Welche Darstellungen sind in der Tensorrechnung gebräuchlich?
Index- oder Koordinatenschreibweise
Symbolische Schreibweise
Wodurch zeichnet sich der euklidische Vektorraum aus?
Entfernungen und Beträge sind definiert
Skalarprodukt ist definiert
verschiedenste Koordinatensysteme können eingeführt werden
Welche zusätzliche Literatur ist Ihnen bekannt?
Mang / Hofstetter: Festigkeitslehre, 2008
De Boer: Vektor- und Tensorrechnung für Ingenieure, 1982
Altenbach / Altenbach: Einführung in die Kontinuumsmechanik, 1994
Welche mathematischen Objekte entsprechen Tensoren der Stufen null bis zwei?
Tensor nullter Stufe: Skalar
Tensor erster Stufe: Vektor
Tensor zweiter Stufe: Dyade
Was ist der Spannungstensor?
Der Spannungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe, der durch die Spannungsvektoren in drei zueinander senkrechten Schnitten festgelegt ist.
Wie ist das dyadische Produkt definiert?
Was besagt das Theorem von Cauchy?
Das Theorem von Cauchy formuliert einen Zusammenhang zwischen dem Spannungsvektor t für ein beliebig orientiertes Flächenelement und dem Spannungstensor 𝝈.
Es besagt, dass sich die Komponenten des Spannungsvektors für jede Schnittrichtung bestimmen lassen, wenn der Spannungstensor bekannt ist.
Was bewirkt das Hauptachsensystem?
Bei Bezug des Spannungstensors auf dieses Hauptachsensystem verschwinden die Schubspannungen und es ist lediglich die Diagonale besetzt. Diese Komponenten sind somit Hauptnormalspannungen bzw. ihnen zugeordnet die Hauptnormalspannungsrichtungen.
Was sind die Invarianten des Spannungstensors?
Die Invarianten des Spannungstensors sind unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems und ergeben sich aus dem charakteristischen Polynom des Spannungstensors.
Was beschreibt der hydrostatische Spannungszustand?
In jede Achsenrichtung wirkt die betragsmäßig gleiche Normalspannung.
Was bezweckt man mit der Zerlegung des Spannungstensors?
Der Kugeltensor beschreibt einen hydrostatischen Spannungszustand, dessen Betrag die mittlere Normalspannung ist. Ein hydrostatischer Spannungszustand erzeugt bei einem isotropen Körper keine Verformung.
Der Spannungsdeviator ist die Ursache der Verformung und dessen Invarianten führen auf die „von-Mises-Vergleichsspannungen“.
Wie verändern Divergenz und Gradient den Grad eines Tensors?
Divergenz: Grad eines Tensors wird um 1 verringert
Gradient: Grad eines Tensors wird um 1 erhöht
Was ist der materielle Deformationsgradient?
Er beschreibt die lokale Deformation und wird als Gradient der Feldfunktion Φ(𝑿) definiert.
Wie wird der Green-Lagrangsche-Verzerrungstensor, wie der linearisierte Greensche Verzerrungstensor bestimmt?
Was ist der Rotationstensor?
Aus dem antisymmetrischen Anteil des Verschiebungsgradienten entsteht der Rotationstensor zu:
Warum ist der materielle Deformationsgradient F kein geeignetes Verzerrungsmaß?
Er ist nicht invariant gegenüber Starrkörperbewegungen und kann somit nicht in einem Stoffgesetz verwendet werden.
Welche Verschiebungszustände werden betrachtet, um den Greenschen Verzerrungstensor mit dem Ingenieurdehnmaß zu vergleichen?
der einachsige Zugversuch
der einfache Scherversuch
Was versteht man unter einem Stoffgesetz?
Unter einem Stoffgesetz einer physikalischen Theorie versteht man die grundlegende Verknüpfung von zwei zugeordneten oder dualen, den Vorgang beschreibenden Feldgrößen.
Wodurch reduzieren sich die Konstanten des Elastizitätstensors auf die Lamé-Konstanten?
Symmetriebedingungen
Potenzialeigenschaften
Isotropieforderungen
Welche mechanischen Bilanzgleichungen existieren?
Massenbilanz
Impulsbilanz
Drehimpulsbilanz
Mechanische Energiebilanz
Was sind die weiteren thermodynamischen Ergänzungen zu den mechanischen Bilanzgleichungen?
