1. Entscheidung unter Sicherheit

🟦 Gewinnoptimierung

• Ziel: Maximiere Gewinn G(x)=E(x)−K(x)G(x)=E(x)−K(x)

• Bedingung: Grenzerlös = Grenzkosten → E′(x)=K′(x)E′(x)=K′(x)

• Hinreichende Bedingung: G′′(x)<0G′′(x)<0

📘 Begriffe erklärt:

• Grenzerlös (GE): Der zusätzliche Erlös, den ein Unternehmen durch den Verkauf einer weiteren Einheit eines Produkts erzielt.

• Grenzkosten (GK): Die zusätzlichen Kosten, die durch die Produktion einer weiteren Einheit entstehen.

⚖️ Was bedeutet „Grenzerlös = Grenzkosten“?

Wenn ein Unternehmen seinen Gewinn maximieren will, produziert es genau so viele Einheiten, bis der Grenzerlös gleich den Grenzkosten ist:

GE=GKGE=GK

• Wenn GE > GK: Es lohnt sich, mehr zu produzieren, weil der zusätzliche Erlös die zusätzlichen Kosten übersteigt → Gewinn steigt.

• Wenn GE < GK: Es lohnt sich, weniger zu produzieren, weil die zusätzlichen Kosten höher sind als der zusätzliche Erlös → Gewinn sinkt.

• Wenn GE = GK: Das Unternehmen hat den optimalen Produktionspunkt erreicht → Gewinnmaximum.

Der Gewinn steigt, aber optimale Menge und Preis bleiben gleich, da Fixkosten keinen Einfluss auf die Grenzbedingung haben.

Maximierung der Zielfunktion = Deckungsbeitrag!

Bei mehrer Nebenbedingungen nimmt man die, welche die strengste Bedinungen hat, die weiteren sind dann redundant!

Der Lagrange-Ansatz ist eine Methode aus der Variationsrechnung und der Optimierung, mit der man Extremstellen (Minima oder Maxima) einer Funktion unter Nebenbedingungen findet. Er ist besonders nützlich, wenn man eine Funktion optimieren möchte, aber nicht alle Variablen frei wählen kann, weil sie durch eine oder mehrere Gleichungen eingeschränkt sind.

1. Lamda auf eine Seite bringen

2. Gleichsetzen und nach x2 oder x1 auflösen

3. Wert dann in (3) einsetzen, damit hat man den anderen auch

Ziel: Finde das Maximum oder Minimum einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen.

📌 Methoden:

• Graphisches Verfahren (nur bei 2 Variablen)

• Simplex-Verfahren (für beliebig viele Variablen)

• Dualitätstheorie

• Schlupfvariablen & künstliche Variablen

📈 Eigenschaften:

• Zielfunktion und Nebenbedingungen sind linear.

• Lösungsmenge ist ein Polyeder (Ecke = mögliche Lösung).

• Optimale Lösung liegt oft an einer Ecke des zulässigen Bereichs.

🧠 Anwendung:

• Produktionsplanung

• Ressourcenallokation

• Transportprobleme

• Kostenminimierung / Gewinnmaximierung

Hier ist die grafische Lösung der linearen Optimierung:

🔍 Erläuterung:

• Die blau schattierte Fläche zeigt den zulässigen Bereich, in dem alle Nebenbedingungen erfüllt sind.

• Die gestrichelten Linien stellen verschiedene Niveaulinien der Zielfunktion ( z = 20x1 + 30x2 ) dar.

• Die optimale Lösung liegt dort, wo eine dieser Linien den zulässigen Bereich gerade noch berührt – das ist der Punkt mit dem höchsten z-Wert innerhalb des Bereichs.

Möchtest du den exakten optimalen Punkt und den maximalen Deckungsbeitrag berechnen?

Ein Schattenpreis gibt an, um wie viel sich der Zielwert (z. B. Deckungsbeitrag) erhöht, wenn die Restriktion um eine Einheit gelockert wird.

1. Kapitalwert (Net Present Value, NPV)

Idee:

Der Kapitalwert ist die Summe aller abgezinsten Ein- und Auszahlungen eines Projekts. Er zeigt, wie viel ein Projekt heute wert ist, wenn man alle zukünftigen Zahlungen berücksichtigt.

📆 2. Annuität (Annuitätenmethode)

Idee:

Die Annuität wandelt den Kapitalwert in gleichmäßige Jahresbeträge um. So kann man Investitionen mit unterschiedlicher Laufzeit besser vergleichen.

