Beschreiben Sie den Inhalt und die Ziele der Lehrveranstaltung
Inhalt:
Einführung und Motivation
Grundlagen der Vektor- und Tensorrechnung
Kinematik – Beschreibung der Bewegung
Bilanzgleichungen
Materialmodelle
Ziele:
Methoden der Kontinuumsmechanik verstehen
FEM-Ergebnisse bewerten können
Grundlage für experimentelle, theoretische und numerische Arbeiten
Was versteht man unter dem Begriff Kontinuumsmechanik?
beschreibt Mechanik deformierbarer Körper
Verbindet Festkörper- und Fluidmechanik.
Beschreibung von Spannung, Verformung, Temperatur, Strömung
Was bedeutet der Begriff „phänomenologisch“ im Rahmen der Materialmodellierung?
Der mikroskopische Aufbau wird nicht berücksichtigt.
Welche mathematischen Disziplinen benötigt man in der Kontinuumsmechanik?
Kinematik (Deformation)
Bilanzgleichungen (Masse, Kräfte, Energie)
Konstitutivgleichungen (Materialverhalten)
Womit beschäftigt sich die Kinematik im Rahmen der Kontinuumsmechanik?
Mathematische Beschreibung der Bewegung
Unter welchen Voraussetzungen ist die Kontinuumsmechanik anwendbar und welche physikalischen Größen kann man damit grundsätzlich berechnen?
Voraussetzung:
Mikrostruktur klein gegenüber Gesamtstruktur (𝛿 << 𝑑)
Berechenbare Größen:
Spannung, Deformation, Temperatur, Strömung
Skizzieren Sie die Referenz- und die Momentankonfiguration sowie die Bewegungsfunktion und den Verschiebungsvektor und erläutern Sie die Begriffe!
Was ist unter materiellen Punkten und materiellen Körpern zu verstehen?
Materieller Punkt:
Keine räumliche Ausdehnung
Träger physikalischer Größen (z.B. Temperatur, Dichte)
Materieller Körper:
Zusammenhängende Menge aus unendlich vielen materiellen Punkten
Welchen Zusammenhang beschreibt die Bewegungsfunktion?
Zusammenhang zwischen Referenzposition (ursprüngliche Lage) und Momentanposition (aktuelle Lage) während einer Deformation.
x = aktuelle Position desselben Punktes in der Momentankonfiguration
χ = Bewegungsfunktion
X = ursprüngliche Position eines materiellen Punktes in der Referenzkonfiguration
t = Zeit
Was versteht man unter materiellen Linien-, Flächen und Volumenelementen?
Linienelement:
infinitesimales Liniensegment, beschreibt Längenänderungen.
Flächenelement:
infinitesimale Fläche mit Orientierung.
Volumenelement:
infinitesimales Volumen im Körper.
Wie ist der Deformationsgradient F definiert und welche Zusammenhänge beschreibt er?
Beschreibt lokale Deformation eines Körpers
und
Transformiert Linien-, Flächen- und Volumenelemente zwischen Referenz- und Momentankonfiguration
In welche Anteile lässt sich der Deformationsgradient zerlegen?
in Streckung und Drehung
Wie lauten die beiden polaren Zerlegungen des Deformationsgradienten und wie kann man sie physikalisch interpretieren?
polare Zerlegung mit rechtem Streckentensor: F = R * U (erst Streckung, dann Rotation)
polare Zerlegung mit linkem Streckentensor: F = V * R (erst Rotation, dann Streckung)
R = ohne Verzerrung
U = Verzerrung in Referenzkonfig
V = Verzerrung in Momentankonfig
Was bedeutet der Begriff Inkompressibilität und mit welcher mathematischen Beziehung würde man sie ausdrücken?
Inkompressibilität:
Volumen bleibt konstant (V_o=V)
Mathematische Beziehung:
det(F)=1
Skizzieren und erläutern Sie die Kinematik bei einem einachsigen Zugversuch?
Skizzieren und erläutern Sie die Kinematik bei einem einfachen Scherversuch?
Was versteht man unter dem Verschiebungsvektor und wie berechnet man daraus den Verschiebungsgradienten?
Verschiebungsvektor:
beschreibt Referenzbewegung zur Momentankonfiguration
Verschiebungsgradient:
Wie hängen die Volumenelemente der Referenz- und der Momentankonfiguration mit dem Deformationsgradienten zusammen?
Deformationsgradient beschreibt Änderung des Volumenelements.
Zusammenhang: Determinante bildet Volumenänderung ab
Was versteht man unter materieller Beschreibung und was unter räumlicher Beschreibung?
Materiell (Lagrange):
Beobachter folgt einem bestimmten materiellen Punkt X durch den Raum und Zeit; typisch Festkörpermechanik.
Räumlich (Euler):
Beobachter bleibt am festen Ort x und beoachtet Ort-und Zeitabhängige Geschwindigkeit; typisch Fluidmechanik.
