8.3 Eindimensionaler ErwartungswertTest bei unbekannter Standardabweichung (t-Test)

Der t-Test testet auf einen  Erwartungswert bei unbekannter Varianz

• Varianz in der Grundgesamtheit nicht bekannt. 

im Vergleich zum z-Test ändert, ist …

• … das selbständige Berechnen der Stichprobenvarianz und Standardabweichung auf  Basis der Stichprobe, 

• das Berechnen der Prüfgröße namens t-Statistik und

• das Verwenden eines kritischen Werts der t-Verteilung. 

Ungerichteter/zweiseitiger t-Test 

„Liegt die durchschnittliche Über-  stundenzahl der Angestellten tatsächlich bei 7 oder liegt sie über bzw. unter 7 Überstun-  den?“

1.–3. Schritt in Kürze 

1. Hypothesen aufstellen:

• Da es hier keine Neuerungen gibt, kommen wir direkt zum  Beispiel: H0:  μ = 7   vs.   H1:   μ ≠ 7. 

2. Signifikanzniveau α festlegen:

• Wir wählen weiterhin ein Signifikanzniveau von 5 %. 

3. Prüfgröße ausrechnen:

• Da wir uns nun mit dem t-Test beschäftigen, werden wir als  Prüfgröße auch eine t-Statistik berechnen. Bis auf die Standardabweichung stimmt  die t-Statistik exakt mit der z-Statistik überein (Bortz & Schuster, 2010, S. 118): 

Neuerung = im Nenner der Prüfgröße. Dort müssen wir nun die  Standardabweichung s auf Basis der Stichprobe berechnen. Alles andere bleibt genauso  wie bei der Prüfgröße z. 

4. Kritischen Wert festlegen 

• t-Verteilung bedienen

• t-Verteilung zusätzlich zum Signifikanzniveau auch von den Freiheitsgr-  aden df = n − 1 abhängig ist.

• Die restlichen Überlegungen zur Aufteilung des Ableh-  nungsbereichs auf beide Seiten der Verteilung ist identisch zu denen des z-Werts, weswe-  gen wir folgenden kritischen t-Wert festlegen: 

5. Entscheidung fällen

-nochmal lesen im Skript-

Gerichteter rechtsseitiger t-Test 

Highlight :  „mehr als 7 Überstunden“ gefragt

1. Die Hypothesen werden wie beim rechtsseitigen z-Test formuliert (H0:  μ ≤ 7 vs.  H1:  μ > 7). 

2. Das Signifikanzniveau wird mit einem Wert gegeben sein (α = 0,05). 

3. Die Prüfgröße wird wie beim zweiseitigen t-Test berechnet (t = 1,05). 

4. Die kritische Grenze wird in Anlehnung an den z-Test (der Ablehnungsbereich α befin-  det sich nur noch auf der rechten Seite der Verteilung) hier mit den entsprechenden  Freiheitsgraden durch tn − 1; 1 − α festgelegt (t4; 0,95 = 2,132). 

5. Die Nullhypothese wird genau dann abgelehnt, wenn t > tn − 1; 1 − α gilt  (t = 1,05 ≯ 2,132 = t4; 0,95 → Die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden). 

Gerichteter linksseitiger t-Test 

Highlight :  „weniger als 7 Überstunden“

Highlight :  1. Die Hypothesen werden wie beim linksseitigen z-Test formuliert (H0:  μ ≥ 7 vs.  H1:  μ < 7).  2. Das Signifikanzniveau wird mit einem Wert gegeben sein (α = 0,05).  3. Die Prüfgröße wird wie beim zweiseitigen t-Test berechnet (t = 1,05).  4. Die kritische Grenze wird in Anlehnung an den z-Test (Der Ablehnungsbereich α befin-  det sich nur noch auf der linken Seite der Verteilung.) hier mit den entsprechenden  Freiheitsgraden durch −tn − 1; 1 − α festgelegt (−t4; 0,95 = − 2,132).  5. Die Nullhypothese wird genau dann abgelehnt, wenn entweder t < − tn − 1; 1 − α  oder t > − tn − 1; 1 − α gilt (t = 1,05 ≮ − 2,132 = −t4; 0,95 oder  t = 1,05 ≯ − 2,132 = −t4; 0,95 Nullhypothese kann nicht abgelehnt wer-  den).