Inhalte Im Bildungsplan
Klasse 1/2
3.1.1.1 Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen
Ordinal und Kardinal (und andere Zahl-)Aspekt von Zahlen kennen und verstehen
Simultanerfassung von Mengen
Zahlzerlegungen und Zahlbeziehungen kennen
Stellenwertsystem kennen und nutzen
Arithmetische Muster erkennen, beschreiben und selbstentwickeln
3.1.1.2 Rechenoperationen verstehen und beherrschen
Grundvorstellungen zu den vier Grundrechenarten aufbauen und diese Nutzen um Aufgaben zu lösen und zwischen Darstellungsebenen Wechseln zu können
Startegien lernen wie, Umkehraufgaben, zerlegen, zusammensetzten, Hilfsaufgaben, Verändern und Tauschen
Grundaufgaben des 1 plus 1 und 1 mal 1 sowie Zahlzerlegungen automatisiert abrufen können
Ergebnisse durch schätzen einordnen
Muster erkennen, beschrieben verändern und entwickeln.
3.1.1.3 In Kontexten rechnen
Sachaufgaben lösen, eigene erfinden, verschiedene miteinander vergleichen
Zwischen der Sach- und Mathematikebene Übersetzten können.
Mathematsiche Inhalte darstellen, material zeichnungen…
Knobelaufgaben durch probieren lösen
Klasse 3/4
3.2.1.1 Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen
Stellenwert, verstehen, Nutzen und erklären können
Zahlen bis 1.000.000 Darstellen, Sprechen, Lesen Schreiben
Im Zahlenraum bis 1.000.000 sicher orientieren (Nachbarzahlen,..), Zahleigenschaften und Beziehungen erkennen
3.2.1.2 Rechenoperationen verstehen und beherrschen
Zusammenhänge der Operationen erkennen, Zwischen den Verschiedenen Darstellungsebenen übersetzen und mit Ihnen Rechnen.
Startegien nutzen wie, Umkehraufgaben, zerlegen, zusammensetzten, Hilfsaufgaben, Verändern und Tauschen, halbschriftlich
Rechenwege untersuchen, vergleichen, beschreiben und bewerten
Fehler finden und Korrigieren
Schriftliche Verfahren anwenden
Plausabilität von Ergebnissen abschätzen können
Muster erkenenen, beschreiben, fortsetzen, entwicklen, verändern
3.2.1.3 Rechenoperationen in Kontexten anwenden
Sachaufgaben strukturieren, variieren, lösen, selbst finden, erstellen,
Ergebnisse schätzen und bedeutung des genauen Ergebnisses einordnen
Hilfsmittel zur lösung nutzen, zb. Zeichnungen, Tabellen…
Zwischen Darstellungen übersetzten
Kombinatorik und Knobel Aufgaben lösen
Grundvorstellungen
= die Übersetzungsleistung zwischen Zeichen und Beduetung
Es gibt Grundvorstellungen zu Zahlen, Operationen und Strategien
Man unterscheidet Normative und Deskriptive Grundvorstellungen
Normativ: Aus Sicht der Sache (wie es wirklich ist)
Deskriptiv: Aus Sicht der Lernenden (Vorstellung einer Person zur Sache)
Grundvorstellungen werden benötigt um Zwischen darstellungsebenen (Handlungen, Bildern, Reale Sizuationen, mathematische Symbole (geschrieben und gesprochen)) zu übersetzten
Hierfür gibt es verschiedene Konzepte wie das Eis prinzip (Enaktiv(handelnd), ikonisch und Symbolisch) die diese Überstezung verdeutlichen
Zahlaspekte
Kardinalaspekt: Zahlen beschreiben die Mächtigkeit/ einer Menge
Ordinalaspekt: Zahlen beschreiben die Position einer geordenet Reihe
Maßzahlaspekt: Zahlen quantifizieren eine Größe mit hilf einer Einheit
Operationsaskpekt: Zahlen bezeichnen die Vielfachheit eines Vorgangs
Codierungsaspekt: Zahlen Kennzeichnen und Unterscheiden Dinge
Rechenaspekt: Zahlen können zum Rechnen verwendet werden
Geometrischer Aspekt: Zahlen können objekte beschreiben
Narrativer Aspekt: Zahlen können Spirituelle Bedeutungen bekommen
Relationaler Aspekt:
Kinder kennen Ziffern bevor sie sie schreiben können. Es muss nicht gewartet werden bis sie sie schreiben können um mit Ihnen zu arbieten.
