Spezialwissen

Bei einer gebrochenrationalen Funktion der Form

f(x)=P(x) / Q(x)

wird eine Lücke oder eine Unendlichkeitsstelle (Polstelle) durch die Nullstellen des Nenners Q(x) bestimmt.

Vorgehensweise:

1. Nullstellen des Nenners finden Löse Q(x)=0, um die kritischen Stellen zu bestimmen.

2. Prüfen, ob die Stelle auch eine Nullstelle des Zählers ist Setze die gefundenen Werte in P(x) ein:

   • Falls P(x) an dieser Stelle ebenfalls 0 wird, liegt eine entfernbare Lücke (hebbarer Definitionslücke) vor, wenn sich der Ausdruck kürzen lässt.

   • Falls P(x) nicht 0 wird, handelt es sich um eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle).

Beispiel:

Gegeben die Funktion:

f(x)=(x^2−4) / (x−2)

1. Nullstelle des Nenners: x−2=0⇒x=2

2. Nullstelle des Zählers prüfen: x^2−4=(x−2)(x+2)

   Einsetzen von x=2

   (2−2)(2+2)=0

   → Da der Zähler ebenfalls 0 wird, liegt eine Lücke vor, da sich der Ausdruck zu f(x)=x+2 für x≠2x kürzen lässt.

Beispiel einer Polstelle:

f(x)= (x+1) / (x−2)

1. Nullstelle des Nenners: x−2=0⇒x=2

2. Nullstelle des Zählers prüfen:

   x+1 = 2+1= 3≠0

   → Da der Zähler nicht 0 wird, handelt es sich um eine Polstelle mit einer senkrechten Asymptote bei x=2.

Zusammenfassung:

• Wenn Zähler und Nenner gleichzeitig 0 → Lücke (falls kürzbar).

• Wenn nur der Nenner 0 wird → Polstelle (Unendlichkeitsstelle).

Falls eine genauere Unterscheidung von Polstellen (z.B. mit Vorzeichenwechsel oder Asymptotenverhalten) nötig ist, kann man noch eine Grenzwertbetrachtung durchführen.