8.2 Eindimensionaler Erwartungswert Test bei bekannter Standardabweichung (z-Test)

Varianz bzw. die Standardabweichung in der Grundgesamtheit bekannt, 

• z-Test

  • zusätzlich als kritischen Wert ein Quantil der  Standardnormalverteilung.

unbekannte Varianz bzw. die Standardabweichung der  Grundgesamtheit

• t-Test

  • Varianz auf Basis der Stichprobe zunächst selbst  bestimmen

  • t-Verteilung für  den kritischen Wert. 

def: z-Test wird zum Tes-  ten auf einen Erwartungs-  wert bei bekannter Vari-  anz in der  Grundgesamtheit  genutzt. 

Annahmen

1. untersuchte Variable muss kardinalskaliert sein.

2. untersuchende Variable soll in der Grundgesamtheit normalverteilt

3. Die Daten, welche für den Test berücksichtigt werden, entstammen einer einfachen  Zufallsstichprobe.

   1. muss für jeden beliebigen Hypothesentest erfüllt sein: 

BEISPIEL: ÜBERSTUNDEN

Nehmen wir einmal an, dass wir in einem Unternehmen mit zahlreichen Angestellten arbeiten. Sie klagen sehr über die zu leistenden Überstunden. Die Chefin behauptet, dass ihre Mitarbeitenden durchschnittlich 7 Überstunden pro Woche ableisten; nicht mehr und nicht weniger. Ihrer Meinung nach sei das auch vollkommen in Ordnung. Fünf Kolleg:innen haben sich nun dahingehend verständigt, sich zum Beweis die Überstunden für die vergangene Woche zu notieren. Dabei gab es folgende Ergebnisse:

8; 10; 7; 5; 10

Wir wissen ebenfalls, dass die Varianz der Überstunden in der Grundgesamtheit bei 4 liegt und die Überstunden grundsätzlich normalverteilt sind. Nun stellt sich die Frage, ob die Chefin mit ihrer Behauptung recht hat. Die entscheidende Fragestellung, welche es zu prüfen gilt, kann nun drei verschiedene Varianten annehmen:

1. Liegt die durchschnittliche Überstundenzahl der Angestellten tatsächlich bei 7 oder liegt sie über bzw. unter 7 Überstunden?

2. Liegt die durchschnittliche Überstundenzahl der Angestellten bei mehr als 7 Überstunden?

3. Liegt die durchschnittliche Überstundenzahl der Angestellten bei weniger als 7 Überstunden?

Die Art der Fragestellung entscheidet darüber, ob ein ungerichteter bzw. zweiseitiger Test oder aber ein einseitiger und damit gerichteter Test durchgeführt wird. Die erste Fragestellung suggeriert, dass die Überstundenzahl sowohl über als auch unter 7 liegen könnte. Demzufolge würde man an der Stelle einen ungerichteten Test durchführen, da die durchschnittlichen Überstunden laut Vermutung sowohl über 7 als auch unter 7 liegen könnten.

Die zweite und dritte Art der Fragestellung tendieren in eine ganz bestimmte Richtung. Wenn nach mehr als 7 Überstunden gefragt ist, dann wird vermutet, dass im Durchschnitt mehr gearbeitet wird als die 7 Überstunden. Genauso wird bei weniger als 7 Stunden konkret in eine bestimmte Richtung und damit gerichtet bzw. einseitig getestet.

In jedem Fall können wir festhalten, dass es sich um einen z-Test handeln muss, da mit 4 die Varianz der Überstunden in der Grundgesamtheit bekannt ist.

Ungerichteter/zweiseitiger z-Test 

Fragestellung „Liegt die durchschnittliche Über-  stundenzahl der Angestellten tatsächlich bei 7 oder liegt sie über bzw. unter 7 Überstun-  den?“

1. Aufstellen der Hypothesen 

• μ als Symbol für den  Erwartungswert

• μ0 wird wiederum für den hypothetischen Mittel-  wert verwendet und wird bei jedem Test durch eine konkrete Zahl ersetzt

• unter der Nullhypothese der  Erwartungswert gleich dem hypothetischen Mittelwert μ0 und unter der Alternativhypothese ungleich μ0 und damit entweder größer oder kleiner ist: 

• Nullhypothese geht davon aus, dass wir uns in  einer Grundgesamtheit befinden, in der der Erwartungswert dem hypothetischen Mittel-  wert entspricht.

• Alternativhypothese geht von einer Allgemeinheit aus, in der der  Erwartungswert größer oder kleiner als der hypothetische Mittelwert ist. 