Die 5 Zählprinzipien
Eins-zu-Eins-Prinzip: Jeder gegenstand genau ein Zahlwort
Kardinalprinzip: die zuletzt benutzte Zahl im Zählprozess gibt die Anzahl der Elemente an
Prinzip der Stabilen reihenfolge: Zahlwörter haben eine feste Reihenfolge
Prinzip der beliebigkeit der Abzählfolge: Menge ändert sich nicht egal mit welchem element begonnen wird
Abstraktionsprinzip: Alle Elemente können zu Mengen zusammen gefasst werden
Am Schulbeginn können 77-90% der Kinder bis 20 Zählen. Aber nur 72% können von 9 weiter Zählen und nur 49-75% können eine Eins-zu-Eins zuordnung vornehmen beim Zählen.
Anzahlbestimmung
Es gibt drei Arten von Mengenwahrnehmung: Einzelne Elemente, als Ganzes oder in Teilstrukturen
Zählstrategien können bei allen drei angewendet werden
Nichtzählende (rechen-)Strategien bei Teilstrukturen ( Verdoppeln, Kraft der 5, Zusammenfügen zerlegen,….)
Knownfacts bei der anzahl bestimmung als Ganzes
Kinder fangen oft Zählend an und sollen durch gezielte eigene Erfahrungen mit dem Strukturieren lernen teilstrukturen zu erkennen und zur Anzahl bestimmung zu nutzen.
Hierbei Spielt die Zahlzerlegung eine Große Rolle. Sie wird später zum rechenen gebrauchst. Lernen über das Wlan-Prinzip (Welche?, Lernen, Automatisieren, Nutzen)
Addition und Subtraktion
Situtaionstypen
Verändern: Dynamisch, Darstellung mit einer Menge, etwas dazu oder weg Leicht: Ergebnis unbekannt Schwer: Veränderung o. Ausgangspunkt unbekannt
Verbinden: Statisch, Darstellung mit einer Menge, Teilmengen werden verbunden Leicht: Vereinigung unbekannt Schwer: Teilmenge unbekannt
Vergleichen: Statisch, Darstellung mit 2 Mengen, Mengen werden verglichen Generell schwieriges Aufgabenkonzept, besonders wenn Unterschied und Ausgangsgröße unbekannt sind
Ausgleichen: Dynamisch, Darstellung mit 2 mengen etwas dazu oder weg Generell am einfachsten, werden am besten gelöst
Grundvorstellungen zur Addition und Subtraktion
Addition: Hinzufügen (dynamisch), Zusammenfassen (Statisch)
Subtraktion: Wegnehmen (dynamisch), Ergänzen (dynamisch), Teilmengenbestimmung (statisch), Unterschiedsbestimmung (statisch)
Operative Strategien zur Addtion und Subtraktion
Schrittweise (sequenziell), man braucht: Assoziativgesetzt, Zahlzerlegungen, Rolle der 10
Hilfsaufgaben (sequenziell), man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Stellenwertverständnis
Verdoppeln/halbieren, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, verd. Halb. aufgaben bis 20
Gleich/-gegensinniges verändern, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Konstanz der Differenz
Zerlegen, man braucht: Assoziativgesetz, Zahlzerlegung, Stellenwertverständnis
Stellenwertverständnis
Bündeln zur Einführung ins Stellenwertsystem
Bündel im Positionssystem stellen
Bedeutung der zahl null wird klar um leere Position zu kennzeichnen
Arbeitsmittel: MSB, Stellenwerttafel
Fehler verhindern durch sicheres Identifizieren der Stelle auf jeder Repräsentationsebene
Grundvorstellungen zur Multiplikation
Wiederholte Addition
Zeitlich-sukzessiver Aspekt (dynamisch): eine Handlung wird mehrmals wiederholt
Räumlich-simultaner Aspekt (statisch): Zusammenfassen gleichmächtiger Mengen
Kombinatorischer Aspekt: Alle möglichen Kombinationen zwischen den Elementen zweier mengen
Grundvorstellungen für Division
Verteilen: Anzahl der Bündel ist bekannt, Anzahl der Elemente in den Bündeln wird gesucht
Aufteilen: Anzahl der Elemente in den Bündeln ist bekannt, Anzahl der Bündel wird gesucht.
Gründe für eine schnelle Verknüpfung von Multiplikation und Division
Mathematischer Aspekt: Die Multiplikation und die Division sind Umkehroperationen
Didaktischer Aspekt: Zusammenhänge und Beziehungen sollen genutzt werden um Grundvorstellungen flexibel anwenden zu können
Pragmatischer Aspekt: Schnelleres Automatisieren der Zahlentriplets
Kernaufgabensystem der Multiplikation
Einer, Zweier, Fünfer, Zehner, und Quadratzahlen, (Lieblingsaufgaben)
Tauschaufgaben
Nachbaraufgaben
Hilfsaufgaben
Verdoppeln/halbieren
Startegien zum Multiplizieren/Dividieren von großen Zahlen
Schriftlich
Stellenweise (malkreuz)
Schrittweise
Gegenseitiges verändern
Ikonisch
Schriftliches rechnen.
Kann Kinder blind machen für andere Verfahren
Insgesamt 5 Verfahren schriftlich zu Subtrahieren: Abziehen (a-b=x), Ergänzen (a+x=b), Entbündeln, Erweitern, Auffüllen
Fachliche Lernentwicklung Klasse 1
Zählen vorwärts und rückwärts im Zahlenraum bis 20
Zahlbilder und Simultanerfassung (z. B. Würfelbilder, Fingerbilder)
Zahlen ordnen, Nachbarzahlen erkennen, Vorgänger und Nachfolger
Zahlzerlegung bis 10 → spielerisch und mit Material
Einführung in das Stellenwertsystem: Einer und Zehner (z. B. mit Zehnerstangen, Plättchen)
Erste Zahlbeziehungen: größer/kleiner/gleich, gerade – ungerade
Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 20 mit Handlung, Bild und Symbol
Tausch- und Umkehraufgaben im ZR 10 verstehen
Erste Rechenstrategien: Zerlegen, Verdoppeln, Nachbaraufgaben, Hilfsaufgaben
Sachaufgaben verstehen, lösen und eigene Rechengeschichten erfinden
Fachliche Lernentwicklung Klasse 2
Stellenwertverständnis: Einer, Zehner, Bündelung (auch Entbündeln)
Plus und Minus im ZR 100 – halbschriftliche Verfahren erproben
Einführung in das 1×1 (Multiplikation als wiederholte Addition)
Einfache Division mit Material (Aufteilen/Verteilen)
Strategien anwenden, vergleichen, beschreiben
Rechengeschichten erfinden, Sachaufgaben lösen
Erste Knobelaufgaben, Muster entdecken und selbst gestalten
Fachliche Lernentwicklung Klasse 3
Stellenwertsystem erweitern: Hunderter, Tausender
Zahldarstellungen: Stellenwerttafel, Zahlenstrahl, Zahldarstellungen
Orientierung im ZR 1.000, Runden auf Zehner, Hunderter etc.
Wiederholung & Sicherung des kleinen 1×1
Aufbau der schriftlichen Addition und Subtraktion
Multiplikation mit größeren Zahlen: Verdoppeln, Verteilen, Zerlegen
Division mit Rest, einfache schriftliche Division
Rechenstrategien vergleichen, begründen, bewerten
Kommutativgesetz, Distributivgesetz verstehen und anwenden
Sachaufgaben mit Tabellen, Diagrammen lösen und darstellen
Fachliche Lernentwicklung Klasse 4
Stellenwertsystem bis 1.000.000
Rechenoperationen im ZR 1.000.000: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division (auch schriftlich)
Funktionale Zusammenhänge verstehen (z. B. Preis – Anzahl)
Sachaufgaben systematisch lösen, Lösungsschritte dokumentieren
Rechenoperationen kombinieren, gemischte Aufgabenformate
Knobel- und kombinatorische Aufgaben (z. B. Möglichkeiten zählen)
Umgang mit größeren Kontexten: Diagramme, Tabellen, Rechengeschichten
Anforderungen an gutes didaktisches Material
- Simultanerfassung von Anzahlen bis 4/5 sowie strukturierte Erfassung größerer Anzahlen.
- Lässt verschiedene Rechenwege zu.
