Was ist ein Bravais Gitter und wieviele gibt es?
Regelmäßiges, unendlich wiederholtes Punktmuster im Raum. Definiert die Positionen, an denen Atome im Kristall sitzen. Bildet das Gerüst der Kristallstruktur. Es gibt hier für 14 Möglichkeiten.
Was ist die Basis (Motiv)?
Die Anordnung von Atomen oder Molekülen an jedem Gitterpunkt. Zusammen mit dem Bravais-Gitter bestimmt sie die vollständige Kristallstruktur. Basis = „Bausteine“, Gitter = „Gerüst“.
Achtung!!!: ein Punkt ist nicht unbedingt ein Atom sondern kann auch eine Gruppe sein
Motiv und Basis beschreiben das gleiche!!
Gittervibrationen in Feststoffen
Gittervibrationen lassen sich durch die Hamilton-Mechanik beschreiben
Gittervibrationen können bei unterschiedlichen Frequenzen unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten haben
Gittervibrationen tragen zur Wärmeübertragung in Feststoffen bei
Gittervibrationen beeinflussen die Schallübertragung
Gittervibrationen sind nicht die Hauptursache für die elektrische Leitfähigkeit von Metallen
Dispersionsrelation ω(k) — was beschreibt sie?
Die Abhängigkeit ω(k) heißt Dispersionsrelation
ω(k) beschreibt den Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz & Wellenzahl
ω(k) kann mehrere Zweige haben (nicht unbedingt eins-zu-eins)
ω(k) muss nicht für alle k reell oder überall definiert sein (in gedämpften Systemen kann ω(k) komplex sein)
Die Aussage „|ω(k)|² ≤ 1 für alle k“ ist nicht allgemein gültig
Hamiltonfunktion — was sagt sie aus?
Die Hamiltonfunktion beschreibt die Dynamik eines klassischen Systems (Entwicklung in Raum & Zeit)
Die Hamiltonfunktion enthält Informationen über kinetische & potentielle Energie
Die Hamiltonfunktion hängt vom Potential des Systems ab
Die Hamiltonfunktion kann zur Herleitung der Bewegungsgleichungen benutzt werden
Die Hamiltonfunktion ist zur Beschreibung von Mehrkörperproblemen anwendbar
Feder-Masse-Anordnung — Zuordnung akustischer/optischer Zweig?
In der dargestellten Feder-Masse-Anordnung ist die Frequenz in (a) am größten
Bei (b) & (d) ist die Wellenzahl gleich groß
Die Frequenz in (c) liegt auf dem akustischen Zweig
Die Frequenz in (d) liegt auf dem optischen Zweig
Beugung, Compton, Photoeffekt — Welle oder Teilchen?
Beugung elektromagnetischer Strahlung an einem Kristall lässt sich durch Welleneigenschaften erklären
Der Compton-Effekt erfordert die Teilchen/Quanten-Betrachtung (Wellenbeschreibung allein reicht nicht)
Der Photoeffekt erfordert die Teilchen/Quanten-Betrachtung
Interferenz zweier kohärenter Strahlen lässt sich durch Wellenbeschreibung erklären
Welle-Teilchen-Dualismus — gilt er allgemein?
Der Welle-Teilchen-Dualismus gilt für Fermionen & Bosonen
Elektronen lassen sich in Bewegung eine Wellenlänge zuordnen (de Broglie)
Licht hat neben Welleneigenschaften auch Teilchencharakter (Photonen)
Der Dualismus gilt nicht nur für viele identische Teilchen oder nur für masselose Teilchen
Der Impuls eines Photons hängt von seiner Wellenlänge (p = h/λ)
Potentialtopf mit unendlichen Wänden — Eigenschaften?
Im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an den Wänden null
Es gibt unendlich viele Eigenzustände
Die Anzahl der Nullstellen der Wellenfunktion steigt mit der Energie (höhere Zustände haben mehr Knoten)
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist zustandsabhängig (nicht immer in der Mitte maximal)
Teilchen können in Superpositionen mehrerer Energiezustände sein
Ein Teilchen mit endlicher Energie kann einen unendlichen Potentialtopf nicht verlassen
Quadratisches Potential / Harmonischer Oszillator — Eigenschaften?
Ein quadratisches Potential approximiert lokal jedes Potential um ein Minimum
Ein quadratisches Potential ist in klassischer & quantenmechanischer Beschreibung anwendbar
Der quantenmechanische harmonische Oszillator hat keine Energie Null (Nullpunktsenergie existiert)
Die Energiezustände des harmonischen Oszillators sind äquidistant
Wasserstoffatom — Quantenzahlen & Energie?
Im Wasserstoffatom gibt es Energendegenerationen (nicht alle Zustände haben unterschiedliche Energie)
Die Hauptquantenzahl n charakterisiert die Energie der Zustände
Die Quantenzahl ℓ beschreibt den Bahndrehimpuls (Betrag), m die Projektion auf z
Das Coulomb-Potential skaliert ~1/r
Vergleich Energiespektren — harmonisch vs. Kasten vs. Wasserstoff?
