5. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN

• zwei unabhängige Variablen, x und y, und eine abhängige Variable z

• Definitionsbereich entspricht der Menge der geordneten Zahlenpaare (x, y).

• alle reellen Zahlen eingesetzt werden dürfen.

• Eine Funktion zweier  Variablen f ordnet sodann jedem Zahlenpaar (x, y) eindeutig eine Zahl z zu. Mit f(x,y)  wird der Wert der Funktion im Punkt (x, y) bezeichnet. Die Menge aller Funktionswerte  entspricht dem Wertebereich.

Der Definitionsbereich ist 𝐷 = %2, wobei die Zahl 2 im Exponenten anzeigt, dass für die  zwei betrachteten unabhängigen Variablen alle reellen Zahlen als Zahlenwerte verwendet  werden dürfen. Angenommen, wir setzen x = 2 und y = –1. Dann erhalten wir 

Der Wert der Funktion im Punkt (2,–1) entspricht folglich –1.

• entweder mithilfe einer Werteta-  belle oder grafisch dargestellt werden

• grafische Darstellung wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, aller-  dings im dreidimensionalen Raum.

• Diese  Schnitte können sowohl vertikal (x- oder y-Ebene) oder horizontal (z-Ebene) verlaufen.  Dies kann anhand der Funktionsgleichung z= f(x,y) erläutert werden.

• 1. fixieren unabhängige Variable X —> grafisch entspricht dies einem vertikalen  Schnitt durch x0, der parallel zur (y, z)-Ebene verläuft.

  • Angenommen, wir fixieren (künstlich) die unabhängige Variable x bei einem beliebi-  gen Wert x0 (dieser Wert entspricht einer beliebigen reellen Zahl im Definitionsbe-  reich). Formal erhalten wir z = f(x0,y) und grafisch entspricht dies einem vertikalen  Schnitt durch x0, der parallel zur (y, z)-Ebene verläuft.

    • Handelt es sich bei der Funktion  beispielweise um eine Produktionsfunktion und sind die unabhängigen Variablen die Zahl der Mitarbeiter (x) und die Zahl der Maschinen (y), so gibt diese Schnittkurve an,  wie sich der Output verändert, wenn die Zahl der Maschinen erhöht wird, die Zahl der  Mitarbeiter aber konstant bleibt.

• 2. fixieren unabhängige Variable y —> grafisch entspricht dies einem verti-  kalem Schnitt durch y0, der parallel zur (x, z)-Ebene verläuft.

  • Angenommen, wir fixieren (künstlich) die unabhängige Variable y bei einem beliebi-  gen Wert y0. Formal erhalten wir z = f(x, y0) und grafisch entspricht dies einem verti-  kalem Schnitt durch y0, der parallel zur (x, z)-Ebene verläuft.

    • Im Falle der Produktions-  funktion gibt diese Schnittkurve an, wie sich der Output verändert, wenn die Zahl der  Mitarbeiter erhöht wird, die Zahl der Maschinen aber konstant bleibt. (Alt Mathe Skript, p.130)

• 3. fixieren abhängige Variable z —> grafisch entspricht dies einem horizontalem Schnitt durch z0, der parallel zur (x, y)-Ebene verläuft. Höhenlinie.

  • Angenommen, wir fixieren (künstlich) die abhängige Variable z bei einem beliebigen  Wert z0. Formal erhalten wir z0 = f(x, y) und grafisch entspricht dies einem horizon-  talem Schnitt durch z0, der parallel zur (x, y)-Ebene verläuft. Die Schnittkurve wird hier  auch als Höhenlinie bezeichnet.

    • Im Falle der Produktionsfunktion gibt die Höhenline  an, mit welchen verschiedenen Kombinationen von Arbeitskräften und Maschinen ein  zuvor festgelegter Output produziert werden kann. 

• Eine Funktion kann auch mehr als zwei unabhängige Variablen aufweisen

  • 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 

• Die  Funktion f ordnet sodann jeder Kombination der unabhängigen Variablen eine bestimmte  reelle Zahl zu. Der Funktionswert ist damit: 

• Darstellung solcher Funktionen mittels Wertetabellen sehr komplex.  Eine grafische Darstellung ist sogar gar nicht mehr möglich

• Funktionsgleichung z = f(x, y).