- Unterstützt den kommunikativen und argumentativen Austausch über verschiedene Lösungswege.
- Fortsetzbarkeit bei der Zahlenraum Erweiterung.
- Vermeidet zählendes Rechnen.
- Merkmalsarm
- Ikonisch darstellbar
Zahlenstrahl
+ Veranschaulichung von Zahlen und Relationen
+ Anschauliche Darstellung von Rechenoperationen (Addition & Subtraktion)
+ Förderung des Zahlverständnisses
+ Unendlichkeit und negative Zahlen können dargestellt werden
+ Einfache Erweiterung auf Brüche und Dezimalzahlen
- Begrenzte Anwendung bei großen Zahlen
- Eingeschränkte Darstellung von abstrakten Konzepten (Multiplikation & Division)
- Platzbedarf
- Mögliche Verwirrung durch Negativzahlen
- Abhängigkeit vom räumlichen Vorstellungsvermögen
- begünstigt zählendes Rechnen
Rechenstrich
+ Rechenwege darstellen / dokumentieren, auch in Teilschritten → sehr anschaulich
ordinale Zahlvorstellung
+ schrittweise rechnen über 10/100er… gut möglich, ebenso Verdoppeln/ Halbieren und Hilfsaufgabe
+ Unterstützt dynamisches Denken
+ Nutzen und Nachdenken über Zahlbeziehungen
+ Aufgaben im großen Zahlenraum lösen & Analogien erkennen (verschiedene Zahlenräume)
+bietet Möglichkeit zum selbständigen Strukturieren und Darstellen
+ geeignet als Argumentations- und Kommunikationsanlass und Reflexion über Rechenweg
+ Geringer Schreibaufwand
- Nur für Addition und Subtraktion sinnvoll
- Stellenweise Rechnen kann nicht dargestellt werden
- Orientierung schwierig: Links - rechts und größer kleiner
- Rechnen am Rechenstrich muss explizit geübt werden und ist nicht selbstverständlich
(keine maßgetreue Anordnung der Zahlen)
- Strategien: Ergänzen, gegen- und gleichsinniges Verändern weniger sinnvoll am Rechenstrich
- bei zu vielen kleinen Schritten/Pfeilen wird die Darstellung unübersichtlich
Mehrsystemblöcke
+ Im Zahlenraum von 20 bis 1000 sinnvoll
+ gut geeignet für die Erweiterung des Zahlenraumes
+ Gut handhabbar
+ Man kann bündeln und entbündeln
+ ermöglicht die quasi-simultane Zahlerfassung über 5 hinaus
+ ermöglicht auch die Arbeit auf der ikonischen Ebene
- 5er Strukturierung fehlt
- Darstellung der Multiplikation und Division teilweise eher umständlich, da die Dezimalstruktur aufgelöst werden muss
Wendeplättchen
+ Darstellung als Menge
+ Teilmengenbildung
+ Zahlen zerlegen
+ Aufgabe als Handlung darstellen
- Größere Mengen können nicht mehr simultan/quasi-simultan erfasst werden
- Stufenweises Hinlegen und Abzählen
- Verfestigt zählendes Rechnen
- Unbrauchbar im ZR bis 100
Steckwürfel
+ Mengen abzählen
+ Muster legen
+ große Anzahlen ordnen
+ in Teilmengen bündeln
+ Multiplikationsaufgaben darstellen
- keine direkte Struktur → muss erst erzeugt werden
- kann zählendes Rechnen begünstigen
- nicht zu viele Farben verwenden
Perlenkette
+ wenn dann nur in kleinem Zahlenraum bis 10 sinnvoll
- Obere Kette keine Simultanerfassung von 5
- zählendes Rechnen verleitet
- Erweiterung wird unübersichtlich
- Unhandlich
Punktefeld
+ 5er 10er Struktur erkennbar
+ Malaufgaben sowie Divisionsaufgabe gut darstellbar
+ Tauschaufgabe der Multiplikation gut erkennbar
+ Hilfsaufgabe gut darstellbar bzw. erklärbar
- Nicht sinnvoll bei Additions und Subtraktionsaufgaben (ZE+-ZE)
- Begrenzt Fortsetzbar
- Verwirrung durch Ähnlichkeit zu 100er Feld
Rechenrahmen
+ im 100er Zahlenraum verwendbar
+ Über 4 Klassenstufen nutzbar
+ Kann einzelne Kugeln bewegen oder gebündelt
+ Kann Subtraktion und Addition darstellen
+ Kann Mengen teilen
+ Grundvorstellungen abziehen, ergänzen, hinzufügen, (zusammenfassen) darstellbar
+ Sieht 5 als Teilmenge
- Kann 10er Übergang nicht gut darstellen, unübersichtlich
- Grundvorstellung vergleichen nicht nachvollziehbar darstellbar
- Nicht gut um mit Zehnern zu rechnen zb 23+20 weil man da unnötiger weise die 20 in 7 und 13 aufteilen würde
Stellenwerttafel
+ Nutzung in allen Zahlbereichen möglich
+bündeln und entbündeln sehr gut darstellbar → wann Übertrag von Nöten ist, ist gut erkennbar
+ Thematisierung einer leeren Spalte -→ "0"
+ Fördert das Verständnis für das Stellenwertsystem
+ Nutzung von Repräsentanten -→ Plättchen oder Ziffern
+ verständnisbasierte Notation notwendig -→ GV
! Unterscheidung Sortiertafel!
