3. AUSWERTUNGSMETHODEN ZWEIDIMENSIONALER DATEN

• zwei Merkmale

• möglichen Zusammenhang aufzudecken, dann bedienen wir uns der bivariaten Analyse. Man spricht auch davon, dass zweidimensionale Daten ausgewertet werden

• entscheidender Bedeutung, welches Skalenniveau

• zwei nominalskalierte Merkmale,

• zwei ordinalskalierte Merkmale

• zwei kardinalskalierte Merkmale und

• zwei verschieden skalierte Merkmale.

• zwei nominalskalierter Merkmale.

Ziel: herauszufinden, ob ein Zusammenhang zwischen diesen beiden  Merkmalen existiert. 

• zu untersuchenden Merkmale mit Aund Bbezeichnet. Diese beiden Merkmale können verschiedene Merkmalsausprägungen annehmen. Die Ausprägungen des Merkmals Awerden mit A1, A2, …, AI i = 1, …, I und die des Merkmals Bmit B1, B2, …, BJ j = 1, …, J gekennzeichnet. Das Merkmal Ahat demnach Iverschiedene und das Merkmal Bhat Jverschiedene Merkmalsausprägungen. Iund Jkönnen, müssen aber nicht identisch sein.

ni = Summe der absoluten Häufigkeiten der Zeile

nj = Summe der absoluten Häufigkeiten der Spalte

n = Gesamtanzahl der Involvierten Personen

Sowohl Merkmal Aals auch Merkmal Bbesitzen I = 2bzw. J = 2Merkmalsausprägungen. In welcher Reihenfolge man die Ausprägungen (erst weiblich und dann männlich oder umgekehrt) anordnet, ist unwichtig.

Das Ziel der bivariaten Analyse ist, die beiden Merkmale gemeinsam zu betrachten. Bei gemeinsamer Betrachtung ergeben sich I · J verschiedene Merkmalsausprägungen

Die Kontingenztabelle für  absolute Häufigkeiten bil-  det das Pendant zur Häu-  figkeitstabelle im univa-  riaten Fall

Der korrigierte Kontin-  genzkoeffizient quantifi-  ziert den Zusammenhang  zwischen zwei Merkma-  len, von denen mindes-  tens eins nominalskaliert  ist

Schritt 1 – Berechnung der erwarteten Häufigkeiten 

Schritt 2 – Berechnung der Abstände zwischen den absoluten und erwarteten Häufig-  keiten 

Schritt 3 – Berechnung des Kontingenzkoeffizienten 

Schritt 4 – Berechnung des korrigierten Kontingenzkoeffizienten

Der korrigierte Kontin-  genzkoeffizient quantifi-  ziert den Zusammenhang  zwischen zwei Merkma-  len, von denen mindes-  tens eins nominalskaliert  ist

Schritt 1 – Berechnung der erwarteten Häufigkeiten 

• erwarteten Häufigkeiten bzw. die absoluten  Häufigkeiten unter deskriptiver Unabhängigkeit bestimmt.

  • sind diejenigen absoluten  Häufigkeiten, für die die beiden Merkmale in keinerlei Zusammenhang stehen.

  • Es würde  bedeuten, dass der Anteil an Raucherinnen unter den Frauen exakt dem Anteil der Rau-  cher unter den Männern entspräche. Die erwartete Häufigkeit für die Merkmalsausprägun-  gen Ai und Bj wird mit nij bezeichnet und durch 

ni = Summe der absoluten Häufigkeiten der Zeile

nj = Summe der absoluten Häufigkeiten der Spalte

n = Gesamtanzahl der Involvierten Personen

Um zu zeigen, dass die beiden Merkmale in irgendeiner Form abhängig voneinander sind, muss für mindestens ein Paar Ai, Bj nij ≠ nij gelten.

 Schritt 2 – Berechnung der Abstände zwischen den absoluten und erwarteten Häufigkeiten

• wie weit die tatsächlichen absoluten Häufigkeiten  von den erwarteten entfernt sind

• Je weiter also die tatsächlichen von den erwarteten  Häufigkeiten entfernt sind, desto stärker muss der Zusammenhang in der vorliegenden  Situation sein.

 Entfernung

• wird also die erwartete  Häufigkeit von der absoluten abgezogen.

• Differenz wird quadriert, da einige  Abstände negativ und andere positiv sein können, wodurch sie sich gegenseitig zu einer 0  aufheben könnten. Schließlich wird nochmals durch die erwartete Häufigkeit geteilt, um  die Relation der Abstände deutlich zu machen.

Besteht die Kontingenztabelle aus zwei Zeilen und zwei Spalten (beide Merkmale haben jeweils zwei Ausprägungen), so lässt sich χ2durch

• kann zwischen Null und Unendlich liegen

• Falls χ2 = 0, so besteht deskrip-  tive Unabhängigkeit zwischen den beiden Merkmalen, da alle absoluten Häufigkeiten  gleich ihren erwarteten Häufigkeiten sind.

• Je größer χ2 ist, desto größer ist die Abhängigkeit, wobei keine Einschät-  zung vorgenommen werden kann, ab welchem Wert eine starke oder sehr starke Abhän-  gigkeit besteht. 

