erster Piola-Kirchhoff Spannungstensor P
Schnittkraftvektor in Momentankonfiguration aus der Flächendefinition in Referenzkonfiguration
P = J T F^(-T)
zweiter Piola-Kirchhoff Spannungstensor S
Abbildung des Kraftinkrement in Momentankonfiguration in die Referenzkonfiguration übertragen
S = J F^(-1) T F^(-T)
Deformationsgradient F
Bildet ein Linieninkrement in Referenzkonfiguration dX auf das zugehörige Element dx in Momentankonfiguration ab
F = ∂x/∂X = I + ∇(u)
det(J) ist determinate von F
rechter Cauchy-Deformationsgradient C
bildet das Quadrat eines Linieninkrements in Referenz- auf Momentankofiguration ab
C = F^T F
auch “rechter Cauchy-Green Tensor” genannt
linker Cauchy-Deformationstensor b
Inverse bildet Quadrat eines Linieninkrements zwischen Momentan- und Referenzkonfiguration ab
b = F F^T
auch “linker Cauchy-Green Tensor” genannt
Green-Lagrange Verzerrungstensor E
bildet die Länge eines Linieninkrements auf die Längenänderung zwischen Momentan- und Referenzkonfiguration dx·dx−dX·dX ab, wobei die Länge in Referenzkonfiguration genutzt wird
E = 0.5 * (C - I)
Almansi Verzerrungstensor e
bildet die Länge eines Linieninkrements auf die Längenänderung zwischen Momentan- und Referenzkonfiguration dx·dx−dX·dX ab, wobei die Länge in Momentankonfiguration genutzt wird
e = 0.5 * (I - b^(-1))
linearen Green-Lagrange Verzerrungstensor ε
entsteht durch Linearisierung der Green-Lagrange Verzerrung um die Referenzkonfiguration
ε = LIN[E] = 0.5 * (∇u + ∇^Tu) mit ∇u = F - I
auch “lineare Dehnung” genannt
Cauchy-Spannungstensor T
T = T^T (sym.)
Linearisierung
Gâteaux- oder Richtungsableitung
linearisierte Piola-Kirchhoff Spannung σ
linearisierte Piola-Kirchhoff Spannung σ in Voigt-Notation
Welche Äquivalenz gilt gemäß des zweiten newtonschen Axioms für die Änderung des Impulses?
Die zeitliche Änderung des Impulses entspricht der Summe aller wirkender Kräfte.
Unter Annahme das nur Oberflächenkräfte t und Volumenkräfte b wirken:
Die finale Form der Impulsbilanz in Referenzkonfiguration
Die finale Form der Impulsbilanz in Momentankonfiguration
lokale Massenbilanz in Momentankonfiguration
Massenbilanz als Erhaltungsgleichung
loakle Massenbilanz in Momentankonfiguration unter Annahme ausreichend glatter Ränder
lokale Formen der Impulserhaltung bei ausreichend glatten Feldgrößen
Momentankonfiguration:
Referenzkonfiguration:
Schritte um schwache Form eines ARWP zu bilden
Multiplikation der starken DGL mit einer beliebigen Testfunktion
Integration über den BEreich , auf den die PDGL definiert ist
Anwendung partieller Integration
Was versteht man unter Galerkin-Orthogonalität?
Der Fehler zwischen einer Lösung u des kontinuierlichen Problems und der Lösung u^h des endlich-dimensionalen Problems, steht senkrecht zu dem gewählten Vektorraum, indem u^h definiert ist.
Formal bedeutet das:
Welche Aussage lässt sich über die mittels der FEM berechneten Lösung u^h treffen?
Die Lösung der schwachen Formulierung auf Subräumen stellt eine effiziente Lösungsmethode dar. Mit der Bedingung der Galerkin-Orthogonalität ist u^h immer die Lösung mit dem geringsten Fehler!