In welchen Anwendungsfeldern (bzw. bei welchen Materialien) wird eher die räumliche Beschreibung verwendet und in welchen anderen eher die materielle Beschreibung?
Materielle (Lagrange):
Festkörper (Elastizität, Plastizität, Strukturmechanik)
Räumliche (Euler):
Fluide/Gase (Strömungen, Verbrennung)
Wie ist der räumliche Geschwindigkeitsgradient definiert?
Beschreibt räumliche Änderung der Geschwindigkeitskomponenten
In welche Anteile lässt sich der räumliche Geschwindigkeitsgradient zerlegen?
Symmetrischer Anteil: Verzerrungsgeschwindigkeit (Deformation, D)
Antisymmetrischer Anteil: Wirbeltensor (Rotation, W)
Wie hängen die Cauchy-Green Tensoren mit dem Deformationsgradient zusammen?
Beschreiben Deformation unabhängig von Drehungen
Rechter Cauchy-Green-Tensor (Referenzkonfiguration) C=F^T*F
Linker Cauchy-Green-Tensor (Momentankonfiguration) B=F*F^T
Wie ist der Greensche Verzerrungstensor definiert?
Er beschreibt Verzerrungen bezogen auf die Referenzkonfiguration.
Welche Verzerrungstensoren kennen Sie?
Almansischer Verzerrungstensor:
Green-Lagrange Verzerrungstensor:
Henckysche Verzerrungstensor:
Welche Spannungstensoren kennen Sie?
1. Piola-Kirchhoff-Spannung: (technische Spannung, Referenzkonfiguration)
Cauchy-Spannung: (wahre Spannung, Momentankonfiguration)
Erläutern Sie den Unterschied zwischen dem Cauchy-Spannungstensor und dem ersten Piola-Kirchhoff bzw. dem technischen Spannungstensor!
Piola-Kirchhoff-Spannung:
beschreibt technische Spannung in Referenzkonfiguration (ursprüngliche Fläche)
Kräfte beziehen sich auf die Flächen des undeformierten Körpers
asymmetrisch
Cauchy-Spannung:
beschreibt wahre Spannung in Momentankonfiguration (deformiert)
Kräfte beziehen sich auf die Fläche des deformierten Körpers
symmetrisch
Wie berechnen sich beim Zugversuch die wahre Spannung und die technische Spannung?
wahre Spannung: Kraft bezogen auf aktuelle Fläche A
technische Spannung: bezogen auf Ausgangsfläche A_0
Wie viele und welche Bilanzgleichungen kennen Sie?
Massenbilanz
Impulsbilanz
Drehimpulsbilanz
Energiebilanz
Entropiebilanz
Was besagen die Massenbilanz und die Impulsbilanz physikalisch?
Massenbilanz:
In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtmasse konstant (Erhaltungssatz der Masse) m˙=0
Impulsbilanz:
Impulsänderung eines Körpers = resultierende Kraft (2. Newtonsches Gesetz)
Ohne äußere Kräfte bleibt der Impuls konstant
Was versteht man unter den lokalen und globalen Formulierungen von Bilanzgleichungen?
Globale Formulierung : Aussagen über das gesamte System (z.B. Gesamtmasse, Gesamtimpuls)
Lokale Formulierung : Aussagen über beliebig kleine Volumenelemente (Punktbetrachtung im Material)
Wie lautet die lokale Massenbilanz auf der Referenzkonfiguration?
Die Massendichte in der Referenzkonfiguration bleibt an jedem Punkt X konstant
Wie lautet die lokale Drehimpulsbilanz auf der Momentankonfiguration?
Sie besagt, dass der Cauchy-Spannungstensor T symmetrisch ist.
Nennen Sie die vier Klassen des Materialverhaltens?
Elastizität
Plastizität
Viskosität
Viskoplastizität
Was verstehen Sie unter elastischem Materialverhalten?
Spannung ist eine eindeutige Funktion der aktuellen Deformation σ=f(ε)
Nach Entlastung kehrt das Material vollständig in die ursprüngliche Form zurück (keine bleibende Verformung)
Keine Hysterese (kein Energieverlust), keine Zeitabhängigkeit (kein Kriechen, keine Relaxation)
Was verstehen Sie unter plastischem Materialverhalten?
Bleibende (irreversible) Verformung nach Überschreiten einer Fließgrenze
Material kehrt bei Entlastung nicht vollständig in die Ausgangsform zurück
Spannungs-Dehnungs-Verhalten zeigt Hysterese (Energieverlust)
Geschwindigkeits- und Verfestigungsabhängigkeit möglich
Was verstehen Sie unter viskoelastischem Materialverhalten?
Kombination aus elastischen und viskosen Eigenschaften (zeitabhängig)
Zeigt Hysterese, Kriechen und Relaxation
Spannungs-Dehnungs-Verhalten hängt von Verformungsgeschwindigkeit ab
Was verstehen Sie unter viskoplastischem Materialverhalten?
Kombination von plastischem und viskosem Verhalten
Bleibende Verformung (Plastizität) und Zeitabhängigkeit (Viskosität)
Hysterese, Kriechen und Relaxation möglich
Skizzieren Sie typische Spannungs-Dehnungs-Kennlinien eines viskoelastischen Materials für unterschiedliche Dehnungsgeschwindigkeiten!
Was versteht man unter den Begriffen Relaxation und Kriechen bei Werkstoffen?
Relaxation
Spannung nimmt über die Zeit ab, obwohl die Dehnung konstant bleibt.
Beispiel: Gummiband auf feste Länge gedehnt – die Haltekraft lässt nach.
Kriechen:
Dehnung nimmt über die Zeit zu, obwohl die Spannung konstant bleibt.
Beispiel: Kunststoff mit hängender Last verlängert sich langsam.
Welche Versuche würden Sie durchführen, um zu prüfen, ob ein Material geschwindigkeitsabhängig ist.
Zugversuche mit verschiedenen Dehngeschwindigkeiten
Relaxationstests (Spannungsabfall über die Zeit bei konstanter Dehnung)
Kriechversuche (Dehnungszunahme bei konstanter Spannung)
Dynamisch-mechanische Analyse (DMA) (Frequenzabhängigkeit)
Welche Prinzipien der Materialtheorie kennen Sie?
Kausalität: Deformation/Temperatur gelten als Ursachen für alle auftretenden Variablen.
Determinismus: Aktuelle Spannungen hängen eindeutig von aktuellen Deformationen ab.
Lokale Wirkung: Spannungszustand in einem Punkt wird nur von unmittelbarer Umgebung beeinflusst.
Materielle Objektivität: Materialverhalten bleibt bei Wechsel des Bezugssystems (Rotation/Translation) invariant.
Materielle Symmetrie: Materialgesetze berücksichtigen Anisotropie oder Isotropie.
Äquipräsenz: Alle relevanten Variablen (z.B. mechanische und thermische) treten gemeinsam auf.
Was versteht man unter dem Prinzip der Äquipräsenz?
Für alle Materialfunktionen gilt derselbe Satz unabhängiger Variablen.
Einheitliche Einflussgrößen (z.B. Spannung, Energie, Entropie) in einem Materialmodell.
Was versteht man unter dem Prinzip des Determinismus?
Der aktuelle Spannungszustand eines Materials wird eindeutig von seiner Bewegungsgeschichte bestimmt.
Gleiche Belastungsgeschichte ⇒ gleiche Materialreaktion.
Welche Kriterien sind zu beachten, wenn ein Materialmodell für die Berechnung eines technischen Problems auszuwählen ist?
Deformationsgröße: kleine vs. große Verformungen (10%)
Zeit- oder Frequenzbereich: statische vs. dynamische Belastung
Materialsymmetrie: isotrop, anisotrop, Art der Anisotropie
Temperaturabhängigkeit: Thermoelastizität?
Materialklasse: Elastizität, Plastizität, Viskoelastizität, Viskoplastizität
Materialparameter: schon bekannt oder experimentell zu ermitteln?
Komplexität: Standardmodell oder neues Modell erforderlich?
Welches sind die unabhängigen Variablen, mit denen in der Thermoelastizität gearbeitet wird?
Verzerrungsmaß (z.B. Green-Lagrange-Verzerrungstensor) ?
Von außen vorgegeben:
Temperatur θ
Dehnung
Zeit
Welche wesentliche Ungleichung muss ein Materialmodell erfüllen, damit es thermodynamisch konsistent ist?
Clausius-Duhem-Ungleichung:
Sichert, dass die Entropieproduktion (zweiter Hauptsatz) nicht negativ ist
Aus welchen Gründen benötigt man Materialmodelle bzw. reichen die Kinematik und die Bilanzgleichungen nicht aus, um technische Bauteile zu berechnen?
Begründung:
Kinematik und Bilanzgleichungen stellen allgemeine physikalische Erhaltungssätze (Masse, Impuls, Energie) bereit.
Sie liefern jedoch keinen materialabhängigen Zusammenhang zwischen Deformation und Spannung.
Kinematik und Bilanzgleichung:
Materialmodelle (konstitutive Gleichungen) schließen diese Lücke, indem sie das spezifische Spannungs-Dehnungsverhalten beschreiben.
Sie integrieren experimentell bestimmte Parameter (z. B. Elastizitätsmodul, Fließgrenze, Viskosität).
Skizzieren und erläutern Sie das Fouriersche Wärmeleitgesetz!
Beschreibt Wärmeleitung in isotropen Stoffen.
λ (Wärmeleitfähigkeit) ≥ 0 und kann von Temperatur und Dichte abhängen.
Wärme fließt von höheren zu niedrigeren Temperaturen (negatives Vorzeichen)
Last changeda month ago