• fixieren die unab-  hängige Variable y – sie nimmt also eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich an und  wird mithin als konstant erachtet.#

• Konstanz zu verdeutlichen, verwenden wir  häufig die Schreibweise y = y0, wobei y0 eine reelle Zahl darstellt

• Situation erschaffen, in der die abhängige Variable z nur noch von  der unabhängigen Variablen x beeinflusst wird. Formal gilt z = f(x, y0)

• die 1. Ableitung (oder Ableitung  1. Ordnung) bilden, indem wir die Funktion (unter dem Postulat der Konstanz von y) nach  x differenzieren. Wir sprechen dann von partieller Differentiation (oder Ableitung) nach x,

• fixieren nun die unabhängige Variable x; es gilt also x = x0. Die Funkti-  onsgleichung ist mithin z = f(x0, y). Auch hier lässt sich sodann die 1. Ableitung berech-  nen, und zwar indem die Funktion (unter dem Postulat der Konstanz von x) nach y diffe-  renziert wird. Wir sprechen dann von partieller Differentiation (oder Ableitung) nach y

Schreibweisen

• die unabhängige Variable, nach der  man nicht ableitet, als konstant und damit als vorgegebene Zahl betrachtet wird.

   

Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung sind: 

Hinweise: Bei der Ableitung fx wird y als konstant betrachtet. Daher fällt der Term „– 6y2“  als additive Konstante bei der Differentiation weg. Der Term „3y“ ist hingegen als eine  multiplikative Konstante zu betrachten, die bei der Differentiation erhalten bleibt. Analoge  Überlegungen gelten für die Ableitung fy, bei der x als konstant betrachtet wird

Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung sind:

Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung sind: 

 Die partielle Ableitung 1. Ordnung kann auch inhaltlich interpretiert werden. Angenom-  men, wir befinden uns als Ausgangspunkt in einem beliebigen Punkt innerhalb des dreidi-  mensionalen Gebildes und bezeichnen diesen Punkt mit (x0, y0). Die partielle Ableitung fx  gibt dann (näherungsweise) an, um wie viele Einheiten sich der Funktionswert f(x0, y0)  ändert, wenn sich die unabhängige Variable x um eine Einheit verändert, während die  unabhängige Variable y konstant bleibt. Analog gibt die partielle Ableitung fy (näherungs-  weise) an, um wie viele Einheiten sich der Funktionswert f(x0, y0) ändert, wenn sich die  unabhängige Variable y um eine Einheit verändert, während die unabhängige Variable x  konstant bleibt

Die partielle Ableitung 1. Ordnung ist im Allgemeinen selbst eine Funktion, die zwei unab-  hängige Variablen x und y aufweist: 

Daher ist es möglich, die partiellen Ableitungen selbst nochmals entweder nach x oder  nach y zu differenzieren

Unterscheidung:

• direkte partielle Ableitungen 2. Ordnung:

  • Eine direkte 2. partielle Ableitung liegt vor,  wenn die 1. partielle Ableitung nach derselben unabhängigen Variablen nochmals abge-  leitet wird. Wird also fx(x, y) nochmals nach x differenziert, erhalten wir fxx als direkte  partielle Ableitung 2. Ordnung. Die Ableitung von fy(x, y) nach y ergibt analog fyy. 

• gemischte partielle Ableitungen 2. Ordnung:

  • Eine gemischte 2. partielle Ableitung  liegt vor, wenn die 1. partielle Ableitung nach der jeweils anderen unabhängigen Variab-  len abgeleitet wird. Wird also fx(x, y) nach y differenziert, erhalten wir fxy als gemischte  partielle Ableitung 2. Ordnung. Die Ableitung von fy(x, y) nach x ergibt analog fyx.  Gemischte partielle Ableitungen 2. Ordnung werden auch als Kreuzableitungen  bezeichnet. Außerdem gilt, dass die beiden Kreuzableitungen immer identisch sind, d.  h. fxy = fyx. Damit muss bei der Ermittlung der gemischten partiellen Ableitung 2. Ord-  nung stets nur eine Kreuzableitung ermittelt werden.

Die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung sind

Angenommen, es liegt eine Funktion f = f(x, y) vor. Dann können wir daraus zwei parti-  elle Differentiale herleiten

Das partielle Differential dfx gibt an, wie sich der Funktionswert (näherungsweise) ändert,  wenn die unabhängige Variable x um dx Einheiten verändert wird, während die unabhän-  gige Variable y konstant bleibt. Das partielle Differential dfy gibt an, wie sich der Funktions-  wert (näherungsweise) ändert, wenn die unabhängige Variable y um dy Einheiten verän-  dert wird, während die unabhängige Variable x konstant bleibt. 

, wie sich der Funktionswert ändert, wenn  beide unabhängigen Variablen gleichermaßen verändert werden. Aufschluss darüber gibt  das totale (oder vollständige) Differential, welches der Summe aus den partiellen Differen-  tialen entspricht

Das totale Differential gibt mithin an, um wie viele Einheiten sich der Funktionswert (nähe-  rungsweise) ändert, wenn sich die unabhängige Variable x um dx Einheiten und die unab-  hängige Variable y um dy Einheiten simultan verändern. 

totale Differential

Die Ausgangssituation sei nun durch x = 20 und y = 10 gegeben. Reduzieren wir die Vari-  able x z. B. um 0,3 Einheiten und erhöhen die Variable y gleichzeitig um 0,1 Einheiten – es  gilt also dx = –0,3 und dy = 0,1, erhalten wir: 

Funktionswert steigt folglich (näherungsweise) um 0,115 Einheiten an

Bei der Differentiation von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen … 

• … können die 1. und 2. partiellen Ableitungen auch grafisch interpretiert werden  

• … kann mithilfe der Kettenregel eine totale Ableitung gebildet werden

• … kann implizit entlang einer Höhenlinie differenziert werden

• … kann auch auf Konvexität und Konkavität überprüft werden

Die Funktion hat  im Punkt (x0, y0) ein Maximum oder Minimum, falls die folgenden notwendigen Bedingun-  gen erfüllt sind

Beide partiellen Ableitungen 1. Ordnung müssen also an der betreffenden Stelle null ent-  sprechen

1. Hinreichende Bedingungen für ein Maximum 

2. Hinreichende Bedingungen für ein Minimum

Dafür müssen die notwendigen Bedingungen fx=fy=0 erfüllt  sein und zusätzlich fxx · fyy < fxy2 gelten. Wir werden uns im Folgenden aber auf Funktio-  nen konzentrieren, die keinen Sattelpunkt aufweisen

Die 1. und 2. partiellen Ableitungen sind

Die notwendigen Bedingungen sind: 

Aus diesen Bedingungen kann die Lage eines möglichen Extrempunktes bestimmt werden.  Auflösen der Gleichungen nach x und y ergibt: 

Die hinreichenden Bedingungen sind:

Damit handelt es sich um ein Minimum an der Stelle x = 2 und y = 0.

Die ersten und zweiten partiellen Ableitungen sind:

Die notwendigen Bedingungen sind:

in beiden Gleichungen jeweils beide unabhän-  gigen Variablen enthalten sind. = Gleichungssystem. Substitutionsverfahren. Zunächst wird eine der  beiden Gleichungen (hier die zweite) nach einer Variablen (hier x) aufgelöst und dann in  die jeweils übrige (hier die erste) eingesetzt. Diese wiederum wird nach der dann verbleib-  enden Variablen (hier y) aufgelöst.

Das letzte Ergebnis wird sodann in die ermittelte Bestimmungsgleichung der übrigen Vari-  ablen (hier x) eingesetzt: 

Damit ist die Lage eines möglichen Extrempunktes bei x = 2 und y = –1.

Die hinreichenden Bedingungen sind

Damit handelt es sich um ein Minimum an der Stelle x = 2 und y = –1. 

In der ökonomischen Praxis sind allerdings häufig Optimie-  rungsprobleme zu lösen, bei denen Restriktionen für die unabhängigen Variablen, soge-  nannte Nebenbedingungen, zu beachten sind

• Kostenminimierung bei vorgegebenem Produktionsniveau, 

• Gewinnmaximierung bei vorgegebenen Gesamtkosten, 

• Nutzenmaximierung bei vorgegebenem Budget.