Im harmonischen (parabolischen) Potential sind die Energieabstände konstant (äquidistant)
Im unendlichen Potentialtopf wachsen die Energien mit En ∝ n² (Abstände wachsen)
Im Wasserstoffatom nehmen die Energieabstände mit steigender Energie ab
In periodischen Potentialen entstehen Energiebandstrukturen
Impulsoperator — Eigenschaften & Eigenfunktionen?
Der Impulsoperator p̂ = −iℏ ∂/∂x kommutiert mit dem Hamiltonoperator eines freien Teilchens
Für Ψ(x)=e^{ikx} ist der Impuls-Eigenwert ℏk
Impuls & Ort können nicht gleichzeitig scharf gemessen werden (Unschärferelation)
Der Impulsoperator repräsentiert eine messbare Observable
Kommutator [Â,Ĥ]=0 — Folgen?
Wenn [Â,Ĥ]=0, dann haben  & Ĥ gemeinsame Eigenfunktionen (gemeinsame Eigenbasis möglich)
Wenn [Â,Ĥ]=0, können  & Ĥ gleichzeitig scharf gemessen werden
Wenn [Â,Ĥ]=0 und  keine explizite Zeitabhängigkeit hat, dann ist der Erwartungswert ⟨Â⟩ zeitunabhängig
Ohne die Zusatzbedingung (keine explizite Zeitabhängigkeit) ist die Zeitunabhängigkeit von ⟨Â⟩ nicht allgemein garantiert
Linearkombinationen von Eigenfunktionen — Lösungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung?
Sind φ1,φ2 Eigenfunktionen des zeitunabhängigen Hamiltonoperators mit E1,E2, dann sind φ1(x)e^{−iE1t/ℏ} & φ2(x)e^{−iE2t/ℏ} Lösungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung
Linearkombinationen dieser zeitabhängigen Lösungen sind ebenfalls Lösungen
Skalare Vielfache einer Lösung bleiben Lösungen
E1 & E2 sind mögliche Messergebnisse der Observable Energie
Interpretation einer gegebenen Wellenfunktion — Anzahl Teilchen & Charakter?
Die angegebene Wellenfunktion beschreibt einen einzelnen Teilchenzustand (nicht drei Teilchen)
Die Funktion zeigt Wellen- & Teilchencharakter (Interferenz & Wahrscheinlichkeitsinterpretation)
Für die gegebenen Koeffizienten ergibt sich eine Verteilung der Bewegungsrichtungen (z.B. merkliche Wahrscheinlichkeit für −x-Richtung)
Die Funktion beschreibt nicht zwingend einen Zustand in einem unendlichen Potentialtopf ohne weitere Bedingungen
Kristallstruktur — Bravais-Gitter, Basis, Wigner-Seitz?
Die dargestellte Struktur lässt sich als Bravais-Gitter mit mehratomiger Basis beschreiben
Der grau hinterlegte Bereich ist eine Wigner-Seitz-Einheitszelle
Ein Motiv (Basis) kann aus unterschiedlichen Atomen bestehen
Periodizität ist charakteristisch für ein Bravais-Gitter
Banddiagramm — was kann man ablesen?
Aus einem Banddiagramm kann man verbotene & erlaubte Energieeigenwerte ablesen
Die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich aus der Steigung der Dispersionsrelation
Die effektive Masse lässt sich aus der Krümmung der Dispersionsrelation bestimmen
Aus dem Banddiagramm lässt sich die Größe der Bandlücke abschätzen
Das Banddiagramm gibt keinen genauen Aufenthaltsort einzelner Elektronen
Bandlücke — Wirkung & Messbarkeit?
Bei T=0K führt eine Bandlücke dazu, dass ein idealer Halbleiter kein Leitvermögen zeigt (isolierend)
Die Bandlücke lässt sich experimentell bestimmen ohne Kenntnis der Atommasse
Die Bandlücke ist nicht automatisch größer, nur weil die Atome schwerer sind
Die Bandlücke ist nicht zwangsläufig null am Rand der ersten Brillouin-Zone
Spin — Eigenschaften & Quantisierung?
Spin s ist eine intrinsische, teilchenspezifische Eigenschaft (nicht vom Energiezustand abhängig)
Die z-Komponente m_s nimmt diskrete Werte m_s = −s,…,s an
Die Komponenten S_x,S_y,S_z kommutieren nicht (nicht simultan diagonaliserbar)
Das Elektron hat s = 1/2
Fermionen vs. Bosonen — Statistik & Konsequenzen?
Fermionen haben antisymmetrische Gesamtwellenfunktionen (Tauschen ändert Vorzeichen)
Fermionen unterliegen dem Pauli-Ausschlussprinzip (nicht zwei Fermionen im selben Quantenzustand)
Photonen sind Bosonen (nicht Fermionen)
Bosonen können sich im selben Quantenzustand ansammeln (Bose-Einstein-Statistik)
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