• 
  

Schritt 3 – Berechnung des Kontingenzkoeffizienten 

Interpretieren werden wir dieses Ergebnis jedoch noch nicht; es erfolgt noch ein  letzter Rechenschritt. 

Schritt 4 – Berechnung des korrigierten Kontingenzkoeffizienten

Interpretation

• 0,4 < K* ≤ 0,6: mittlerer Zusammenhang / mittlere Abhängigkeit,  • 0,6 < K* ≤ 0,8: starker Zusammenhang / starke Abhängigkeit,  • 0,8 < K* ≤ 1: sehr starker Zusammenhang / sehr starke Abhängigkeit. 

Der korrigierte Kontin-  genzkoeffizient quantifi-  ziert den Zusammenhang  zwischen zwei Merkma-  len, von denen mindes-  tens eins nominalskaliert  ist

Schritt 1 – Berechnung der erwarteten Häufigkeiten 

• erwarteten Häufigkeiten bzw. die absoluten  Häufigkeiten unter deskriptiver Unabhängigkeit bestimmt.

  • sind diejenigen absoluten  Häufigkeiten, für die die beiden Merkmale in keinerlei Zusammenhang stehen.

  • Es würde  bedeuten, dass der Anteil an Raucherinnen unter den Frauen exakt dem Anteil der Rau-  cher unter den Männern entspräche. Die erwartete Häufigkeit für die Merkmalsausprägun-  gen Ai und Bj wird mit nij bezeichnet und durch 

wie weit die tatsächlichen absoluten Häufigkeiten  von den erwarteten entfernt sind

Je weiter also die tatsächlichen von den erwarteten  Häufigkeiten entfernt sind, desto stärker muss der Zusammenhang in der vorliegenden  Situation sein.

Entfernung

wird also die erwartete  Häufigkeit von der absoluten abgezogen.

Differenz wird quadriert, da einige  Abstände negativ und andere positiv sein können, wodurch sie sich gegenseitig zu einer 0  aufheben könnten. Schließlich wird nochmals durch die erwartete Häufigkeit geteilt, um  die Relation der Abstände deutlich zu machen.

Falls χ2 = 0, so besteht deskrip-  tive Unabhängigkeit zwischen den beiden Merkmalen, da alle absoluten Häufigkeiten  gleich ihren erwarteten Häufigkeiten sind.

kann zwischen Null und Unendlich liegen

vorliegenden Beispiel wäre es demnach egal, ob man zum weiblichen oder männlichen  Geschlecht gehört. Die Tendenz, zu rauchen oder auch nicht, wäre bei beiden Geschlech-  tern identisch. Je größer χ2 ist, desto größer ist die Abhängigkeit, wobei keine Einschät-  zung vorgenommen werden kann, ab welchem Wert eine starke oder sehr starke Abhän-  gigkeit besteht. 

sicherlich keinen außerordentlich hohen Wert vor. 

Schritt 3 – Berechnung des Kontingenzkoeffizienten 

Interpretieren werden wir dieses Ergebnis jedoch noch nicht; es erfolgt noch ein  letzter Rechenschritt. 

Schritt 4 – Berechnung des korrigierten Kontingenzkoeffizienten

Zur Erläuterung: Begonnen wird mit der Anzahl an Zeilen (2) und Spalten (2) der  Kontingenztabelle. Stehen diese beiden Zahlen in den geschwungenen Klam-  mern, wählt man die kleinere Zahl von beiden. Da wir es hier zwei Mal mit der  gleichen Zahl zu tun haben, ist die Entscheidung trivial. Hätten wir aber bspw.  beim Rauchverhalten noch die Gelegenheitsraucher:innen berücksichtigt, so  bestünde die Kontingenztabelle aus drei Spalten. Man würde demnach die klei-  nere Zahl aus 2 und 3 wählen und damit auch die 2 berücksichtigen. Ist die 2  ausgewählt, so setzt man sie anstelle von M in die Formel für Kmax ein.  Dadurch erhält man die obige 0,707, welche schließlich genutzt wird, um den  Kontingenzkoeffizienten aus dem dritten Schritt in Höhe von 0,222 durch diese  0,707 zu teilen. 

Wert 0 an, wenn deskriptive Unabhängigkeit besteht; die beiden Merkmale demnach in  keinerlei Zusammenhang stehen. Je höher der Wert für K*, desto stärker ist der Zusam-  menhang. Im Speziellen gilt folgende Einteilung für die Interpretation:  • 0 ≤ K* ≤ 0,2: kein Zusammenhang / keine Abhängigkeit,  • 0,2 < K* ≤ 0,4: schwacher Zusammenhang / schwache Abhängigkeit, 

• 0,4 < K* ≤ 0,6: mittlerer Zusammenhang / mittlere Abhängigkeit,  • 0,6 < K* ≤ 0,8: starker Zusammenhang / starke Abhängigkeit,  • 0,8 < K* ≤ 1: sehr starker Zusammenhang / sehr starke Abhängigkeit.