Optimierungsproblem unter Einhaltung einer Nebenbedingung 

Gesprochen: Maximiere (oder minimiere) die Zielfunktion f durch die optimale Wahl der  unabhängigen Variablen x und y unter der Nebenbedingung, dass die Funktion g einer  Konstanten c entspricht, wobei 𝑐 ∈   % gilt.

Zur Lösung von Optimierungsproblemen mit einer Nebenbedingung zwei Methoden zur Verfügung: Die Variablensubstitution und der Lagrange-Ansatz.

Bei der Variablensubstitution wird die Nebenbedingung nach einer unabhängigen Variab-  len aufgelöst und in die Zielfunktion eingesetzt. Dadurch reduzieren wir das zu lösende  Optimierungsproblem auf den Fall mit nur einer unabhängigen Variablen

BSP

Auflösen der Nebenbedingung nach y ergibt: 

Einsetzen der letzten Gleichung in die Zielfunktion führt zu: 

Damit reduziert sich das Optimierungsproblem zu: 

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für ein Maximum lauten:

Das Ergebnis x = 10 wird nun in die Bestimmungsgleichung für y eingesetzt: 

Die Zielfunktion wird folglich unter Einhaltung der Nebenbedingung an der Stelle x=10  und y=15 maximiert. 

Zielfunktion f und  Nebenbedingung g(x, y) = c in eine neue Funktion, die sogenannte Lagrange-Funktion,  transformiert werden.

drei Schritte. Erstens muss die  Nebenbedingung so umgestellt werden, dass c – g(x, y) = 0 gilt. Zweitens muss eine  neue unabhängige Variable, der Lagrange-Multiplikator λ (gesprochen Lambda), einge-  führt werden. Drittens muss die umgestellte Nebenbedingung mit dem Lagrange-Multipli-  kator multipliziert werden. Das Ergebnis wird sodann zur Zielfunktion addiert, um die  Lagrange-Funktion zu erhalten

Aus dem Optimierungsproblem 

erhalten wir folglich die Lagrange-Funktion

Es ist nun ausreichend, die Extremstellen der Lagrange-Funktion zu ermitteln. Hierfür gibt  es drei notwendige Bedingungen, bei denen die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der  Lagrange-Funktion nach den unabhängigen Variablen x, y und λ gleich null gesetzt wer-  den. Es gilt also im Allgemeinen: 

Die Lösung dieses Gleichungssystems – bestehend aus drei Gleichungen und drei Unbe-  kannten x, y und λ – ergibt sodann die gesuchte Extremstelle und entspricht damit der  Lösung des Optimierungsproblems.  Hinweise: 1. Wir verzichten im Folgenden auf die Prüfung der hinreichenden Bedingungen  und unterstellen stets, dass diese erfüllt sind. 2. Wird nach einem Minimum gesucht,  ändert sich die Methode nicht – Lagrange-Funktion und die notwendigen Bedingungen  sind identisch. 

Zur Übung wollen wir das obige Beispiel mithilfe der Lagrange-Methode lösen. Das Opti-  mierungsproblem war:  

Die dazugehörige Lagrange-Funktion lautet: 

Die notwendigen Bedingungen für ein Maximum sind

Zur Lösung des Gleichungssystems lösen wir die zweite Gleichung nach λ auf, setzen das  Ergebnis in die erste Gleichung ein und lösen nach y auf: 

Einsetzen in die dritte Gleichung der notwendigen Bedingungen und Auflösen nach x  ergibt:

Einsetzen in die Bestimmungsgleichung von y führt zu:

Die Zielfunktion wird folglich unter Einhaltung der Nebenbedingung an der Stelle x=10  und y = 15 maximiert. Hinweis: Es ist nur eine mögliche Variante zur Lösung des Gleich-  ungssystems dargestellt. 