2. Signifikanzniveau α (alpha) festlegen 

-vorgegeben-

3. Prüfgröße berechnen 

vorliegenden  z-Tests lautet die Prüfgröße z und wird folgendermaßen berechnet 

• n steht dabei für den Stichprobenumfang,

• −x ist der Mittelwert der Stichprobe (den müssen wir ausrechnen),

• μ0 ist der hypothetische Mittelwert (der ist gegeben)

• σ (sigma) ist  die aus der Grundgesamtheit bekannte Standardabweichung.

4. Kritischen Wert festlegen 

• verwenden wir immer ein Quantil der Standardnormalverteilung.

• beide Richtungen  getestet wird, gibt es sowohl einen positiven als auch einen negativen kritischen Wert. Er  bestimmt sich folgendermaßen: 

• α wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bestimmt und daran anschließend  der relevante Wert in der Tabelle mit den Quantilen der Standardnormalverteilung abgele-  sen. 

5. Entscheidung fällen 

• berechnete Prüfgröße die kritische Grenze übersteigt,  wird die Nullhypothese abgelehnt.

 Regel zum Ablehnen der Nullhypothese 

• Der positive Wert der berechneten Prüfgröße (selbst, wenn er eigentlich negativ ist) muss  demnach größer als der positive kritische Wert aus der Tabelle sein, um die Nullhypothese  ablehnen zu können. 

Gerichteter rechtsseitiger z-Test 

„Liegt die durchschnittliche Überstundenzahl der  Angestellten bei mehr als 7 Überstunden?“.

• testen demnach konkret in die Richtung,

• ein gerichteter und im Speziel-  len rechtsseitiger Test durchgeführt

• Hypothesen anders formulieren sowie  einen anderen kritischen Wert verwenden.

• Der Rest verläuft analog zum vorherigen Test-  verfahren. Gehen wir die Schritte einmal durch. 

1. Aufstellen der Hypothesen 

• spezielle Richtung

• rechtsseitiger Test durchgeführt wird, muss unter der Alternativhypo-  these immer davon ausgegangen werden, dass ein größerer (>) als der hypothetische Mit-  telwert (μ0) erreicht wird. Demzufolge wird unter der Nullhypothese vermutet, dass höchs-  tens (≤) der hypothetische Mittelwert (μ0) angenommen wird: 

2. Signifikanzniveau α festlegen 

3. Prüfgröße ausrechnen 

4. Kritischen Wert festlegen

• nur noch in eine  Richtung testen, liegt der Ablehnungsbereich nur noch auf einer Seite der Verteilung

• Ablehnungsbereich mit α muss demzufolge nicht mehr  halbiert werden, sodass das gesuchte Quantil der Standardnormalverteilung wie folgt lau-  tet: 

5. Entscheidung fällen 

• nahezu genauso wie beim zweiseitigen  Testen.

• darauf verzichten, die Prüfgröße z in Betragsstriche zu setzen,

• Prüfgröße bei einem rechtsseitigen Test immer positiv  sein.

• Prüfgröße größer als der kritische Wert zu sein hat, um die Nullhy-  pothese ablehnen zu können. 

Gerichteter linksseitiger z-Test 

„Liegt die durchschnittliche Überstun-  denzahl der Angestellten bei weniger als 7 Überstunden?“

• linksseitig da weniger als 7 Überstunden vermuten.

1. Aufstellen der Hypothesen 

• kleineren (<) Mittel-  wert als dem hypothetischen (μ0) ausgehen. Demzufolge wird unter der Nullhypothese  mindestens (≥) der hypothetische (μ0) Mittelwert vermutet: 

2. Signifikanzniveau α festlegen 

3. Prüfgröße ausrechnen 

• keinerlei Veränderungen zum zweiseitigen oder rechtsseitigen Testen.  Wir gehen demnach von einer Prüfgröße in Höhe von 

4. Kritischen Wert festlegen 

• einen kleineren Mittelwert als den hypothetisch formulierten

• kritische Wert beim linksseitigen Testen immer negativ

  • dass −x − μ0 einen  negativen Wert ergibt und damit die Prüfgröße insgesamt negativ wird. 

  • negatives Vorzeichen

5. Entscheidung fällen 

zwei Möglichkeiten

1.im negativen  Bereich bleiben und schauen, ob die Prüfgröße kleiner als der negative kritische Wert ist,  um die Nullhypothese abzulehnen:  

2.Symmetrie der Standardnormalverteilung um 0  herum zunutze zu machen.

• Prüfgröße als auch den kriti-  schen Wert in Betragsstriche setzen und im positiven Bereich die Entscheidung fällen: