispielsweise eine vierteljährliche Verzinsung. Dies hat zur Konse-  quenz, dass zwischen nominellem und effektivem Jahreszins unterschieden werden  muss. 

• Stetige Verzinsung: Die stetige Verzinsung ist als Spezialfall der unterjährigen Verzin-  sung zu betrachten, da hier die Zinsperioden sehr kurz, z. B. tagesgenau, sind. 

beschäftigt sich mit der Entwicklung von Sparvermögen bei regelmä-  ßigen Einzahlungen. Solche Zahlungen werden als Rente bezeichnet. Die (üblicherweise  identische) Höhe der Zahlung ist die Rentenrate (oder Rate) und wird durch r symbolisiert. 

Wird eine  Rate zum Ende der Periode fällig, handelt es sich um eine nachschüssige Rente

• r = konstante, jährliche Rentenrate gezahlt.

• n Jahre = Die Laufzeit der  Rente

• q = Der jährliche Zinsfaktor

  • wobei q = 1 + i gilt.

• Außerdem werden Zinseszinsen gewährt

• r = konstante, jährliche Rentenrate gezahlt.

• n Jahre = Die Laufzeit der  Rente

• q = Der jährliche Zinsfaktor

  • wobei q = 1 + i gilt.

• Außerdem werden Zinseszinsen gewährt

Rentenendwert Rn

nach r aufgelöst werden, um zu ermitteln, wie hoch die jährliche Rate  sein muss, um bei gegebener Laufzeit und gegebenem Zinsfaktor auf einen bestimmten  Endbetrag zu kommen

Rückzahlung (oder Tilgung) von Schulden  in Teilbeträgen, die ebenfalls als Raten bezeichnet werden.

• Annuität = Die Zahlungen, die der Schuld-  ner jährlich (oder auch monatlich) aufbringen muss.

• Sie  besteht aus

  • Tilgungsrate = dem Teilbetrag, der zurückgezahlt wird

  • den zu zahlenden  Zinsen auf die zum Zeitpunkt t bestehende Restschuld.

Es lassen sich zwei Rückzahlungs-  konzepte unterscheiden:

• die Ratenschuld und

• die Annuitätentilgung

Ausgangssituation:

• Kredit in Höhe von K0 = 40.000 €.

• Kreditlaufzeit beträgt n = 8 Jahre.

• Die Restschuld wird mit einem Zinssatz von  i=0,06 verzinst.

Ratenschuld wird nun eine über die gesamte Dauer der Kreditlaufzeit konstante  Tilgungsrate T vereinbart.

Tilgungsrate von  T=40.000€:8Jahre=5.000€pro Jahr.

Tilgungsrate konstant, die Belastung des Schuld-  ners, gemessen anhand der Annuität, variiert hingegen. Am Anfang ist diese hoch, da der  Zinsbetrag für die Restschuld hoch ausfällt. Mit sinkender Restschuld sinken auch die zu  zahlenden Zinsbeträge und damit die Annuität

Ausgangssituation:

• Kredit in Höhe von K0 = 40.000 €.

• Kreditlaufzeit beträgt n = 8 Jahre.

• Die Restschuld wird mit einem Zinssatz von  i=0,06 verzinst.

einer konstanten Annuität

jährlichen Belastungen konstant, allerdings erhöht sich der Gesamtbetrag,  den der Schuldner zahlen muss, da aufgrund der anfänglich niedrigen Tilgungsrate der  Zinsbetrag höher ausfällt als bei der Ratenschuld. Die Annuitätentilgung ist gleichwohl,  häufig auch in Variation durch einen einmalig zu zahlenden Restbetrag am Ende der Lauf-  zeit, vor allem bei Hypothekendarlehen üblich.