Wir erkennen: Sowohl die Variablensubstitution als auch der Lagrange-Ansatz liefern iden-  tische Ergebnisse. Grundsätzlich bleibt es dem Anwender überlassen, welche Methode  gewählt wird. Allerdings ist es bei manchen Problemen mathematisch nicht möglich, die  Variablensubstitution durchzuführen. In diesem Fall bleibt nur der Lagrange-Ansatz.

Ein Unternehmen stellt Ersatzteile für Automobile her. Der Manager des Unternehmens  gibt vor, dass pro Stunde x = 80 Ersatzteile hergestellt werden sollen, um die Nachfrage  stets bedienen zu können. Zur Produktion werden die Produktionsfaktoren Arbeit L und  Maschinen (Kapital) M eingesetzt. Die Technologie kann durch folgende Produktionsfunk-  tion beschrieben werden: 

Die Produktion verursacht Kosten. Allen Arbeitern wird ein Lohn in Höhe von 20 € pro  Stunde bezahlt. Die Kapitalkosten belaufen sich je Maschine auf 8 € pro Stunde. Damit  sind die Kosten K pro Stunde gegeben durch:

Der Manager ist nun bestrebt, diejenige Kombination von Anzahl der Arbeiter und Anzahl  der Maschinen zu ermitteln, welche die geforderten 80 Ersatzteile zu den geringstmögli-  chen Kosten herstellen kann. Mathematisch lautet das Optimierungsproblem daher: 

Die dazugehörige Lagrange-Funktion lautet: 

Die notwendigen Bedingungen für ein Minimum sind: 

Zur Lösung des Gleichungssystems lösen wir die zweite Gleichung nach λ auf, setzen das  Ergebnis in die erste Gleichung ein und lösen nach M auf: 

Einsetzen in die dritte Gleichung der notwendigen Bedingungen und Auflösen nach L  ergibt: 

Einsetzen in die Bestimmungsgleichung von M führt zu:

Ergebnis: Unter den gegebenen Bedingungen können 80 Ersatzteile pro Stunde kostenmi-  nimal produziert werden, wenn 4 Arbeiter und 20 Maschinen eingesetzt werden. 

Nicht nur Unternehmer lösen Optimierungsprobleme, sondern auch Konsumenten. Ange-  nommen, einem Konsumenten stehen 1.000 € als Budget zu Konsumzwecken zur Verfü-  gung. Es gibt zwei Gütergruppen: Lebensmittel und Bekleidung. Die konsumierte Menge  von Lebensmitteln wird mit x bezeichnet, die konsumierte Menge von Bekleidung mit y.  Der Lebensmittelpreis beträgt im Durchschnitt 50 €, der von Kleidung 100 €. Da nicht mehr  als das zur Verfügung stehende Budget ausgegeben werden kann, unterliegt der Konsu-  ment folgender Budgetrestriktion: 

In Worten: Die Ausgaben für beide Güter (linke Seite der Gleichung) müssen dem Budget  entsprechen (rechte Seite der Gleichung).

Das Ziel des Konsumenten ist es, durch den Konsum der beiden Güter einen möglichst  hohen Grad an Bedürfnisbefriedigung zu erlangen. Dies kann mathematisch durch eine  sogenannte Nutzenfunktion zum Ausdruck gebracht werden. Für dieses Beispiel unter-  stellen wir die folgende Nutzenfunktion:

Der Konsument wird nun versuchen, durch die Wahl der konsumierten Mengen von  Lebensmitteln und Bekleidung den Nutzen unter Einhaltung der Budgetrestriktion zu  maximieren. Mathematisch lautet das Optimierungsproblem daher: 

Die dazugehörige Lagrange-Funktion lautet

Die notwendigen Bedingungen für ein Maximum sind: 

Zur Lösung des Gleichungssystems lösen wir die zweite Gleichung nach λ auf, setzen das  Ergebnis in die erste Gleichung ein und lösen nach y auf: 

Einsetzen in die dritte Gleichung der notwendigen Bedingungen und Auflösen nach x  ergibt: 

Einsetzen in die Bestimmungsgleichung von y führt zu

Ergebnis: Unter den gegebenen Bedingungen sollte der Konsument 10 Lebensmittelein-  heiten und 5 Bekleidungseinheiten konsumieren, um seinen Nutzen zu maximieren.