1.HS der Thermodynamik: Erhalt der Gesamtenergie
2.HS der Thermodynamik: Art und Richtung der Energietransformation
Wie lauten die allgemeine und die lokale Massenbilanzgleichung?
für kleine Verzerrungen gilt F = 1 und rho = rho_null
Geben Sie ein Beispiel für den ebenen Spannungs- und Verzerrungszustand an!
Ebener Spannungszustand: → Beispiel: Dünnes Blech, das nur in der Ebene belastet wird (z. B. durch eine Zug- oder Druckkraft in der 1-2-Ebene).
Ebener Verzerrungszustand: → Beispiel: Schmaler Streifen eines Damms, der sich in Dickenrichtung nicht verformen kann.
Nennen Sie die allgemeine und die lokale Form der Impulsbilanz!
Welche Gleichungen gilt es in der linearen Elastizitätstheorie zu lösen?
3 Gleichungen aus dem Gleichgewicht
6 Gleichungen aus der Kinematik
6 Gleichungen aus dem Stoffgesetz
Nennen Sie die drei Arten der Randwertprobleme der linearen Elastizitätstheorie!
Mit Hilfe welcher Gleichungen können die speziellen Lösungen der Elastizitätstheorie gewonnen werden?
Lamé-Navier-Gleichungen
Beltrami-Michell-Gleichungen
Was besagt das de-Saint-Venantsche Prinzip?
Die Verwölbung, also die Verschiebung in Richtung der Stabachse, ist unabhängig von x1; der Koordinate in Stabachsenrichtung.
Was ist das Prinzip der virtuellen Verschiebungen?
Beim PdvV wird die lokale Impulsbilanz skalar mit dem Vektorfeld multipliziert und dieses Produkt über ein Volumen B integriert. Diese „schwache Form des Gleichgewichts“ wird so genannt, da die Spannungen nicht als Ableitungen auftreten.
Welche Bedingungen müssen die Ansatzfunktionen erfüllen?
Randbedingungen einhalten
Übergangsbedingungen zwischen den Elementen erfüllen (Stetigkeit)
Nennen Sie die Überbegriffe für 8- bzw. 9-Knoten-Elemente!
8-Knoten-Elemente: Serendipity-Familie
9-Knoten-Elemente: Lagrange-Familie
Welche Möglichkeiten gibt es, um eine genauere FEM-Berechnung bei Scheibentragwerken zu erreichen?
feinere Unterteilung der zu untersuchenden Struktur
statt linearem Verschiebungsansatz einen höherwertigen wählen
Verbesserung der Auswertung, um aufrauende Wirkung der Differentiation zu vermeiden
Nennen Sie die Anforderungen an Finite-Elemente-Formulierungen.
Stetigkeit des Verschiebungsansatzes
exakte Darstellbarkeit von Starrkörperverschiebungszuständen
exakte Darstellbarkeit von konstanten Verzerrungszuständen
positive Definitheit der Steifigkeitsmatrix
Was sind Starrkörperverschiebungszustände?
Dies sind Verschiebungszustände, die das Element als starrer Körper auszuführen in der Lage sein muss, ohne dass in ihm Spannungen entstehen. Beispielsweise die translatorische oder rotatorische Bewegung eines zweidimensionalen Scheibenelementes.
Zeichnen Sie die drei üblichen Lagrangeschen quadratischen Interpolationspolynome!
Wovon hängt die Qualität der numerischen Integration im Intervall von a bis b ab?
Anzahl der Stützstellen
deren Lage
Was ist der Unterschied zwischen der Newton-Cotes- bzw. der Gauß-Quadratur!
Newton-Cotes verwendet n+1 äquidistante Stützstellen um ein Polynom n-ter Ordnung exakt zu integrieren.
Gauß verwendet n nicht-äquidistante Stützstellen, um ein Polynom (2n-1)-ter Ordnung exakt zu integrieren. Die Genauigkeit wird mittels Optimierung der Abstände erhöht.
Was bewirkt die reduzierte Integration?
einsparung von Rechenzeit
bessere Erfassung des wahren Strukturverhaltens
Bei exakter FEM-Berechnung wird die Steifigkeit eines Tragwerks überschätzt. Die reduzierte Integration kompensiert dies im Idealfall.
Zeichnen Sie die schematische Darstellung des Spannungstensors!
Verdeutlichen Sie das Theorem von Cauchy anhand einer Skizze!
Skizzieren Sie die drei Fälle der Normalspannungen!
Zeigen Sie in einer Darstellung den Zusammenhang zwischen Ausgangs- und Momentankonfiguration eines Körpers!
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