📈 3. Interner Zinsfuß (Internal Rate of Return, IRR)

Idee:

Der interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert gerade null ist.

r = Wird dann mit einem Näherungsverfahren berechnet

​

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1. Kapitalwert (Net Present Value, NPV)

Idee:

Der Kapitalwert ist die Summe aller abgezinsten Ein- und Auszahlungen eines Projekts. Er zeigt, wie viel ein Projekt heute wert ist, wenn man alle zukünftigen Zahlungen berücksichtigt.

Steuerliche Neuberechnung:

1. Cashflow - Afa der Periode

2. Aus dem Ergebnis die Höhe der Steuern berechnen

3. Steuern von dem CF (alt) abziehen = CF (neu) -> Die Abrscheibungen werden nicht weiter berücksichtig da nicht Zahlungswirksam, diese wurden nur benötigt um die Steuern zu berechnen

4. Wenn der Cashflow nach Steuern berechnet wird, muss der Kalkulationszins entsprechend angepasst werden!

Wenn man zwei INvestments Mittels Annuitäten vergleich möcte müssen die Laufzeiten gleich sein!! Also einfach die längere Laufzeit hier verwenden!

Idee:

Die Annuität wandelt den Kapitalwert in gleichmäßige Jahresbeträge um. So kann man Investitionen mit unterschiedlicher Laufzeit besser vergleichen.

Ziel ist es, den Nettobarwert der Kapitalwertmethode in eine jährliche Zahlung zumzurechnen und berechnet somit den jählichen Mehrertrag einer Investition

Dieser nach dem Kapitalwert wird auch Kapitalwiedergewinnungsfaktor (KWF gennant)

Der Kapitalwert kann auch die Fremdfinanzierte Kreditsumme sein!

Interpretation:

• Gibt an, wie viel Gewinn pro Jahr das Projekt erwirtschaftet (unter Berücksichtigung von Zinsen und Laufzeit).

Wenn der Annutäten Wert positiv ist dann sollte man die INvestition durchführen da dann auch der Nettobarwert positiv ist.

Darstellung des Verlaufs einer Fremdfinanzierung:

Wert der Zinsen ist mit 5% vorgegeben

r= Wird dann mit einem Näherungsverfahren berechnet!

Der interne Zinsfuß (IZF), auch bekannt als Internal Rate of Return (IRR), ist eine wichtige Kennzahl in der Investitionsrechnung. Er gibt den Zinssatz an, bei dem der Kapitalwert einer Investition null wird.

Anders gesagt, es ist die Rendite, die eine Investition voraussichtlich abwirft, wobei der Barwert aller Einnahmen und Ausgaben gleich null ist. 

Definition und Bedeutung:

• Der interne Zinsfuß ist ein Maß für die Rentabilität einer Investition. 

• Er wird verwendet, um die Wirtschaftlichkeit verschiedener Investitionsprojekte zu vergleichen. 

• Ein höherer interner Zinsfuß deutet auf eine attraktivere Investition hin, da sie eine höhere Rendite verspricht. 

• Der IZF ist ein wichtiger Indikator für die Entscheidungsfindung bei Investitionen, da er hilft zu beurteilen, ob eine Investition lohnenswert ist. 

Näherungsweise Berechnung des internen Zinssatzes, bei dem der Kapitalwert K0=0 ist.

Prozentwerte sind fiktiv gewählt

📐 Was ist der Strahlensatz hier?

Der Strahlensatz wird verwendet, um den Anteil des positiven Kapitalwerts am gesamten Abstand zwischen zwei Kapitalwerten zu bestimmen. Dieser Anteil wird dann auf den Zinssatzbereich angewendet, um den IRR näherungsweise zu bestimmen.

📌 Worauf ist zu achten?

1. Kapitalwerte müssen unterschiedliche Vorzeichen haben (einer positiv, einer negativ).

2. Zinssätze müssen nahe beieinander liegen, um die Linearität der Kapitalwertfunktion lokal zu nutzen.

3. Einheiten konsistent halten (z. B. Zinssätze in Dezimalform oder Prozent, aber nicht gemischt).

4. Strahlensatz-Anteil ist immer:

Der modifizierte interne Zinsfuß (MIRR – Modified Internal Rate of Return) ist eine Weiterentwicklung des klassischen internen Zinsfußes (IRR), die einige seiner Schwächen behebt.

📈 Was ist der modifizierte interne Zinsfuß?

Der MIRR berücksichtigt:

• einen Wiederanlagezinssatz für Rückflüsse (z. B. den Kapitalkostensatz),

• und einen Finanzierungszinssatz für Anfangsinvestitionen.