- Rechenoperationen nur schriftlich möglich
- Nur für Addition und Subtraktion nützlich
Abaco
+ hilfreich für strukturierte Mengenerfassung
+ Schnell einstellbar, keine Einzelteile gehen verloren
+ 5er- & 10er-Struktur
+ Im 100er- Zahlenraum verwendbar
+ Zahlzerlegung darstellbar
+ Addition und Subtraktion darstellbar → erlaubt Handlungen, die operative Strategien des Rechnens im Zahlenraum bis 20 bzw. 100 entwickeln
+ quasi-simultane Zahlauffassungen und -darstellungen bis 20 bzw. 100 möglich
+ strukturgleiche Fortsetzung des Materials für das Rechnen im Zahlenraum bis 100 möglich
- Kugeln können nicht entfernt werden und somit immer sichtbar → verwirrend für Mengenerfassung
- Anschaffung als Klassensatz kostspielig - nicht in jeder Schule verfügbar
10er Feld/Streifen
+ Kraft der 5 (bei streifen mit Markierung)
+ fördert simultan Erfassung
+ fördert das strukturierte Zählen
- Tauschaufgaben können zwar dargestellt werden aber dabei geht die kraft der 5 oft verloren.
- begrenzter Zahlenraum
Schüttelboxen
+ fördert die Zahlzerlegung bis 10
+ motivierend durch spiel Charakter
+ leicht selbst herzustellen
- nicht tragbar über 10
- keine gezielte Zerlegung möglich
Malkreuz
+ Hilft ein Operationsverständnis für das stellenweise rechnen aufzubauen
+ klare strukturierte form
- lässt nur eine Strategie zu
- nur schriftlich
Cuisenaire- Stäbe
+ Zahlen können als länge erlebt werden
+ Additionen lassen sich darstellen
- Farbcodierung nicht sinnvoll. Zahlen haben keine Farben à sehr schlecht für Synestetiker
- Additionsaufgaben ergeben mit den Farben keinen sinn
Behutsame Ablösung von Material:
1. Phase: Handlung am geeigneten Material mit Versprachlichung.
2. Phase: Beschreiben der Materialhandlung mit Sicht auf Material.
3. Phase: Beschreiben der Materialhandlung ohne Sicht auf Material.
4. Phase: Beschreibung/Nutzung der Vorgestellten Handlung
Typische Fehlvorstellungen und was man tun kann.
Welche typischen Denkweisen oder Fehler treten auf?
- Kein Zahlverständnis
- Zahlzerlegungen nicht bekannt oder nur auf eine bestimmte fokussiert
- Verfestigtes Zählendes Rechnen
- Fehlendes Stellenwertverständnis
- Grundvorstellungsdefizite
Wie kann man produktiv damit umgehen?
- Durch aktive Handlungen am material fehlende bzw. fehlerhafte Grundvorstellungen neu aufbauen
- Handlungen sprachlich begleiten und so die mentale Verknüpfung fördern.
- Strategien verstehen und dann bewusst einsetzten
- Langsame Ablösung vom Material. Erst wenn mentales Bild gefestigt ist
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