Die wichtigsten Eigenschaften von Lagrange-Ansatzfunktionen
lassen sich als Nullprodukt konstruieren
C^0-Stetigkeit
ist lokal -> nur an den Elementen ungleich null, in denen der zugehörige Knoten aktiv ist
isoparametrische Konzept
MIttels einer Koordinatentransformation werden die physikalischen Koordinaten eines Elements in den isoparametrischen Kooridnaten ausgedrückt
Benötigt um nicht jedes Element vollständig neu zu berechnen
Elementsteifigkeitsmatrix K^e
über das Element integriert:
Knotensteifigkeitsmatrix (K^e)^I,J
Almansi Verzerrungstensor e/A
e=0.5*(I - b^-1)
Geschwindigkeitsgradient L
L=F’ F^-1
Was versteht man unter inkompatiblen Ansatzfunktionen?
Ansatzfunktionen sind über die Elementgrenzen hinweg nicht stetig
Wird ein Modell durch die Verwendung inkompatibler Ansatzfunktionen verglichen mit kompatiblen Ansatzfunktionen eher weicher oder steifer?
weicher, da die Verformung durch diese Möglichkeit von Überlappungen und Klaffungen weniger stark gezwängt wird
Nenne ein Beispiel für eine inkompatible Ansatzfunktion!
bilineares Viereckselement mit zusätzlichen Ansatz
Nenne die Grundidee des isoparametrischen Konzepts!
Die Geometrie wird aus dem Einheitsraum in den physikalischen Raum abgebildet
Die Geometrie wird mit den selben Ansatzfunktionen approximiert/transformiert, die auch für die Approximation der Feldgröße verwendet wird
Erkläre den Unterschied zwischen der Differential und der Variationsrechnung!
Differentialrechnung
Variationsrechnung
Funktion ist fest vorgegeben
Funktional ist fest vorgegeben
Funktionswert wird gesucht, bei dem Extremum vorliegt
Funktion gesucht, bei der das Funktional ein Extremum annimt
zur Funktion wird ein Differential addiert und die Originalfunktion abgezogen
zur gesuchten Funktion wird eine differentielle Funktion addiert und die Ablietung in dieser Richtung bestimmt
Welche Bedingungen werden an Ansatzfunktionen gestellt?
C0-konform: an jedem Punkt zwischen den Elemnten sind die Verschiebungen gleich (C1-konform: “ - Verdrehungen gleich)
Polynomgrad hoch genug, damit beim Einsetzen ein konstanter Wert bleibt
Starrkörperbedingung muss erfüllt sein
Die virtuelle Arbeit der Teilgebiete entspricht der des Gesamtgebiets
Voigt-Notation
Verkürzte Schreibweise für Tensoren
Zwei Indizes aus der Tensornotation zusammengefasst
Welche fehlende Invarianz macht z.B. für die Formulierung von Materialgesetzen, Verzerrungstensoren notwendig?
Der Deformationsgradient F ist nicht Invariant gegenüber Drehungen des gesamten Körpers. Daher wird ein Verzerrungstensor benötigt, der eine Invarianz gegenüber dieser Drehung besitzt und bildet so die gesuchte lokale Längenänderung exakt ab, wie sie für die Berechnung der Spannung benötigt wird.
materielle Nichtlinearität
Abbildung zwischen Spannung und Dehnung hängt von der aktuellen Deformation ab
geometrische Nichtlinearität
Relevant, unabhängig von der Dehnung, sobald die Deformation groß genug ist, sodass Referenz- und Momentankonfiguration nicht mehr näherungsweise übereinstimmen
B-Matrix
Zusammenhang zwischen Green-Lagrange Verzerrungstensor ε und B-Matrix
Green-Lagrange Verzerrungstensor in Voigtnotation (2D)
Wie lässt sich C für kleine Deformation vereinfacht ausdrücken?
C = I + 2ε
Zusammenhang Dichte Referenz- zu Momentankonfiguration
Richtungsableitung in Indexnotation
Warum wird die Lösung der schwachen Form einer PDGL gesucht?
Der Lösungsansatz für schwache Formen einer PDGL lässt sich sehr gut systematisieren, daher auch gut geeignet für Rechenprogramme. Wenn der Lösungsraum der schwachen Form in dem der starken Form liegt, so ist die schwache Lösung auch eine starke!
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