Dadurch liefert er eine realistischere Rendite, besonders bei Projekten mit unregelmäßigen Zahlungsströmen oder mehreren Vorzeichenwechseln.

✅ Vorgehen:

1. Zahlungsreihe analysieren

Negtive Zahlungen (Investitionen) identifizieren, diese sind dann im Nenner der Formel (Barwert der Investitionen)

1. Rückflüsse auf Endzeitpunkt aufzinsen

Quasi Gegenläufig zur Abzinsung den Zinswert mit den Zahlungen Multiplizieren und die t’s in die Exponenten nehmen.

1. Investition als Barwert setzen

2. MIRR mit obiger Formel berechnen

📌 Beispielhafte Interpretation:

Ein Projekt mit einem MIRR von 8 % bedeutet: Die Rückflüsse des Projekts erwirtschaften effektiv eine jährliche Rendite von 8 %, wenn man sie zum gegebenen Wiederanlagezinssatz reinvestiert.

Die Crossover Rate ist der Zinssatz, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert (NPV) haben. Mit anderen Worten:

Es ist der Zinssatz, bei dem sich die Kapitalwertfunktionen zweier Projekte schneiden.

📈 Warum ist sie wichtig?

• Sie zeigt, ab welchem Zinssatz ein Projekt vorteilhafter wird als das andere.

• Bei niedrigen Zinssätzen kann Projekt A besser sein, bei hohen Zinssätzen Projekt B – die Crossover Rate ist der Umschlagpunkt.

• Besonders nützlich, wenn sich zwei Projekte in der Laufzeit oder im Investitionsvolumen unterscheiden.

📌 Beispielhafte Interpretation:

Wenn die Crossover Rate bei 7 % liegt:

• Bei einem Kalkulationszins unter 7 % ist Projekt A besser.

• Bei einem Kalkulationszins über 7 % ist Projekt B besser.

Der Kapitalwert mit Steuern berücksichtigt die steuerlichen Auswirkungen einer Investition und liefert damit ein realistischeres Bild der Vorteilhaftigkeit eines Projekts.

💡 Grundidee:

Steuern beeinflussen:

• Einzahlungsüberschüsse (weil Gewinne versteuert werden),

• Abschreibungen (weil sie steuermindernd wirken),

• und damit den Netto-Cashflow.

Jede Zahlung wird mit dem zugehörigen periodenspezifischen Zinssatz diskontiert:

Was macht das Dean-Modell?

Es vergleicht verschiedene Investitionen mit unterschiedlichen Finanzierungen.

Wie funktioniert die Auswahl im Dean-Modell?

1. Kapitalwert/IZF jeder Investition berechnen

2. Renditen der Finanzierungen vergleichen

3. Investitionen mit höchstem Spread auswählen (IZF > Zins der Finanzierung)

Was ist die Entscheidungskritik am Dean-Modell? – Es ignoriert evtl. Kombinationsmöglichkeiten und betrachtet alles binär.

Was ist das Ziel eines vollständigen Finanzplans (VOFI)? – Ermittlung des echten Endwerts der Investition unter Berücksichtigung:

• Investitions- und Finanzierungsvorgänge

• Rückflüsse, Zinsen, Disagio, Kontokorrent

• Eigen- vs. Fremdkapital

Welche Größen werden im VOFI dargestellt? –

• Zahlungsfolge der Investition

• Eigenkapital

• Kredit mit Annuitätentilgung

• Kontokorrentbewegung

• Habenzinsen

• Bestandsveränderungen → Alles endet in: Finanzierungssaldo = 0

Wie gibt man Zahlungsreihen im Taschenrechner ein? – TI BA II Plus Beispiel:

diff

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CF

→ 2ND

→ CLR WORK -2000

→ ENTER ↓ 1000 → ENTER ↓ 800 → ENTER ↓ 800 → ENTER ↓

Wie berechnet man Kapitalwert und IZF? –

nginx

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NPV → Zinssatz → ENTER → CPT IRR → CPT

Wie berechnet man die Annuität im Taschenrechner? –

makefile

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N = Anzahl Perioden I/Y = Zinssatz PV = Kapitalwert PMT → CPT

Aufzinsen bedeutet, dass du den Wert eines Geldbetrags aus der Vergangenheit in die Zukunft hochrechnest, also mit Zinsen aufwertest. Du gehst z. B. von einem Betrag in Jahr 1 aus und willst wissen, wie viel dieser im Jahr 3 bei einem Zinssatz von 5 % wert wäre.

