Was besagt das Theorem von Cauchy? Geben Sie die rechnerische Formel an und bezeichnen Sie die dort auftretenden Größen.
Das Theorem von Cauchy formuliert einen Zusammenhang zwischen dem Spannungsvektor t für ein beliebig orientiertes Flächenelement und dem Spannungstensor 𝝈.
Es besagt, dass sich die Komponenten des Spannungsvektors für jede Schnittrichtung bestimmen lassen, wenn der Spannungstensor bekannt ist.
Was bedeutet der Begriff „Isotropie“ in der Kontinuumsmechanik?
Das Materialverhalten ist richtungsunabhängig.
Eine Probe reagiert bei Belastung gleich, egal in welche Richtung die Last wirkt.
Was versteht man unter dem Begriff „Diskretisierung“ in der Finite Elemente Methode?
Diskretisierung bedeutet die Aufteilung eines kontinuierlichen Körpers in eine endliche Anzahl kleiner Teilgebiete, sogenannte Finite Elemente.
Wie lautet im dreidimensionalen Fall das Hookesche Gesetz für linear-elastisches, isotropes Materialverhalten unter reiner Schubbelastung?
Erläutern Sie den Begriff „Invarianten des Spannungstensors“! Wofür werden sie verwendet?
Die Invarianten des Spannungstensors sind skalare Größen, die sich bei Koordinatentransformationen nicht ändern. Sie beschreiben den Spannungszustand unabhängig vom Koordinatensystem.
Sie werden zur Berechnung der Hauptspannungen benötigt.
Wie werden die Hauptspannungen des Spannungstensors berechnet?
Welche Stufe und wie viele Elastizitätskonstanten hat im Allgemeinen der Elastizitätssensor?
Durch welche Eigenschaft, Bedingung und Forderung kann die Zahl der Elastizitätskonstanten auf 2 reduziert werden? Geben Sie dabei jeweils die reduzierte Anzahl von Konstanten an.
Tensor 4. Stufe mit 3^4 = 81 unabhängigen Elastizitätskonstanten
Reduktion auf zwei unabhängige Konstanten durch:
Symmetriebedingungen des Spannungs- und Verzerrungstensors (von 81 auf 36 Konstanten)
Potentialeigenschaften (von 36 auf 21 Konstanten)
isotropes Materialverhalten, Materialsymmetrien (von 21 auf 2 Konstanten)
Welche Vorteile bieten isoparametrische Finite Elemente? Beschreiben Sie mit wenigen Stichpunkten den Ansatz des Konzepts.
Vorteile:
Stetigkeitsanforderungen sind nicht nur in den Knoten, sondern auch den Elementkanten erfüllt
Integration der Elementmatrizen ist im Bildbereich einfacher (wenn Elementgrenzen im Originalbereich nicht parallel zu den Koordinatenachsen)
Konzept:
für die Koordinatendarstellung und für den Verschiebungsansatz werden die selebn Formfunktionen verwendet
Welche Bedingungen werden benötigt, um aus den sechs unabhängigen Verzerrungen durch Integration eindeutig die drei Verschiebungen zu ermitteln?
Um wie viele Gleichungen handelt es sich dabei?
Integrabilitätsbedingungen (auch: Kompatibilitäts- bzw. Verträglichkeitsbedingungen)
System aus drei Gleichungen
Geben Sie den Spannungstensor für den Fall eines hydrostatischen Spannungszustands an. Wie lautet die mittlere Normalspannung, der Kugeltensor und der Deviator des Spannungstensors?
Wie viele Gauß-Integrationspunkte sind bei isoparametrischen Elementen mit 1.) 2x2 und 2.) 3x3 Knoten erforderlich?
Kennzeichnen Sie in einer Skizze für den Fall 1.) die ungefähren Stellen der Quadraturpunkte.
2x2 Knoten: 2x2 Gauß-Integrationspunkte (also insgesamt 4 Integrationspunkte)
3x3 Knoten: 3x3 Gauß-Integrationspunkte (also insgesamt 9 Integrationspunkte)
Skizze:
Welche Abmessungen (Anzahl der Zeilen und Spalten) hat die Steifigkeitsmatrix eines 4-, 8- und 9-Knoten-Scheibenelements?
4-Knoten: 8x8
8-Knoten: 16x16
9-Knoten: 18x18
Gegeben sei das Vektorfeld v(x). Wie sind die Operatoren div(v), grad(v) und rot(v) bei Anwendung auf das Vektorfeld definiert?
Welchen Einfluss haben die Operatoren auf die Stufe eines Tensors?
div(v)=∇ * v(x): reduziert Stufe des Tensors um 1
grad(v)=∇v(x): erhöht die Stufe des Tensors um 1
rot(v)=∇ x v(x):Stufe des Tensors bleibt gleich
Welche Eigenschaften besitzen Invarianten?
reell
unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem
Nennen Sie die Grundgleichungen und die darin enthaltenen Feldgrößen der Elastizitätstheorie.
Gleichgewicht: Verschiebungen (3 Gleichungen)
Kinematik: Verzerrungen (6 Gleichungen)
Stoffgesetz: Spannungen (6 Gleichungen)
Ergebnis: 15 Gleichungen, 15 Unbekannte
Nennen Sie zwei Lösungsansätze für analytische Lösungen in der Elastizitätstheorie.
Lame-Navier’sche Gleichungen
Beltrami-Michellschen-Gleichungen
Formulieren Sie zwei Bedingungen, welche die drei Basistensoren e_i (i=1, 2, 3) einer kartesischen Basis erfüllen muss.
orthogonal zueinander
auf 1 normiert
Nennen Sie drei Eigenschaften der virtuellen Verschiebungen.
verwendetes Vektorfeld:
ist beliebig
stetig differenzierbar
infinitesimale Größe
muss geometrische Randbedingungen erfüllen
Was ist über die Komponenten des Verzerrungstensors Eij bei einem ebenen Verzerrungszustands in der 1-2-Ebene bekannt?
Warum ist der materielle Deformationsgradient F nicht als Verzerrungsmaß für ein Stoffgesetz geeignet?
Grund: Der materielle Deformationsgradient F enthält neben der eigentlichen Verzerrung auch Starrkörperverschiebungen.
Problem: Starrkörperbewegungen verursachen keine Spannungen, sollten also nicht in einem Verzerrungsmaß enthalten sein.
Lösung: Stattdessen wird der Green'sche Verzerrungstensor verwendet, der nur die Formänderung beschreibt.
Wie viele unabhängige Komponenten haben folgende Tensoren der linearen Elastizitätstheorie jeweils: Verschiebungstensor u, Verzerrungstensor E und Spannungstensor σ?
Verschiebungstensor u: 3 Komponenten
Verzerrungstensor E: 6 Komponenten
Spannungstensor σ: 6 Komponenten
Bei der Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen verwendet man die Matrizen N, B, K, u und f. Was beinhalten diese jeweils?
N: Matrix der Formfunktionen, mit deren Hilfe das Verschiebungsfeld approximiert wird
B: Ableitungen der Formfunktionen zur Berechnung der Verzerrungen
K: Steifigkeitsmatrix
u: Knotenverschiebung
f: Systemlastvektor
Zeigen Sie mit Hilfe der Komponenten-Basis-Notation, dass folgende Identität gilt:
Geben Sie das Prinzip der virtuellen Verschiebungen in seiner allgemeinen Form an und benennen Sie die darin enthaltenen Anteile?
Nennen Sie zwei Methoden, mit deren Hilfe die Ergebnisse einer FE Berechnung verbessert werden können!
Gitterverfeinerung (h-Refinement): Erhöhung der Elementanzahl.
Höhere Ansatzfunktionen (p-Refinement): Nutzung höherer Polynome.
Geben Sie das verallgemeinerte Hooke’sche Gesetz in Tensornotation an!
Welche Aussage können Sie über die Spannungs- und Verzerrungskomponenten in Dickenrichtung machen?
Ebener Spannungszustand:
In Dickenrichtung (σ33) gibt es keine Spannungen: σ33=0.
Die Verzerrung (ε33) ergibt sich aus den Dehnungen in der 1-2-Ebene durch die Querkontraktion.
Ebener Verzerrungszustand:
In Dickenrichtung gibt es keine Verzerrungen: ε33=0.
Die Spannung σ33 ist jedoch nicht notwendigerweise null und kann aus dem Stoffgesetz berechnet werden
Geben Sie das daraus resultierende zwei-dimensionale Stoffgesetz an! Welche Modellannahme machen Sie dabei?
Geben Sie die Bestimmungsgleichungen der Spannungen und Verzerrungen in Dickenrichtung an!
Was verändert sich im Falle eines biaxialen Zugversuchs an der zugrunde gelegten Modellannahme?
Änderung der Modellannahme im biaxialen Zugversuch:
Im biaxialen Zugversuch wirken Zugspannungen in zwei Richtungen σ11≠0, σ22≠0 aber keine Schubspannungen (σ12=0).
Die Annahme eines ebenen Spannungs- oder Verzerrungszustands (ESZ oder EVZ) ist nicht mehr gültig, da auch eine Spannung bzw. Verzerrung in Dickenrichtung (σ33 oder ε33) auftreten kann.
Es muss ein dreidimensionales Materialmodell verwendet werden, um die Effekte in Dickenrichtung zu berücksichtigen.
Wie lautet die Grundgleichung der FEM für statische Berechnungen und aus welchem Prinzip wird dies hergeleitet? Wie unterscheiden sich die beiden Formulierungen?
Wie viele Ansatzfunktionen müssen für ein Scheibenelement mit n Knoten aufgestellt werden? Stellen Sie die Ansatzfunktionen für ein 4-Knoten-Scheibenelement jeweils einzeln grafisch dar!
Anzahl der Ansatzfunktionen: Für ein Scheibenelement mit n Knoten werden n Ansatzfunktionen benötigt. Jede Ansatzfunktion gehört zu einem Knoten und beschreibt die Verschiebung innerhalb des Elements.
Ansatzfunktionen für ein 4-Knoten-Scheibenelement: Die Ansatzfunktionen für ein 4-Knoten-Element basieren auf einem natürlichen Koordinatensystem, in dem jede Funktion am zugehörigen Knoten den Wert 1 und an den anderen Knoten den Wert 0 annimmt.
Was versteht man unter Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen?
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