Rückseite (Antwort):

Definition: Abzinsen bedeutet, den heutigen Wert (Barwert) eines zukünftigen Geldbetrags zu berechnen. Man "holt" einen zukünftigen Betrag in die Gegenwart – also das Gegenteil vom Aufzinsen.

🔹 Definition:

Ein Diskontierungsfaktor gibt an, mit welchem Wert ein zukünftiger Geldbetrag auf den heutigen Wert (Barwert) abgezinst wird.

Er basiert auf dem Zinssatz und der Zeit, wie lange das Geld „in der Zukunft“ liegt.

Partielles Ableiten

✅ Regel:

Alle anderen Variablen (z. B. r2r_2r2​) werden beim Ableiten wie Konstanten behandelt.

💡 Merksatz:

Wenn du nach einer Variablen ableitest, behandle alle anderen wie Zahlen. (So wie du 3 oder π auch einfach mitschleppst beim Ableiten.)

🔍 1. Kapitalwertmethode (NPV / Kapitalwert)

✅ Ziel:

Berechnung des Barwerts aller zukünftigen Zahlungen, abgezinst mit einem vorgegebenen Kalkulationszinsfuß kkk, um zu prüfen, ob eine Investition sich lohnt.

🔍 2. Methode des internen Zinsfußes (IZF / IRR)

✅ Ziel:

Suche den Zinssatz rrr, bei dem der Kapitalwert genau 0 ist. Das ist der "interne" Ertrag der Investition.

🔹 Gegeben:

• Kreditbetrag: 4.000 €

• Zinssatz: 10 % pro Jahr

• Laufzeit: 2 Jahre

• Rückzahlung inkl. Zinsen am Ende des 2. Jahres

Hier muss einfach die Höhe des Kredites und die Rückzahlung beachtet werden

🔹 Schritte:

1. Lege Zeitpunkte fest (z. B. 0 bis 4)

2. Trage alle Zahlungen pro Jahr ein:

   • Investitionen / Kosten = negativ

   • Einzahlungen / Rückflüsse = positiv

3. Berücksichtige Kredite (optional):

   • Kreditbetrag in t=0 positiv

   • Rückzahlung inkl. Zinsen in späteren Jahren negativ

Beispiel ohne Kredit:

Beispiel mit Kredit (4.000 €, 10 %):

Die Nebenbedingung ist etwas, was die Funktion Aufgabe einschränkt, also ein Budget, ein Preis oder änliches

Gleichung Lösen durch Gleichsetzen von (1) und (2). Dafür muss ich (1) und (2) nach Lambda auflösen

Biespiel:

DIe Summen sind hier im Zähler schon addiert, Verkauf nach dem 2.Jahr sind 50k+40k im Zähler

Dabei geht es um eine Periode, wenn ich in Periode 1 einen Verlust mache und in den anderen 3 jedoch Gewinne darf ich diese nicht miteinander verrechnen sondern muss die Verluste Verzinsen und erhalte für die Gewinne die Rendite

Der Begriff bezieht sich darauf, ob Aufwendungen und Erträge (oder Kosten und Leistungen) in einem Konto miteinander verrechnet („ausgeglichen“) werden dürfen oder nicht.

✅ Kontenausgleichsgebot

Der Überschuss wird direkt von den Schulden abgezogen und in der nächsten Periode mit der Restschuld weitergerechnet, somit werden die Zinsen analog zur Restschuld immer weniger

🟢 Ziel: Betriebswirtschaftliches Ergebnis – daher Kosten und Leistungen gegenüberstellen erlaubt und erwünscht

❌ Kontenausgleichsverbot

Man berrechnet die Überschüsse und die Schulden seperat mit den Prozenstätzen, am Ende wird verrechnet

🔴 Ziel: Klare Darstellung aller Geschäftsvorfälle – jede Buchung einzeln sichtbar

💡 Merksatz:

🔄 KLR = KontenausgleichsGEBOT → verrechnen erlaubt

📒 FiBu = KontenausgleichsVERBOT → keine Verrechnung

📋 Beispiel

In diesem Kontext steht KZF für Kapitalkostensatz bei Sicherheit oder auch Kalkulationszinssatz für sichere Investitionen. Es handelt sich um den Zinssatz, mit dem zukünftige sichere Rückflüsse auf den heutigen Zeitpunkt abgezinst werden, um den Barwert (Kapitalwert) einer Investition zu berechnen.

In der Aufgabe ist ein KZF von 11 % gegeben. Das bedeutet, dass der Vorstand nur solche Investitionen durchführen sollte, deren Kapitalwert bei einem Zinssatz von 11 % positiv ist – also deren abgezinste Rückflüsse die Anschaffungskosten übersteigen.